中铁上海设计院集团有限公司 上海 200070
0引言
波纹钢腹板曲线箱梁具有自重轻、抗震性能好、腹板无裂缝、预应力利用效率高等优点，在城市立交、匝道逐步应用和推广[1-4]。然而，波纹钢腹板由于纵向弹性模量较小，相比混凝土腹板箱梁更容易发生纵向翘曲变形和畸变翘曲应力，而且畸变正应力相比弯曲正应力达到不可忽略的比例[5-7]；其次曲线箱梁具有弯扭耦合特性，无论是在恒载还是偏载作用下，均产生畸变翘曲应力。因此准确计算波纹钢腹板曲线箱梁在各荷载工况下的畸变正应力具有十分重要的意义。
文献[8]针对混凝土直线箱梁进行了畸变分析理论的研究，明确了畸变中心的定义，确定了畸变位移模式，剪力了考虑剪切效应的畸变分析理论，结果表明剪切变形对畸变翘曲应力和横向弯曲应力的影响较小。文献[7]在考虑波纹钢腹板正交异性的特点的基础上，推导了波纹钢腹板直线组合箱梁畸变控制微分方程及求解方法。文献[9]采用节点具有9个自由度的曲线箱梁单元，包括两个畸变自由度，通过有限元准确计算箱梁畸变正应力和横向弯曲正应力。
本文在薄壁曲线箱梁的基础上[10]，考虑波纹钢腹板正交应力以及曲线箱梁弯扭耦合特点，忽略剪切变形的影响，推导了波纹钢腹板曲线箱梁畸变控制微分方程，并采用弹性梁法进行求解。
1波纹钢腹板曲线箱梁畸变分析
1.1基本假定
波纹钢腹板曲线箱梁畸变分析时采用以下几个假定：
（1）组成箱梁的各板元沿自身平面内满足平截面假定，可用初等梁理论计算弯曲应力。
（2）箱壁很薄可不考虑应力沿壁厚方向的变化，即认为翘曲正应力和翘曲剪应力沿壁厚均匀分布。
（3）忽略各板元平面的法向应变及各板元平面内的剪切变形。
1.2波纹钢腹板特性
波形钢腹板示意图如图1所示，虽然曲线波形钢腹板平板段与斜板段之间的夹角α是变化的，但是由于波段长度l与曲线箱梁半径R相比很小，可以近简化为直线波形钢腹板进行研究。波形钢腹板纵向弹性模量Ex与波高h、板厚t及波形钢腹板形状系数ζ有关，其纵向弹性模量表达式为
（1）
式中Es是钢材的弹性模量，由于h一般是t的几十倍以上，因此波形钢腹板的轴向弹性一般很小，可不考虑波形钢腹板在结构中的抗弯性能或者抗翘曲性能。
图1 波纹钢腹板示意图
根据惯性矩的移轴、转轴公式，可以求得关于z轴单位长度横向抗弯惯性矩为：
（2）
1.3畸变荷载
波纹钢腹板直线组合箱梁主要承受恒载（自重+二期恒载）和活载作用（偏心荷载），活载一般指车辆引起的偏心荷载，可将偏心荷载分解为对称荷载和反对称荷载，反对称荷载又可分解为刚性扭转荷载和畸变荷载，如图2所示，直线箱梁一般仅考虑畸变荷载产生的畸变应力，但是对于波纹钢腹板曲线箱梁，由于弯扭耦合效应的影响，不仅要考虑在畸变荷载下的畸变应力，还要考虑恒载和对称荷载下，由弯曲变形耦合的畸变变形产生畸变应力的影响。
图2 反对称荷载分解图
1.4畸变翘曲函数
如图3所示，箱梁截面上的x、y、z方向的位移分别用u、v、w表示，中心在箱形截面的畸变中心D[8]。环向坐标s的位移用vs表示。根据曲线薄壁畸变分析理论[]，根据弹性理论假设，纵桥向正应变εz和剪应变γzx可以分别表示为：
（3）
（4）
根据前述畸变分析的基本假定（3），忽略由于畸变引起的剪切变形，即
（5）
环向位移vs可以由截面畸变角γ和截面中心线上任意一点至畸变中心的垂直距离ρ表示
（6）
将式（5）、（6）代入（4）式得：
（7）
上式沿s进行积分，畸变翘曲位移w表达式为：
（8）
畸变翘曲函数wD（s）定义式为：
（9）
结合式（8）、（9），畸变翘曲位移与畸变翘曲函数的关系表示为：
（10）
对于单轴对称截面，畸变翘曲函数是反对称的，而且在对称轴上畸变翘曲函数为0，畸变翘曲函数分布图见图3所示。令顶、底板与腹板连接处两角点的翘曲函数比值为β=wD1/wD2，于是wD1、wD2、wD3可用β，表示为：
图3 单轴对称断面畸变翘曲函数分布图
1.5畸变正应力
将式（10）代入到式（3）中，畸变正应力表达式为：
（11）
Ei—弹性模量，对于混凝土，Ei=Ec，对于波形钢腹板Ei=Ex。由于翘曲函数wD关于y轴反对称，因此畸变正应力也关于y轴反对称。
对于波形钢板曲线箱梁，在腹板与顶底板交界点处，由应变协调可得：
（12）
上式表明，顶板、底板与腹板交界处，腹板畸变翘曲应力是顶底板的nxc倍，腹板承受的畸变翘曲应力很小。
