问题串、变式串、解法串——高中数学教学的基本模式初探，本文主要内容关键词为：解法论文,高中数学论文,模式论文,变式串论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
纵观高中数学教学的现状，以问题串、变式串、解法串为结构的教学方式形成现时的风景线，在新课程数学人教A版的使用过程中，在参与中学数学核心概念与思想方法的课题研究过程中，问题串、变式串、解法串的教学模式也是一个主要特征，这三串在数学教学中的作用以及它们的合理性，有效性，值得思考与总结。
一、问题串搭建与揭示数学概念的本质，理解与构建数学思维的网络
问题串，串串都搭建起数学概念、数学知识的本质与学生学习认知发展之间的桥梁，实现人对事物认识的全过程，问题串主要解决数学知识体系中的4W+H(WHAT，WHY，WHEN，WHERE，HOW)中的“为什么”“是什么”部分。问题串的数学教学设计成为中学数学核心概念与思想方法课题研究中重要设计环节，但是，依据教材内容，精心设计经典的被专家认可的问题串还不多见。
1.什么是问题串？
对于某一数学概念、数学方法、数学思想而搭建的一个个呈现出内在联系与逻辑关系的系列问题，简称之问题串，它可以使学生一步步深入理解数学概念的本质，数学方法的步骤，数学思想的精髓，与此同时。学生在主动探究的模式下了解数学概念形成的全过程。
2.问题串具有哪些特点？
(1)有序性
问题串是为了构建某一数学概念而设计的一个个问题，问题具有有序性，即后一个问题是前一个问题的延续，是为了贴近学生数学认知水平而设计的有序问题串。
(2)自主性
问题串的设计是为了有利于学生的自主探究，这一系列的问题成为学生抬抬手可以摘到的果实，在教学方法上有利于培养学生的自主性，有利于教师与学生交互讨论。
(3)反思性
问题串的设计一般具有反思功能，要善于发现问题和提出问题，要善于打破常规，突破传统。具有敏锐的洞察力和丰富的想象力，使思维有超前性和独创性，不反思思维习惯中的不合理行为是不可能具有创新思维的。
问题串的设计还需要具有开放性、扩展性，教师与学生在交互碰撞中会产生火花而形成新的问题与原问题串有机的结合。
3.问题串的教学功能
众所周知，数学教学的核心是数学思维的教学。而数学思维是以数学概念、数学问题为载体的，通过问题串形式可以深刻揭示数学概念形成的过程，为认识和理解数学概念的本质形成一个思维链，新课程数学中尤其注重从数学概念的来源地创造实际情境，说明数学概念产生的来源，使学习者了解概念形成的全过程，避免数学教学“掐两头烧中段”。
4.问题串的表现形式
问题串在数学概念教学中最基本的形式是师生之间的问与答，然而教师的“问”的设计质量直接影响着问题串的教学功能。在“中学数学核心概念与思想方法的课题研究”中讨论的最多，在教师的教学设计中也是最重要的环节之一；除了“问与答”形式之外，还有教师列表式设问，学生填表式回答的形式；还有让学生提出来新“问题”，师生共同探讨形式等。下面的课例展示了问题串的各种表现形式。
案例1 “充分条件与必要条件”课例
（一）感知概念
问题情境：
①请写出命题“若
，则x＞2ab”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假；
②请写出命题“若ab=0，则a=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。
表1
表2
T：观察学生填写，请学生回答上述问题。
：逆命题：若x＞2ab，则，为假命题；
否命题：若
，则x≤2ab，为假命题；
逆否命题：若x≤2ab，则，为真命题。
：逆命题：若a=0，则ab=0，为真命题；
否命题：若ab≠0，则a≠0，为真命题；
逆否命题：若a≠0，则ab≠0，为假命题。
［从具体问题出发来引出数学概念更符合学生的认知规律。①②在这里起到承上启下的作用，既复习了前面所学知识，又找准了学生知识结构上的生长点，为后面充分条件和必要条件的学习做好准备］
问题1 能否改变②中的条件，即增加一定的限制条件，使原命题变成真命题？
T：数学课代表，你先来试一试！
：设b为非零实数，若ab=0，则a=0。
T：学习委员，你有新的命题吗？
：若ab=0且
，则a=0，…
［此问题有较大的思维空间，不同层次的学生都能在这个问题上同层次的施展。以此让学生认识到命题中的条件与结论之间应该具备某种关系］
T：以上两个问题的解答可以发现有的命题真，有的命题假，即有的命题可以从条件推得结论，有的则不能；而另外也有命题只要结论成立，就一定不能少了命题给出的条件，但是没有这个条件，结论不一定能成立。那么命题中的条件与结论到底有怎样的因果关系呢？
