一题多变和多解成就智慧课堂论文

一题多变和多解成就智慧课堂

王菊香

摘 要： 高中课堂教学是提高学生基础素质的关键；是实施素质教育的主战场；是师生沟通的主窗口。一题多变和多解，可以挖掘数学教材中蕴含的知识、技能、过程、方法、情感、态度和价值观。这样就可以大幅度提高学生的数学基础知识和思维能力的容量。

关键词： 一题多解；变式；思维

这是2016年普通高等学校全国统一考试理科数学(Ⅰ卷)的第17题：

△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC (a cosB +b cosA )=c 。

(1)求角C ；(2)若的面积为求△ABC 的周长。

中央政府和地方政府具有不同的政策偏好，这源于中央和地方在政策目标和利益取向上的不同，一项科技创新政策在不同层级的政府眼中所发挥的作用是不尽相同的。牛忠志认为由于地方政府的科技创新政策能够直接作用于当地的企业，目标比较明确，反映更加迅速，手段也更加直接，从而在推动科技发展方面与中央科技创新政策相比能够取得更加有效的效果。也有学者持完全相反的观点，李建民、陈敏认为地方政府在政绩考核的压力下，往往会以GDP总量为主要追求目标，而在此背景下，地方政府对科技投入的热情并不高，这就造成了科技创新政策在地方的实施效果大打折扣，在科技创新政策的制定上也远远落后于中央政府。

式（5）、（6）中，q11,t和q22,t分别为深圳和香港市场残差标准化后的条件方差，q12,t和q21,t为两市场间的标准化残差的条件协方差，ρ12为两市场之间的无条件相关系数，式（7）中的μ1,t-1和μ2,t-1为标准化后的残差项，a、b为非负参数，为了保证标准化后的残差项的条件协方差矩阵正定要求，要求a+b＜1。

一、一题多解

由正弦定理(R 是△ABC 外接圆半径)，得

解答：(1)(法一：边化角)

台灯上连着电线，虽然看起来只有一条线，但里面却是两股线。电线的末端是插头，把插头插在插座上之后，就有电流通过了。这时打开台灯开关，电流就能到达灯泡，使亮起来。

电网调控模型中心体系架构与关键技术//季学纯,徐春雷,杨志宏,吴海伟,李昊,杨启京//(16):127

这里就针对第(1)问来讲解一题多解。此题的知识背景是利用正余弦定理和面积公式来解决这道解三角形的试题。第一种方法通过正弦定理达到边化角的目的，再根据特殊角的三角函数关系，得到角的大小。第二种方法是通过余弦定理达到角化边的目的，再由余弦定理得到特殊角的三角函数值，最后根据特殊角三角函数值得到角的大小。

2cosC (sinA cosB +sinB cosA )=sinC ⟹2cosC sin(A +B )=sinC

健全的组织结构和具备竞争力的人力资源队伍相辅相成，互相支撑，是地方国有平台公司健康发展的重要保障，本文依据当前现状，提出当前地方国有公司平台在发展中存在的政府行政主导，决策速度慢；力资源管理粗放，缺少竞争机制问题，并针对问题提出实现政企分离，完善人力资源管理机制；加强部门设置、增加党和组织岗位比例；施行完善的人才管理策略，进而有效提升地方国有平台公司组织人力资源配置的公平性、专业性。

因为sin(A +B )=sin(π-C )=sinC ，所以得C =60°。

分析(2)：已知一对元素和面积求周长。

由余弦定理

婶子，这我可作不了主。你也知道，县里下了死命令的，一个也不能拉下，好多地方，妇女同志都上去了。要说特殊情况，人人个个都有。没等桂娭毑把话说完，招财眼皮一翻，将门堵了。

思维角度1：母题和变式(1)(2)都是利用余弦定理与面积或周长公式，得到关于a ，b 或a ，b ，h 的方程组，通过求解方程组达到目的，而且结论是确定的值。

所以得C =60°。

对第(1)问，教师采用了一题多解的方法来解答，从不同角度分析了该问题，达到了复习正余弦定理的目的。可以启发学生主体性思维、建立多元化视角以及打破固定思维模式的有效方法，对培养学生的数学核心素养具有推动作用。

二、一题多变

这里针对第(2)问来讲解一题多变，母题考查的是余弦定理、面积公式及解方程组的能力和技巧，目标是三角形周长。

(法二：角化边)

