美国的数学教育，本文主要内容关键词为：美国论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
本文是作者为意大利数学家写的一篇报告，作者是美国Center for Mathematical Education，Newton，MA的主任.鉴于其中对美国数学教育作了较全面的介绍，故摘译于此，希望有助于我们改进教学.作者还有另一篇文章讲中学数学教师的数学培训，因未找到，原文中涉及该文处，只好改写，又因为时间关系，没有逐句仔细翻译，但希望大意不错，请读者原谅.
美国各级教育最明显的特点是其分散性.大学前的教育，即由幼儿园到高中（以下简称K-12，K指幼儿园，12指中小学共12年，下文还有K-8，即由幼儿园到初中），均由税收支持，是强迫的义务教育，到16岁为止.美国没有全国统一的教学大纲.50个州中，大多数只有一个课程框架（以下简称“框架”）.具体安排放到县市.（美国体制州下设县（county），其下为市（city），即城市，下文中称市.例如旧金山就只是一个城市，属于Alameda县.州和县有独立财政和税收，市则没有.）但有一些州称为“正式通过州”（adoption state），即教材须经州政府通过才能使用.加州和德州是最大的“正式通过州”.各地教师组织自己的工会，分属州和全国的工会.工会和各地政府谈判各地教师的工资.
教育的分散性来自经费来源不同.尽管联邦政府给州政府以补助.经费主要仍来自地方.因此各州教育经费差别极大.富裕城市在工资，设施和服务上好得多.以麻省为例，平均年教育经费为＄6000到＄12000不等.因此各地学生升入高校百分比也大不相同，从少于50％到95％以上都有.
高等教育更加复杂.绝大多数情况下，入学是竞争性的.由学生自行向各院校申请.私立大学经费全靠学费和私人捐助.与此平行的有州立大学系统，则由州财政部分支持.所有大学都要收费.由州立大学的每年＄10000（包括住宿）到私立大学的每年＄35000不等.学费对学生和家庭都是很大的负担.许多情况下，若一家有一个以上大学生，学费支出会超过全家收入.所以有许多贷款和奖学金计划.一个大学生毕业时有＄50000的债务的，并不少见.
除四年制院校（以下仿中国习惯称为本科）外，还有二年制学院，即社区学院（下称专利，实际上低于中国专科）.这些学院都是公立的，学生来源很不相同.有的是因为所谋职业并不需要本科学历；有的想将来专升本；还有的就是因为读不起本科.绝大多数专科都不住校，所以按课收费.一门每周4小时的学期课平均收费＄300.所以负担并不轻，何况有的学生还有全职工作，有的还要养家.大约有40％的教师都只有专科学历.
美国的学校尽管组织上是形形色色，美国的教育却令人惊奇地一致.这是因为有一些教育以外的力量在起作用.
在大学前阶段，教科书的出版就是这种力量之一.出版商花大投资使这些教材符合加州和德州的要求.结果，这些教材的目录就和这些大州的“框架”十分相似了.所以“框架”实际上成了最低限度必学课题（例如不同分母分数的加法）的清单.所以，主流的教材就是由讨论这些课题的各章凑合起来的.按这种以课题为主线的课程设计方案把教学内容堆积在一起，使得例如中学4年级的教材，共18章，厚达700多页，内容则是从解三角形到数据分析直到复数.这就成了事实上的全国通用的教学大纲.
经济和社会的力量还以其他方式影响普通教育.一方面工人阶级的家长们把教育看成“伟大的平等派”，教育是美国这个社会里通向上一层的唯一的通行证.另一方面，教育又通过种种微妙的机制（例如“培养好公民”）来维护阶级差别，制造出各级劳动大军.这种对立在美国的教室里无日不见：一方面，教师每天努力使学生成为有创造性的，会思考，能解决问题的人，提高他们的技能，加强他们的自信；另一方面，又花大量时间保证学生们听从权威，服从一套很精密的校规，把什么都管得死死的，从准时到学生服装，甚至什么时候上厕所都管.
