以形化数 以数解形
——例析小学数学教学中的数形转换思想
张 珑
摘 要： 随着素质教育的引入，目前的小学数学教学进入了一个新的阶段，数学教材也变得多样化。除了看似枯燥的文字和数字之外，图形也成为了数学教材中的一道亮点。我们必须充分利用数学教科书中的图形，整合数字和形状，让抽象复杂的数学问题更加简单化，能够有利于小学生理解。本文笔者就从小学数学的“数”和“形”两个维度进行探讨，例析小学数学教学中的数形转换思想。
关键词： 小学数学；数形转换；“形”
一、引言
所谓数形转换就是指在数学学习过程中或者解决数学问题时将数学的文字和算式以图形的方式呈现出来，或者将图形转换为简单的数字和文字。数形转换不仅能够帮助学生迅速掌握数学概念的核心内容，也是学生有效学习数学知识，并且将知识内化的一种重要学习方法。同时，数形结合也是非常符合小学生身心发展规律的一种教学方式，以图形和文字结合的形式，小学生自然能够更加直观的看到知识点和关键问题，也就能够快速的掌握核心知识，理解关键知识。也正是基于此，研究数形结合和数形转换就成为了当前小学数学教育工作者探讨的重要课题。
二、数形转换在小学数学教学中的重要性
(一) 数形转换有利于培养学生的数学思维能力
“数学是思维的体操”。在小学数学教学中，学生的数学思维能力决定着其学习数学的效率。就小学生而言，他们的思维多以形象具体思维为主，以抽象逻辑思维为辅。但无论是抽象逻辑思维还是形象具体思维，都是我们教师在教学实践中应该引导和培养的，只有促进学生思维发展，才能真正提高学生的综合素质。与传统教学方法有别，数形转换是将“数”与“形”有机整合，以此来加深学生对知识的理解，尤其是对重难点知识的理解。学生掌握了数形转换，就能够将一些复杂的数学问题简单化。其实这一过程就是学生思维能力发展的过程。
(二) 数形转换有利于促进小学数学教学的改革
从核心素养视角下审视小学数学教学，小学数学教师应该着重培养学生的数学思维能力、学习能力。随着新课改的推进，越来越多数学教师将“知识与技能”作为课堂教学的核心。而数形转换思想正好有利于培养学生的思维能力，是发展核心素养的关键；同时指导学生运用数形转换思想，以数形结合的形式来学习也是提高学生数学学习效率的方法，能够帮助学生快速掌握学习技巧，解决问题的方法。因此，无论是从数学核心素养还是新课改角度而言，数形转换思想都有利于促进小学数学教学改革。
向培养好的菌液中滴加指示剂后，空白对照组与鲁氏酵母菌的3组平行试验均未出现红色圆环，而大肠杆菌中出现红色圆环，由图6可知，鲁氏酵母菌的吲哚试验结果呈阴性，大肠杆菌的吲哚试验结果呈阳性。吲哚试验结果表明，鲁氏酵母菌不会分解色氨酸产生吲哚类物质。
缺钼矫正技术：叶面喷施0.01%-0.1%浓度的钼酸铵或钼酸钠溶液，一般在抽梢后的新叶期或幼果期进行喷施为宜。对酸性土壤，增施石灰，调节pH值，保持土壤pH5.5-6.5。
三、小学数学教学中数形转换思想运用策略
继续引导学生假设马路的长一直增加，直到200米，同时指导学生观察线段图，总结植树数量。虽然这样也解决了问题，但是没有真正达到教学目标，这一知识的教学我们应该还要重点培养学生的抽象思维，初步指导学生会建立数学模型。所以在此基础上，我们可以继续引导学生对比分析总路线长、间隔数、棵数三者之间数量关系，然后结合三者的关系建立如下表1的数学模型。
一是直观观察法。这是最直接简单的一种方式，也是小学生最常用的一种数形结合方法。比如在日常的习题训练中，我们就可以引导学生结合题干要求和图形来解决问题，在图上标注题干的关键信息，然后利用图形的直观性，快速地解决数学问题。
由图5可知，在不同成熟度柠檬果醋滋味的PCA图中 ，第一主成分(PC1)的贡献率为96.219%，第二主成分(PC2)的贡献率为2.157%，两者之和高达98.376%，表明PC1和PC2的总贡献率几乎包含了样品的所有信息。DI值为89.6%，这表明不同成熟度的柠檬果醋可以用电子舌区分，彼此之间互不干扰。柠檬原液落于第一象限，与不同时段柠檬果醋的中心相距较远，表明柠檬果醋与原液的芳香性物质已经有了很大变化。酿造1个月的样品位于第二象限，与酿造2个月、3个月的样品相距较远，能够明显区分开。酿造2个月与3个月的柠檬果醋都位于第四象限，且相距较近，说明它们的滋味的相似性很高。
结合题干和图形，学生很快能够总结出三者的数量关系：棵数=间隔数+1。并且这一规律是可以用来解决植树这一类题型的。可见，以图形来总结规律，以数量关系来呈现规律，适当地将数学文字、数学数字和数学图形抽象为数学模型，能够更高效地解决数学问题。
四、小学数学教学中数形转换思想的具体应用
(一) 以形助数，让学生快速习得并内化数学概念知识