由于畸变荷载产生自平衡力系，即不产生额外的轴向力N，弯矩Mx、My，下边的式子必然满足：
由于畸变正应力关于y轴反对称，因此（13.a）、（13.b）自然成立满足。
为了便于计算，分别用Au、Aw、Al表示箱梁顶板、腹板、底板面积，根据式（11）、（13.c）求得底板与顶板畸变翘曲应力比值β为：
（14）
于是wD1和wD2就可以用β表示：
1.6畸变剪应力
曲线箱梁畸变位移如图4所示，箱梁腹板的扭转角θ可用上、下翼缘板的径向位移uu和ul表示为：
（16）
箱梁断面中连接两块板的节点因畸变竖向位移和径向位移而产生的畸变角为：
（17）
图4 曲线箱梁畸变位移
在畸变荷载作用下，沿截面周边产生剪力流，形成自平衡体系。剪应力是由于在轴向的正应力不平衡产生的。取箱壁单元ds×dz，见图3，根据平衡条件得知：
（18）
由畸变荷载产生的畸变剪力流：
（19）
—畸变翘曲常数；
—畸变荷载产生的扭矩；
—畸变翘曲静矩；
由畸变荷载产生的扭矩
（20）
畸变翘曲静矩SDw可以用畸变翘曲函数wD表示：
（21）
畸变翘曲静矩分布图如图3-4所示，由于在悬臂自由端没有剪力，因此在悬臂端SDw=0，在顶板中心处，SDw=C2
图5畸变翘曲静矩SDw分布图
积分常数C2可以通过截面上由畸变产生的总扭矩MT=0求得：
（22）
式（21）积分应该涵盖整个横截面，包括悬臂端，求得C2表达式为：
（23）
1.7畸变翘曲应力产生的横向框架变形
在畸变荷载作用下，横向框架产生畸变变形，如图6所示，畸变剪力可以通过畸变剪力流公式（19）积分得到。
对底板：
（24）
—表示底板畸变翘曲刚度参数。
对腹板： 
（25）
—表示腹板畸变翘曲刚度参数。
定义畸变翘曲刚度参数为
，i可取u，v，l（26）
全截面畸变翘曲刚度：
（27）
同时畸变翘曲刚度参数也可以由下式表示：
（28）
k，l—分别表示板元起始和结束节点编号
当参数wD1，β和C2得以确定后，式（27）都得以确定，而且式（28）更容易计算。
图6 畸变荷载产生的横向框架变形
根据平面框架分析，横向框架沿梁曲轴单位长度由一对自相平衡畸变力矩：
（29）
其产生箱梁断面各角点变化可以表示成
（30）
—断面抗畸变框架刚度；
式中：
（31）
—上翼缘板单位长度惯性矩；
—下翼缘板单位长度惯性矩；
—为沿轴向单位长度的波形钢腹板横向抗弯惯性矩等效为混凝土抗弯惯性矩。
1.8梁的曲率与畸变角的关系
根据曲线箱梁微段扭矩的平衡方程[]，可以得到：
（32）
上式表明，由于曲率的影响，弯矩Mx可视为等代均布扭矩Mx/R，在建立曲线箱梁畸变角γ基本微分方程时必须计入这一等代均布扭矩对曲线箱梁上、下翼板和腹板所组成框架断面变形的影响。
曲线箱梁截面上法向均布力nz和剪力流nzs可以表示为：
A0—表示箱梁闭口断面中心线所围成的面积。
图7 波形钢腹板曲线箱梁箱壁上的径向力
图7表示由两相邻径向平面所截取的一曲线箱梁单元体，把上述法向力 
和剪力流 
作用在该曲线箱梁单元体上，考虑到曲率的影响由此产生的径向力在两侧腹板中曲面yz单位面积上成线性分布的力为：
（34）
此外还有作用在上、下翼缘板平面内由弯曲应力产生的径向力：
根据式（33.b）给出的由总扭矩Mz产生的剪力
对
求导同外加均布扭矩
一起也同样可以通过方程（32）求得与梁曲率相关的，作用在单位面积框架上的荷载
（36）
分布如图所示，其中作用在上翼缘板上的 
应与 
叠加，作用在下翼缘板的
和
叠加以求出他们的合力，然后连同两侧腹板上的作用力 
和 
一起进行平面框架分析，按照结构力学方法解出框架个角节点相应的角度变化为：
（37）
式中， 
表示考虑曲率影响时箱梁断面的无量纲形状系数；
1.9荷载效应
设作用在单位长度曲线箱梁上的扭转荷载为mt，则由此引起的沿梁曲轴单位长度的畸变垂直剪力
和畸变水平剪力 
可以分别应用Bredt第一公式[]求出如下：
相应于这些畸变荷载分量产生的单位梁长畸变矩
为
（40）
于是在外荷载 
作用下箱梁框架产生的畸变角 
可表示为
（41）
1.10曲线箱梁畸变角基本微分方程
曲线箱梁实际产生的横向框架畸变角γ应由一下三部分组成：
1.由曲线箱梁畸变翘曲应力产生的横向框架畸变角 
；
2.由曲线梁曲率影响通过等代均布扭矩
作用下产生的横向框架畸变角