过去十年来，还有了一个极有威力的抹平差别的力量.这个现象在其他国家比过去的美国常见，这就是高风险的考试.纳税人希望能通过他们选出来的官员对于他门认为是自治领地的学校实行监控.所以就要求全国学生进入高一级学校一定要通过考试.通常每门课要考三次.以麻省为例，四年级，八年级和十年级要考数学.十年级数学考不及格，中学就不能毕业，就要补考到通过为止.美国制度可能有一个特别之处，就是坚持地方为主的精神，所以各州自有其考试“标准”（通常即列出各年级考试要点），自己设计自己的考试.所以各种教育主张的人就跑到各州对那些能管得了标准和考试的人大搞公关.教师为使学生能通过考试，受到极大的的压力.通不过考试的学生就要进“备考班”，补习考试的要点.考试成绩要登报（译者按，这是说在报上登学校的排行榜，而不是学生的成绩），按通过学生的百分比来判断学校好坏.一个城市学区的成绩会影响当地房地产价格：因为学校好，人们就会搬到这里来，房地产价格就会上升，税收就多，教育经费也就更多了.学区成绩差，房地产价格就会下降，支持教育的税收也就少了.
最后，还有许多行业组织来填补全国统一教学计划的空白.1989年，由于许多数学教师对美国的数学教育不满，全美数学教师联合会（National Conference of Teachers of Mathematics，NCTM）发表了课程与评价标准.它虽不是教学大纲，但它主张更多地以学生为中心，以儿童的活动为教学计划的基础，尽量减少硬背死练.课程与评价标准激励人们在课程建设，教师培训与教师在职培训上作了大量工作，成为各州框架与标准的范本.国家科学基金会（National Science Foundation，NSF）对大纲的革新给了大量投入，使课程与评价标准更具体了.但是，也出现了对课程与评价标准这个报告很极端的解释.这一点我将在讲政治的一节里讨论.它的最新的版本就是为了对其某些建议作一些微调，也对某些打着它的旗号的过分的事作一些说明.
美国专科学院数学协会（The American Mathematical Association of Two Year Colleges）也制定了一套类似的指导原则，而数学科学理事会（Conference Board of the Mathematical Sciences），这是16个专业团体的最高组织，最近也就教师的数学培训发表了一套建议.我们将在讲教师培训的一节里细说.
虽然没有全国统一的教学大纲，一些联邦机构，特别是国家科学基金会和联邦教育部很关注改进全国数学教育.国家科学基金会支持大纲的制定，教师的在职培训和教师培训的革新，特别是提高教学从业人员的数学素质.这两家都资助研究如何找到更有效的教学方法，以及更好地理解青年是怎样懂得数学的.
所以，虽然决策和管理都在地方，其上面还有一个由各种力量所成的网，把差别抹平，使教育的效果相当均衡.以下各节里，我要比较仔细的讨论这种均衡性，特别是关于数学教学和教师培训.
数学职业
前节中我们讨论了那些以不同方式形成教学职业的结构和力量.本节中我们则集中讨论高中的数学教学.
教育由地方出资的传统对于教师的工作条件和工资有直接影响.教师的起点工资只及其他能吸引主修数学的人的职业起点工资的50—75％，但是一些富裕的城郊的情况却是例外.工资的增加决定于工龄和毕业后学过的课程.不论学过些什么都算数，所以为教师提供各种进修课程就成了一个大行业.其中有方便的短期班，一日的讨论班，以及周末班，来帮助教师加工资.这些班的水平和强度差别极大，其内容主要是教学技巧，新技术的应用和班级管理.
在麻省，每年加工资都由工会和当地学校董事会谈判，所以就与其它工会的谈判形成竞争，也与当地预算和税收有关，而这两项的增长都要受法律约束.谈判结果几年不加工资也是常事.
每个工作日一般是早上7～8点到下午.一个教师通常上3～4门课，每天4～6节课.每个班约25～35个学生.
许多教师对技术很在行.1980年代许多学校对微机作了很大投资，但学校里主要使用计算器：低年级使用数值计算器，高年级则使用科学（绘图）计算器.还有少数教师会用动态几何环境，统计软件包以及计算机代数系统（CAS）.但是除非这些东西能放在掌上计算机中，只有少数热心者会用.这些计算环境，主要是代替纸和笔，特别是在几何中用于检验猜想.这使许多教师感到迷惑：数学软件本事这么大，自己教的东西还有什么用？特别是CAS技术是这样.我就听到许多教师明确对我说，有了掌上计算机中的CAS技术，现在教的代数课好多都过时了.CAS技术在学校中生根很慢，这不是偶然的.
虽然有些学校用“集成的”大纲，多数学校仍按美国传统把数学分成四门课：即初等代数，几何，高等代数和“前微积分”（三角形，解析几何，和函数图像的混合物）.能比计划早一年学了这个系列课程的学生，就可以在最后一年选学微积分.最近的倾向是加上标准的统计，概率论和组合学课程.