（二）形成概念
［理解“
”符号的含义，为引出定义奠定知识基础。通过研究原命题，对建立在学生原有认知水平上“充分”这个感性化的词汇获得数学意义上的认识，引出充分条件的定义；通过研究逆否命题，又让学生理解了q是p成立的“必须要有”的条件，引出必要条件的定义］
定义：“pq”，也就是条件p“足以”保证或“充分”保证结论q成立，这时我们说p是q的充分条件(sufficient condition)；从命题的角度看，“pq”，根据逆否命题与原命题的等价性，也就是如果没有q成立，就一定没有p成立，q成立是p成立“必须要有”的前提条件，这时我们说q是p的必要条件(necessary condition)。
T：“pq”称p是q的充分条件，通俗理解：要使q成立，有p成立就足够了；
称q是p的必要条件，通俗理解：q是p成立的必不可少的条件，若没有q，则p一定不成立，“pq且q
p”表示p是q的充分不必要条件；q是p的必要而不充分条件。
T：请用新定义表述完成上述两表：
［通过以上的实例使学生亲身感知概念的发生与形成过程，使充分、必要条件定义的引入顺理成章，水到渠成，帮助学生突破难点］
问题2 如何判断p是q的什么条件？
：p可能是q的充分条件，也可能是必要条件。故判断能否有pq或qp。
［以问题的形式，帮助学生突破难点，即如何判断p是q的什么条件。引导学生探究出结论］
例1 判断p是q的什么条件，完成下表：
（三）理解概念
例2 下列条件中哪些是a+b＞0的充分而不必要条件？
A.a＞0，b＞0B.a＜0，b＜0
C.a＞0，b＜0且｜a｜＞｜b｜ D.a=3，b=-2
E.a＞-b6F.｜a｜＞｜b｜
引导：A，B，C，D，E，F中，谁a+b＞0，但反过来，推不出。
：因为a＞0，b＞0；a＞0，b＜0且｜a｜＞｜b｜；a=3，b=-2能推出a+b＞0，反过来，推不出。
所以选A，C，D。
［加强学生思维的灵活性以及分析问题的深刻性］
体验：请同学们自己编写一个“充分而不必要条件、必要而不充分条件”的数学命题。
：在空间，两直线无公共点，则两直线为异面直线。…
［给学生提供活动的时（思维时间）空（思维空间），让主体主动构建自己的认知结构，通过分组交流、思辨，帮助学生深化理解并运用定义，同时让学生在这一过程中获得成功的喜悦］
（四）深化概念
［通过前面的学习，学生可以初步理解充分、必要条件的概念，再从集合角度对这两个概念加以分析，则可以使学生更准确深入地理解其中的内涵。例4强化认清条件和结论的重要性，使学生学习用集合的思想进行判断，更直观、快捷］
二、变式串引申与解释数学概念的外延，提升与养育数学教学的有效
变式是基础教育中有效的教学方式，已成为中国基础教育的灵丹妙药，不同的变式设计可以提升学生的思维层次，还可以成为数学思维较弱者螺旋式认识抽象思维的阶梯，变式串主要解决数学知识体系中的4 W+H中的“是什么”“何地变化”部分。
1.什么是变式串？
变式是相对于某种范式的变化形式而形成的，它不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物的本质特征不变的情况之下，使事物的非本质属性不断迁移。在变式教学设计中形成的一系列问题构成变式串。狭义地说，它是围绕一个“主问题”发散而成的一个个“支问题”。
2.变式串具有哪些特点？
变式串是变式教学的物质基础，精心设计的变式串一般具有下列特点：
(1)广阔性
运用变式教学，培养学生思维的广阔性，思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。进行一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。
(2)深刻性
运用变式教学，培养学生思维的深刻性，变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面。使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而导致的思维僵化及思维惰性。
(3)创造性
运用变式教学，培养思维的创造性，著名的数学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”创新的成功直接依赖于努力钻研的坚韧程度。数学教学中由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，使我们发现问题的本质。要注意主动地克服思维的心理定势，变中求进，进中求通，拓展学生的创新空间。