；
3.由外荷载 
效应产生的横向框架畸变角
。
畸变角：
（42）
将式（30）、（37）和（41）分别代入上式，我们可以得到：
（43）
曲线箱梁畸变角基本微分方程：
（44）
式中
表示断面变形时的衰减系数；
—畸变翘曲刚度，对应于图3-2所示的箱形断面，其值为
（45）
1.11畸变控制微分方程求解
根据箱梁畸变微分方程与弹性地基梁挠曲微分方程的相似性，通过求解地基梁的弯矩和挠度影响线求得箱梁的畸变双力矩和畸变角影响线[]。
当 
时，跨中区域作用一畸变荷载时，该截面畸变双力矩和畸变角相当于无限弹性地基梁在相应荷载作用下的弯矩和挠度。根据初参数法，可以得到箱梁各截面的畸变角和畸变双力矩的表达式为：
对于有限梁长
，同样也可以应用初参数法求解微分方程，并由边界条件确定各初参数后得到影响线方程。
2 算例
本算例是基于日本长野县白沢（zé）桥，桥长51.6m，跨度50m，平曲线半径R=250m，圆心角12°，预应力混凝土简支波形钢腹板曲线箱梁桥。为了与推导过程所加荷载保持一致，将偏心集中力P=550kN按图3-1进行荷载分解，竖向畸变分力VD=550/4=137.5kN，水平畸变分力HD=137.5×4.95/2.34=289.6kN，如图3-7所示。
图3-7 跨中畸变荷载示意图
波形钢腹板横向抗弯惯性矩：
等效为混凝土后的腹板横向抗弯惯性矩：
腹板按横向抗弯惯性矩等效后的厚度： 
底板与腹板连接处两角点的翘曲函数比值：β=2.503
断面抗畸变刚度：KD= 66802N•mm
断面抗翘曲刚度：EID=11273×104 N•mm4
断面衰减系数：λ=0.110
截面畸变翘曲函数分布如图3-7所示：wD1=0.392，wD2=2.503
图3-8畸变翘曲函数分布图
其中 
，跨中截面作用一单位畸变垂直分力分力偶时，根据初参数法，可以得到箱梁跨中截面的畸变角和畸变双力矩：
，
根据畸变翘曲双力矩与畸变翘曲应力的关系，截面畸变翘曲正应力理论值分布如图3-9所示，截面畸变翘曲正应力有限元值分布如图3-10所示，对比两者结果：
（1）波纹钢腹板在图3-7畸变荷载作用下（由内侧扭转荷载分解而来），内侧受拉，外侧受压，理论上畸变翘曲应力关于截面中心线成反对称，实际上由于曲率的影响，畸变翘曲正应力内侧略大于外侧，相差不超过1%，因此可忽略曲率对畸变正应力的影响；
（2）在畸变荷载作用下，底板内侧出现最大畸变翘曲拉应力，理论值为σD=1.182MPa，有限元值为σD=1.117MPa，误差为5%，因此理论计算结果具有很高的准确性。
图3-10畸变翘曲正应力FEM分布图
参考文献：
[1]陈宝春，黄卿维.波形钢腹板PC箱梁桥应用综述[J].公路.2005（07）：45-53.
[2]陈宝春，黄卿维.波形钢腹板PC箱梁桥应用综述[C].中国杭州：2005.
[3]乔晋姿，祝兵.波形钢腹板PC组合箱梁发展综述及受力分析[J].四川建筑科学研究.2008（04）：49-52.
[4]王福敏，张长青，周长晓.波形钢腹板箱梁研究成果综述[J].公路交通技术.2001（01）：28-31.
[5]李宏江，叶见曙，万水，等.波形腹板箱梁的扭转与畸变分析及试验研究[J].桥梁建设.2003（06）：1-4.
[6]李宏江，叶见曙，万水，等.波形钢腹板箱梁横隔板间距的研究[J].公路交通科技.2004（10）：51-54.
[7]杨丙文，黎雅乐，万水，等.波形钢腹板箱梁畸变应力分析[J].东南大学学报（自然科学版）.2011（05）：1065-1069.
[8]徐勋，强士中.薄壁箱梁畸变分析理论的研究[J].工程力学.2013（11）：192-201.
[9]Park N，Choi Y，Kang Y.Spacing of intermediate diaphragms in horizontally curved steel box girder bridges[J].Finite Elements in Analysis & Design.2005，41（9）.
论文作者:田宝升
论文发表刊物:《基层建设》2018年第27期
论文发表时间:2018/10/17
标签：畸变论文; 腹板论文; 荷载论文; 应力论文; 曲线论文; 波形论文; 截面论文; 《基层建设》2018年第27期论文;