尽管听起来很统一，其实学校与学校之间，甚至一个学校内差别也很大.学校与学校之间的区别当然与社区能够和愿意拿出多少钱用于教育有关.一个学校之内的差别就是另外一回事了.
美国人有一个很广泛的看法，学好数学的能力是天生的，要就有要就完全没有；要么您天生可以当一个工程师，科学家和数学家，要么，您对数学就什么也学不会.小孩子如果小时候数学（通常是算术）就跟不上班，就会被认为数学“完全不行”，后来就会被归入“不能学数学”的那一群.到他们进中学以后，就被归入一种分级别制度的差的一层.学生按能力成了五个级别.最好一级的少数人被培养去考大学（甚至还给他们讲一点什么是数学），差生只这一点小学最浅的内容：代数就是一点数值的和符号的演算，几何完全不讲证明，只是一些名词和练习一下面积公式，许多差生要么这种课还有一门不及格，只好重学补考，要么完全丢掉数学.
学生变成差生固然有多种原因，来自贫寒家庭的孩子们通常都只能到此为止.正是这些孩子们最能感受到学校按文化把人分成等级的压迫，他们的家庭对他们毫无支持，又感不到智力上的满足，最后许多人就出走了，而且难于控制，这种现象正向校外蔓延.这是美国教育的软肋.影响了许多成人的厌学，其主要根源在此.这也是美国校园中大量暴力事件的温床.
我是不是把美国的中学教学情况说得太惨？工资过低，工作过重，对学生行为的规矩太苛刻以及广泛的把学生分等级的制度，这些还远非教师们遇到的全部问题.我还没有提到美国公众普遍地对教师不尊重（马克吐温有一句话在美国很流行：有本事的显本事，没本事的去教书）；我也没有讨论，在美国教师没有第二职业就难以糊口（而这个第二职业通常又与教育无关）这件事.我说过，提高教师的数学水平对改进美国的数学教育是不可少的，但这绝非美国学校面临的唯一问题，而且在许多方面也不是最难的问题.
尽管如此，教学对于我们这些人有一种吸引力.我认识很多中学数学教师，跟他们共过事，他们中的绝大多数都愿为学生尽力，觉得自己的工作很重要.在我看过的一些班级，数学教的确实不怎么样，我认识许多教师觉得自己最重要的工作是帮助学生建立“好”的价值观，建立对权威的尊重.我极少见到完全不关心学生的教师，也极少见到极努力帮助学生成功的教师.
说来也怪，在这个国家，这个职业吸引人正在于这些叫人伤心之处，我从自己的经历中举一个例子.我工作过的一个学校（在波士顿郊外一个工人阶级聚居区的城市里），尽管行政人员和教师看法多不相同，但都关心学生的利益和进步.当这个制度下的底层学生进入中学以后，我们简直无法帮助他们跟上高一级的课程.但是我的同事和我都觉得和这些学生在一起很令人满意.因为我们得到了学校行政的信任，而且在绝大多数情况下，我们也不打算培养他们进大学.所以这个学校的许多“低级”课程就成了让学生用计算机语言设计解题计划并执行这些计划的课程.当我看到这些“不能学数学”的学生在使用数学特有的方法上和我的高级课程的学生毫无区别时，我教书的方法就有了很大的改变.虽然这些学生因为学数学技巧的准备不足，不能学通常教学计划中的高级课程，有些人还是学了更多的数学课，少数人还读了高级的“自学”选修课.此外，随着我的数学教学的进展，我还看到了绕过二十世纪七、八十年代那些占统治地位的教材的方法，我还看到尽管数学的前沿研究问题绝大多数中学生是沾不了边了，但许多人只要有机会，还是能懂得并使用做研究的数学家常用的方法的.这样一种教和学的方法，使我能在教室里再呆上二十年，而且成了我后来从事教育工作的基础.
数学教育的“政治”
如果您不曾追踪过美国的情况，要是听说在美国对于什么是教数学的最有效的方法有过一场激烈的辩论，您会大吃一惊，您要是到因特网上搜索一下“数学大战”，您会找到成千篇报刊论文和网站赞成或反对某种教学方法.其中有对著名数学家、政府高官的访谈：有一些则是家长，教师，企业家写的.有过一些关于数学教学的电视节目，有几次，人们还到国会去听证.