在学习了数学概念后，如何将知识内化成自己的才是最为重要的。通常意义上而言的知识内化实则就是让学生明白知识的来源过程和方向，用数学语言形容则是要引导学生明白如何去论证一个数学概念知识的正确性。可以说学生在将数学概念知识内化的过程就是一个将新旧知识完美衔接的系统过程。笔者认为，数形转换思想可以充分利用内化的概念，加深学生对概念的理解。
例如，在《倒数》这一知识的教学中，笔者是这样设计课后练习的：请同学们在数轴上去找知识，找一找1/2，1/4，4/5和3/2，3和4的倒数在数轴上分别位于什么位置，想一想你找到了什么？在实践中，学生通过数轴这一形象的图形可以快速找到问题中数字所对应的倒数，并发现真分数的倒数大于1，假分数的倒数小于或等于1，由此可见利用数轴这一图形来进行倒数这一知识教学，能够更有效的帮助学生理解概念，内化概念。
通常，学生即使快速的了解了数学概念，但是要真正理解和运用却需要更多的时间。然而，图形的组合避免了这种肤浅的学习。通过在数轴上建立数字和点之间的关系，可以加深学生对倒数的理解，并为未来的分数研究铺平道路。
（3）钻孔爆破要求高。①由于该水电站工程为长缓坡钻孔模式，而高拱坝拱肩槽开挖基面坡度最低在1/2.3之间，整体坡度变化趋势不够明显，对预裂钻孔角度控制提出了较大的难题；②在工程施工期间，要求预应力锚固区质点振动速率在1.5～2.0cm/s之间，而岩体振动速度应在9.0cm/s以下，对振动爆破要求较高。
(二) 以数辅形，帮助学生建构数学的模型
假设在一条全长200米的马路上植树，要求每隔5米栽一棵(两端要栽)。请问一共要栽多少棵树？如果一开始就让学生直接算200长的路需要植多少棵树，难度较大。所以我们可以从简单的入手，由简单到复杂，结合如下线段图1解决问题。
图形虽然非常直观形象，便于理解，但是在很多数学问题的研究中仍然需要图形结合，将图形转化为相对抽象的数学模型，在充分进行直观教学的基础上，及时将数学知识抽象化，不遗时机地对学生进行抽象思维培养，引导学生尝试建构数学模型，将事物的规律简单而又深刻地揭示出来。例如教学《植树》这一知识的时候就可以利用线段图来帮助学生认识多种情况下的植树问题。比如设置如下情境：
假设马路长20米
假设马路长25米
图1 植树示意图
小学数学教材涉及的内容非常广泛，包括几何知识、物体运动、复杂的数学计算题，在教学这些知识的过程中我们都可以引导学生运用数形转换的思想来学习和解决实际问题。因为数形转换能够将抽象的数字知识直观化，能够将隐形的数学规律形象化，能够将烦琐的数学计算简单化，提升学生在数学学习过程中的灵活性思维。而在教学实践中，数形转换的方法有如下几种。
表1 植树数学模型
二是画简图法。有些数学题只有文字和数字描述，没有图形。针对这类问题就需要学生动手自己画图，将题干中有用的文字信息、数字信息转化为图形信息，以图形的方式呈现出来。所以，在日常教学中我们要重点培养学生的画图能力和习惯，启发学生遇到复杂问题的时候尝试着从数形转换的角度寻求突破，将复杂问题简单化，通过“画”的方式求解答案。
图1中,设定输入光场为Ein,输出光场为Eout,谐振腔内耦合区域前后的光场分别为E1和E2,耦合区域的耦合系数和透射系数分别为k和t。k与t满足k2+t2=1。输出端的光功率为Iout=|Eout|2,输出端的光功率为Iin=|Ein|2。φ代表谐振器的往返相位,L是谐振器周长,β是传播常数,φ=βL。那么反射式光波导谐振腔的传递函数表示为
(三) 数形共助，帮助学生快速解决数学问题
解决数学问题需要学生具有一定的数学思维，而小学生数学思维尚未完全成熟，学习数学也暂处于一个由外及内、由表及里的动态变化过程，想要突破这个学习矛盾，就需要我们教学中引导学生把数形结合起来。
例题：萌萌每天早上都会喝一杯牛奶，但是每次她都将牛奶分为几次喝，第一次她喝了一杯的1/2，牛奶凉了后她在剩余的牛奶中加满了热水又喝了1/2，你知道萌萌一共喝了多少牛奶吗？
分析：直接让学根据题目作答，学生可能一时理不清思绪，摸不着头脑，甚至不知从何处入手，而我们利用图形对题目中的数字关系进行解释就可能巧妙的化解这一难点。
结合题干和图2来看，只要我们能够算出每一次萌萌喝的牛奶量，加起来就能解决。所以，很多看似复杂的数学难题，其实只有我们善于应用数形结合的思想，将数学文字、数字和图形结合起来，清理题干中的数量关系，明确求解的具体问题，数学问题自然也就能迎刃而解了。
图2 喝牛奶示意图
五、结束语
数学家华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”。可见，图形互换思想在小学数学教学中的重要性。作为新时期小学数学教学者，我们必须指导学生以形化数，提升学生的理解能力；以数解形，培养学生数学抽象思维，建立数学模型；数形结合，将数学难题逐一击破。
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作者简介： 张珑，福建省泉州市，洪濑中心小学。