和谐扩展的一个教学实例——“实数”的教学设计，本文主要内容关键词为：实数论文,教学设计论文,实例论文,和谐论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
[主持人按 翻翻中小学数学课本，你或许会惊异地发现，和谐地扩展，竟是数学教学材料展开的始终不渝的看不到尽头的一道风景线：数的概念，指数，角，距离，等式——方程——不等式，函数，坐标等，哪一个重要概念不是在不断地扩展着的？哪一次扩展又不是尽可能地保持和谐的？“数学家们总是要把他心中认为重要的基本的东西，一个个尽其可能的都推展到极致。”
查查历来的数学考卷，又有哪一次哪一份，把数学家工作过程中如此重大重要的思想，曾经纳入到了考卷与考题之中？奇怪么又毫不奇怪。因为传统上认为，数学就是解（难）题，别的似乎都不重要。在强调素质教育的今天，这个现象，这种“认为”，难道不值得反思并加以研究么？
爱因斯坦早有名言：“提出问题比解决问题更重要！”而数学在思维训练上又有一个天然的优势：总是可以和谐地扩展式的提问的——也许有一天人们会认识到，这种训练对人的发展是多么重要。]
1 数的概念的又一次扩展
T：同学们，今天我们学习“实数”。
（1）从“什么是数”谈起
T：你们知道“什么是数”吗？这很难一般地回答吧。
如果循着历史上的教育过程中的发展历程来看，就容易说了：
人类最早认识的是自然数与零——这时，人们认为，可用来数数的是数。
数概念的第一次扩展是由于测量的需要，由此产生了（正的）小数、分数——于是，人们以为，可以在测量时用作量数的是数。
由于表示具有相反意义的量的需要，产生了负数，这就是数概念的第二次扩展。人类对数概念的认识又前进了一大步。
这个过程，反映在数轴上是（同时画图说明）：
从稀疏到稠密的过程；
从半轴到全轴的过程。
（2）无理数的发现
（利用阅读材料，介绍古希腊数学家希伯斯发现无理数的故事）。
（教师说明，如何从过去的数的共同特征出发，发现新数）
小学里的数只能表示一个方向、一种意义的量。如果有了向东、向西两个方向的量，能否用不同的数来表示呢？
迄今为止的数，都是有限小数，或无限循环小数。有没有无限不循环小数呢？
S[,1]：π是无限的不循环小数。
也是无限的不循环小数。
其他的无限的不循环小数的构造方法，如：1.010010001…，1.020030004…3.737737773…，1.234567891011…等， 有某种规律的构造（无限的不循环的小数）法。
这是很大很大的一类数。这种无限的不循环小数叫做无理数。有理数和无理数统称实数。
实数的分类。（略）
练习：把下列各数分别填入指定的数的集合里。（略）
2 和谐地提出问题
有理数时，我们学习（研究）了一些什么？那么我们将怎样学习实数呢？
T：在有理数时，我们学习了什么？（提出了什么概念？ 学了什么法则？）
S：相反数；绝对值；（倒数；）
在数轴上表示数；数的大小比较；数的运算。
（1）相反数，绝对值
有理数里是怎么规定的？（投影屏幕上打出）实数里也需要这个概念么？该如何定义它？
T：从有理数到实数的扩展， 反映在数轴上是从离散到连续的过程。至此，过去数轴上遗留下来的数不清的空洞，今天都把它们填满，成为连续的一条直线了。
（3）实数大小的比较
过去，有理数是怎样比较大小的；这种比较方法与法则，在实数中仍可使用么？
①依据数的符号与绝对值的比较
比较两数的绝对值时，如何从高位到低位，一位一位地比较大小。
②在数轴上表示各数后再比较
（4）想一想：下列说法正确吗？如不正确，试举反例：
无理数是无限小数；无限小数是无理数；
有理数是有限小数；
无理数都是带根号的数；带根号的数都是无理数等。