这场数学大战情况极为复杂.要写一篇很好的文章作总结就离题太远（而且这件事最好是由社会学家或者人类学家来做）.我作为一个属于好几个吵得不可开交的群体的成员，只能作一个最简略最抽象的概述，而必定会遗漏许多重要的情节.我想着重说明的是，在美国数学家和数学教育家其实是生活在不同世界中的人.他们有不同的文化，关于严格性有不同的标准，谈起数学和数学的学习来，甚至语言也不同.在大多数大学里，数学教育家（即专门从事教师培训，研究数学的认识过程和课程设计的人）不属于数学系：他们属于“师范学院”，其成员首先是教育家，然后才是各专业的专家.至少是在过去几年，这两种不同文化的人都想影响另一方，为了谁能控制美国教育而争斗.
我在前一节中提到美国的数学教学大纲在上个世纪七十年代后期和八十年代的可怜情况.这是早十年的“新数学”改革运动搞过头了的反应.那个“新数学”改革运动是由一些著名数学家发起来的，想要通过演绎，逻辑，数学结构来帮助孩子们学会数学.说实话，那个改革至今仍留下了一些好处.这个计划的一些最极端的作法被人夸张了，其掩盖了一个事实：它确有一些站得住的想法.但是对这个大纲和它的原理的反动，又促成了另一个运动，有时被称为“回到基础”.这个口号代表了这样一种对待数学的途径：保留“改革派”教材的课题结构和名词，但是抛弃它的抽象性和证明，而强调“基本技能”.然而，这个新的途径演变成了这样一种计划，其中充满了不可理解的练习题，而与“基本技能”甚至与数学都毫无关系.我可以在当时很流行的一本代数书上翻出这样一页，标题是：
将x[2]+bx+c分解因式，其中c为正.
这一页就满满地是40个完全一样（毫无意义）的练习题，您这就可以猜得到下一页的标题会是什么.绝大多数高中的教学都遵从这样的程式：比方说，老师仔细地讲一个有理式加法的例子.学生就在自己的座位上做一个类似的例子.检查一下结果，再带几个回家作为家庭作业.
到了上个世纪八十年代中期，教师和学生对这种情况都受不了了.教师们（甚至那些数学准备很不够的教师）对这种以技术为主线的课程感到很不舒服；学生们不肯上数学课了，原因就是厌烦.就是那些坚持下来的学生，学了四年，对于数学讲的是什么，为什么，却一无所知，技术的进步更使得课程的绝大部分——即为了一些毫无意义的练习题而作数值的或符号的演算——变得陈腐不堪.
与此同时，有相当一些教育研究者接受了一种关于学习的新皮亚杰哲学（“建构主义”constructivism），它主张学习者只有通过在自己的意念中沉思和抽象化才能建立起数学概念.这个理论的一个推论就是，计算技巧的那种枯燥的演练（这已成为中学数学的主要产品了）绝不能产生对数学的坚定的理解.这完全吻合于教学现实所提供的证据，每个教师都说得出学生这样的情形：他们会模仿，会一切按规矩办，就是不会用.它也打了许多数学家的常识一个耳光，他们相信学数学最好的方法就是打下坚实的基础，再通过准确的解释和大量练习前进.
1989年全美数学教师联合会（National Conference of Teachers of Mathematics，NCTM）在收到大量反馈后，发表了课程与评价标准.在此，我不能讲它的许多细节；NCTM的领导人主要是一批志愿者，搞这样一个政策性文件至少已有十年之久，其目的在于把中学数学教学改造成一个比较有意义的东西.他们经慎重考虑而看到的前景是：教学组织应该与经典的模式——老师讲学生记——大不相同.由此在教师中产生了一个想法：不应该按自己被人教的方式来教学生.那时常见的是以轻蔑的态度看待新数学试验，认为是过份书呆子气，甚至是窒息了孩子们的数学发展；人们嘲笑高中教育的“布尔巴基影响”.由于种种复杂的原因，教师们对数学家（特别是没有中学经验的数学家）的怨恨也在滋长.
NCTM发表课程与评价标准的时机极好.教师们才教出一代为数学所苦的学生.教师们把这个文件——它强调做有意义的事，强调数学在其它领域中的用处，强调认真听取学生们的想法，强调讲理与交流——看作是为他们讲话，是告诉教育界外面的人，非改不可了.