3.变式串的教学功能
变式教学是我国基础教育中常用的教学方法，通过变式串来使不同认知水平的学习者都能在一定时期内达到对一些数学概念与数学方法的理解与掌握，成为数学有效教学的基本形态。国内著名的数学教育专家顾泠沅认为“变式”教学是我国数学基础教育成功经验的精髓之一，中学教师在教育实践中正是充分利用变式训练方式来提高数学教学的效率与效果的。
案例2 判断函数
(x＞0)的单调性
此题在函数单调性学习中的地位非比寻常。在高一学习时强调的是定义证明的严谨性、规范性，出现差式
时讨论的必要性，以及结果写法的规范性。而在高三学习了导数后，又能突出体现导数的实用性和通用性。
(1)从定义上变式，x＜0时函数有何性质，图象如何？
这就使得我们必须从函数奇偶性上进行考虑。进而画出大致图象，而结合图象则能更好地写出单调区间，这才是函数的基本研究方法。此时，我们称函数
为双钩函数，则是非常形象的。
(2)从联结符号上变式，若改为
，又有何特性呢？
事实上，有很多同学在碰到该函数时总是束手无策，甚至怀疑题目错了。说到底，还是缺少一种基本的反思和总结的意识和习惯。因为显然是增函数。
(3)从常数变化上变式，改为
(a＞0)，又该如何判断呢？
其实，大致的图象并没有改变，只是极值点分别从x=±1变成了
而已。但从学生的思维发展看，跨过的绝不仅仅是这么一小步，从数学知识的发展观来看，也是已经实现了从常系数函数向变系数函数的跨越。
(4)再从x的指数变化上变式，若为
(a＞0)呢？
显然这里就考查到了复合函数知识（或是导数的综合应用）。无论是从知识结构的复杂化、层次变化以及思维的深刻性上都提出了一个新的要求。
(5)如能再提升一个层次，则
(a＞0，n∈N*)又如何呢？
实际上，n的变化也只是奇偶数而已，沿用上述结论就可轻松得解。
以上只是对此问题条件结构的变化，如果对问题的目标“单调性”判断进行变化，又会形成另一个变式串。…
点评：变式延伸知识的价值趋向，在考试中，特别是在决定命运的高考中，我们经常会看到一些似曾相识的题目，但只是改了一点点符号、数字，同学们就会觉得无所适从，归根结底就在于平时缺乏对题型结构的反思意识，因为很多所谓的难题都有它们的背景，决不是空穴来风。如果我们在平时解题过程中善于对题中相关性质的形成过程加以认真详尽的变式琢磨，对其中的细微支撑点加以分析，尝试自己加以适当改变（横向或纵向的），进而探究出其间蕴含的深意，以不变应万变，那么很多难题都能迎刃而解的，其实数学学习的乐趣就在其间，因为在这中间伴随着一系列的思索、探究、改进、创新，直至成功，喜悦也便随之而来，那么谁还会说数学是枯燥乏味的呢？
三、解法串实践与拓展数学思维的发散，引发与促使数学思维的创新
一题多解是对数学问题深入思考的结果，对于不同的解法可以发现不同的思维层次与水平，解法串主要解决数学知识体系中的4W+H中的“何时转化”，“怎么办”部分。
1.什么是解法串？
解法串是针对某一个问题求解而形成的不同思维层次与水平的多个解法，这些解法除了一般解法，还会有一些特殊解法，其中还会产生一些创新的超出传统思维的解法。
2.解法串具有哪些特点？
问题求解是数学学习与学习评价的有效工具，问题求解的水平是检测一个人数学思维能力的试金石，它具有以下的特点：
(1)实践性
解法串最大的特征是它的实践性，一个具体问题的多个解法（一题多解）是教师与学生经过思考而成的实践成果，解题所积累的各种解法形成的解法串是对所学知识的具体实践。鼓励一题多解可以提升数学学习的有效性。
(2)创新性
解法串中最明显或所追求的特征是它的创新性，这种创新既有它的简洁、美妙、独特，又有它的别具一格，思路的多样化。
(3)发散性
解法串是通过不断的发散性思维而形成的，它是一个具体问题所蕴含的知识结构网、能力网的综合体现。
3.解法串的教学功能
解法串在数学教学中，一是有利于学习者建立数学知识与方法的有机结构；二是促使学习者的数学思维过程达到最优化；三是有利于评价学习者的创新思维层次与水平。
案例3 由于向量的数量积有多个计算方法，因而导致向量的问题求解具有多个自然思路，通过一题多解可以使我们对向量的最本质的内核有一个全新的了解。
精彩的解法串在每年的数学高考后都会有所呈现，限于篇幅，不再举例。
在一节课或一个单元的数学教学中，教师将问题串、变式串、解法串进行串联与并联，优化组合而构建起有效数学教学的教育网络。更进一步的深入思考与研究有待继续。