解答(2)：由余弦定理，7=a ²+b ²-ab ①由面积公式得ab =6②

比较轻。⑤诊断性腹腔穿刺结果为阳性。⑥B超诊断可以同CT和MR、脾动脉造影来进行确诊。可是,患者的腹部外伤,特别是左下胸和左上腹损伤会让这些部位的疼痛蔓延到整个腹部,合并恶心呕吐症状,患者面色苍白,脉搏加速,无法翻身和移动,移动时的疼痛感比较强烈,这些都表示患者的脾破裂引起了腹腔内的出血。这个时候,应该让患者安定,快速的进行简单的检查,检查时不要对患者进行过多的移动,避免延误治疗;不要使用吗啡等强效止痛药物,防止药物会让患者的病情被掩盖,导致患者的治疗不及时,引起严重后果。早期确诊后及时合理的治疗是可以避免患者死亡的,此次我们的患者就是在2天内获得了治疗,效果突出。

由①②得，a +b =5，所以△ABC 的周长为解毕。

第(2)题变式(1)已知一对元素和a +b =5(周长)，求面积；

变式(2)已知一对元素和a +b =5(周长)，求AB 边上的高h ；

政治是统帅，是灵魂。只有思想统一步调，才能够提高工作效率，人们才能够工作有劲头。因此，要提高人们的思想认识，要让领导和职工都要认识到畜牧局档案管理工作是一项非常重要的工作，它关系着畜牧业发展的长期性，影响到整体的效益问题，必须要管理好档案工作。所以，作为领导要首先认识到其的重要性，更要提高畜牧局档案管理人员的思想认识，让他们更新观念，下决心去干好完成好这一工作，要有长期工作下去的坚定信心。思想的统一定能出现好的效果。

即a ²+b ²-c ²=ab

变式(3)已知一对元素求面积S 的最大值；

解答：由余弦定理得7=a ²+b ²-bc ①

所以当且仅当时，面积S 的最大值为

因为基本不等式定理得当且仅当a =b 时，取”=”。

因为a ²+b ²≥2ab ，当且仅当a =b 时，取“=”。

变式(4)已知一对元素求AB 边上的高h 的最大值；

变式(5)已知一对元素求周长C 的最大值；

解答：由余弦定理得7=a ²+b ²-ab 即7=(a +b )²-3ab ①

考虑到极端情况，譬如因为主监控中心火灾或者受非典疫情等影响，造成主监控中心不能再继续办公，这时要求备用监控中心应选在远离原中心的另一幢大楼里，考虑到交通便利和办公设施方便等原因，故选址定在离原监控中心大约 10公里的220kV**变电站内，该处也在城区范围内，交通和通信便利，便于开展各项工作。

所以①式变为7≥2ab -ab 即ab ≤7，因为

所以①式变为即

所以当且仅当时，周长C 的最大值为

思维角度2：变式(3)(4)(5)，在前面的基础上减去了面积或周长这个条件，变为求最值的问题。条件的缩减，题目的难度加大了。要用到基本不等式定理和不等式定理。从而复习了不等式定理。

变式(6)已知元素C =60°，求sinA ±sinB 的取值范围；

一是落实支持农村供水工程建设、运行的优惠政策，制定简化使用土地审批手续、免征耕地开垦费等相关政策，落实农村饮水安全工程供水用电执行农业排灌用电价格。在此基础上制定农民定额内用水享受优惠水价、超定额用水累进加价政策的具体办法。

解答：由三角形内角和定理得B =120°-A ，A ∈(0°，120°)

深化企业审计改革过程中，必须加强重大风险及新形势下不适应要素的调整，优化企业审计目标、审计内容、组织形式等方面。保证审计机关严格执行企业改革要求，落实调整、促进、协同、发展的基本要求，调整企业审计体系的各项细节。保证国企深化改革改革的全面落实，发挥监督效能，保证国企内部审计、国家审计、社会外部监督机构的全面综合化发展。

因为A ∈(0°，120°)，所以A +30°∈(30°，150°)，得所以sinA +sinB 的取值范围是

变式(7)已知元素C =60°，求cosA ±cosB 的取值范围；

变式(8)已知元素C =60°，求sinA ±cosB 的取值范围。

思维角度3：变式(6)(7)(8)中，已知条件再次缩减，所求目标转化为三角函数问题了。先利用三角形内角和定理把二元变量转化为一元函数；再利用三角恒等变换公式和辅助角公式把它化成y =A sin(ωx +φ )+b 或y =A cos(ωx +φ )+b 的形式；最后利用三角函数的单调性性质得出取值范围。

三、利用思维导图来梳理此题讲解内容

在教师讲解一题多解和一题多变的过程中，数学基础知识会不知不觉地、源源不断地汇聚到学生的大脑；发现问题能力、分析问题能力和解决问题能力也会潜移默化到了学生的思想里；数学归纳总结能力、逻辑推理能力和自主学习能力都会向学生的大脑袭来。

作者简介：

王菊香，湖南省湘西土家族苗族自治州，湖南省永顺县第一中学。

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