郑州大学机械工程学院
摘要：工程中对某些受弯杆件除强度要求外，往往还有刚度的要求，即要求它的变形不能过大。若构件的变形超过允许，即使构件仍然是弹性的，也看作已经失效，所以要对梁的弯曲变形进行研究。目前工程中是利用弯矩方程求解梁的弯曲方程的，这对目前工程中常见的分段函数梁的弯曲方程的求解是十分冗长繁杂的。下面笔者介绍利用阶梯函数简单快速的求解分段函数练得弯曲方程。
关键词：梁；阶梯函数；弯曲方程
引言：在材料力学中，求解梁的平面弯曲情况，常用其挠曲线的近似微分方程，弯矩M与挠度W的微分方程如下：
在用这个公式进行计算挠度W时，要进行积分运算，其中积分常数的确定很大程度上取决于弯矩方程M的复杂程度。若梁的弯矩方程是一个连续的统一的表达式，那么积分常数是十分容易确定的。然而，在工程中弯矩方程通常是一个分段函数，因此就需要借助边界条件、连续性条件来求解多个积分常数，而且弯矩方程M（X）分的段数越多，所需要的积分常数就越多，故如果没有一种简单的方法来简化求解积分方程，那么，确定以上积分常数便成了十分冗长复杂的工作。所以，我们要利用阶梯函数来简化弯矩方程M（X），来使挠度与转角的求解变得简单。
正文：
阶梯函数：
1.定义：所谓阶梯函数就是像梯子一样一阶一阶上升的，切记递增的。
2.表达式：
利用阶梯函数，可以把在不同区间的分段函数表达式用一个统一的函数形式表示出来。下面笔者将举例子来说明阶梯函数在求解梁的挠度与转角优越性。
例：内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可以简化成在集中力F作用下的简支梁，如图（1）所示。试讨论这一简支梁的弯曲变形。
解：
方法一：
求出梁在两端的支座约束力
分段列出弯矩方程
AC段
CB段
由于AC和BC两段内弯矩方程不同，挠曲线的微分方程也就不同，所以应分成两段进行积分。其积分结果如下：
AC段
CB段
积分出现四个积分函数，需要四个条件来确定。由于挠曲线应该是一条光滑连续的曲线，因此，在AC和BC两段的交界截面C处，（i），（k）两式确定的转角应相等；同理，（j），（l）两式确定的挠度也应相等。即
x=a 时，
，W1=W2
在（i），（j），（k）和（l）诸式中，令 ，并应用上述连续性条件得
由上面两式可求得
C1=C2，D1=D2
此外，梁在A，B两端皆为铰支座，边界条件为
x=0时，W1=0（m）
x=l时，W2=0（n）
以边界条件（m）式代入（j）式，得
D1=D2=0
以边界条件（n）式代入（l）式，得
把上面所求的四个积分常数代回（i），（j），（k）和（l）等四式，得转角和挠度方程式如下：
AC段 
CB段 
方法二：
下面用阶梯函数的方法来求弯曲变形：
首先，利用阶梯函数H（x-a）写出弯矩通式：
其次，对通式进行积分：
最后，利用边界条件：
x=0时，W=0；
x=l时，W=0；
可解得：D=0；
故梁的挠曲线方程为：
结束语：
经过以上的计算、比较与分析可知：阶梯函数在分段函数求解挠曲线方程有着巨大的优越性，它简化了弯矩方程，使得待求解的未知参数的数量减少，极大地简化了其求解的过程，因此，我们有必要掌握笔者介绍的阶梯函数求解挠曲线方程的方法。
参考文献：
[1]刘鸿文主编.材料力学.第五版.北京：高等教育出版社，2011.1
论文作者:王志永,时猛,滕伟翔
论文发表刊物:《基层建设》2015年21期供稿
论文发表时间:2016/3/29
标签：弯矩论文; 方程论文; 函数论文; 阶梯论文; 挠度论文; 积分论文; 弯曲论文; 《基层建设》2015年21期供稿论文;