我感到吃惊的是，居然谁也没有预见到几年后会发生什么事，尽管可以用马后炮容易放来解释.数学和数学教育这两种不同的文化使得对同一个建议（甚至同一个字）有着不同的解释.大学和中学数学有所脱节，我称之为“纵向脱节”，这对于事态的奇怪发展也起了作用.对大学教材，许可一些稀奇古怪和未经试验的做法倒也算了，中学的课题在更广大的数学园地中起核心作用，却也有些教师和教育家建议孩子们不必背乘法表，取消一切计算算法（有人甚至说这些计算算法是“危险的”），要不惜一切代价避免二次式，取消圆锥曲线，从代数中取消所有形式计算，改为连续变化.当然，这些都不是课程与评价标准的明确建议，但是此门一开，各种建议都出来了，特别是那些主张废除技术的熟练与记忆的建议，都打着改革的旗号.
举一个例子，看看证明在中学数学中的作用.对于数学家来说，找一个证明是数学研究的一种方法.在中学数学中，特别是在二十世纪八十年代，演绎被搞成一个与发现，洞察或实验毫无关系的东西.说真的，只在一年几何课里教证明，而把证明搞成弄清楚了一件事以后必须举行的事后的礼仪，而这件事又是一看就明白的.为了帮助学生们学会对那种一看就明白的事写出格式化的证明，教学大纲和教材都鼓励把证明的陈述和理由分写两栏：左栏写陈述，右栏写相应的理由.这种办法在美国已经流行了几十年.但它慢慢地从整理作业的办法演变成一种拼凑证明的方法.美国教育中，这种事情变味的情况一再出现（这当然又与“纵向脱节”以及大学的课程安排有关）：本来是结果和看法的陈述方式，却变成证明就是这样想出来的.当学几何的学生“写”一个证明时，他就画两条横线，在第一条上方写上已知，第二条下方写下求证的结论.中间再划一条竖线，右方先写上老师告诉要用的定理，如“边——角——边”或“全等形的对应边”等等，左方再胡乱写上一些陈述，而且全是随机地写的，想碰运气把题目做对.
所以当1989年课程与评价标准主张减少这种两栏式的证明，而强调要有把演绎论证的结果用易懂的语言说出来的能力，我们许多人都为之欢呼，但是不几个月以后，我就听到教育界有人宣称，证明是中学几何中陈腐的课题，几何软件是最有说服力的证据.不少教师说“我们再也不教证明了”.对于差的学生已经取消了证明，很快就会对所有学生取消证明.
这就激怒了许多数学家.对于代数和数值计算，分解因式解方程，用手描点，证明三角恒等式，配方还有许多其他主题，情况也都是这样.“改革运动”（现在人们就这样称呼它）主张减少中学里一些课题的滥用.而在许多人心目中（这里“纵向脱节”又在起作用），滥用却成了要讨论的主题，于是这些主张就成了要在中学里取消这些课题.对于不熟悉中学和教育界的人，根本没有想到还有滥用这回事，听成了要在中学里取消一大块核心数学.
几位著名的数学家发起制止他们所谓的K—12课程中数学的死亡的活动.他们的作法又是数学家最熟悉的方法：把这些“勿过于强调”的建议撕开来，并且说那些据说要砍掉的课题如何如何是进一步学习数学，科学和工程所必不可少的.这就引起了家长们的注意.他们不愿意大纲中有任何不利于他们的孩子考大学或学习高深课程的东西.对数学教育家有许多尖刻的攻击，指出他们的文章中的错误与误解，挖苦研究教育的文章的语言.教育家当然也还以颜色，用嘲讽的幼稚的公开申明来问答.
脾气发了近十年.这类冲突时常就是这样，慢慢也就心平气和开始和解了.课程与评价标准的修订者们步子走得很大，请了一些专业团体如美国数学会（AMS），美国数学协会（MAA）和许多个别数学家参与修订.大多数数学家现在懂得了，要有高的教学质量，数学专业水平是必要的，但是还不够.教师和教育家有许多专业的知识可贡献于改进数学教育.反过来也是一样，对于联邦资助的许多提高教师职业水平计划的报告和指导方针，也都强调教师专业水平的重要性.一个特别给人希望的进展是对于K—8数学教育取得了共识。这是一组数学家，教师和教育家合作的结果.它给出了一个具体途径，把来自数学社会各方的专业知识极有效地组合起来.
但我私下仍然听到各方面许许多多的不信任与不满.我怕的是这场争论会不了了之.如果我不幸言中，牺牲者只会是一代学生.他们是许多数学空话的受害者.只有当知道如何纠正这些毛病的成年人不再吵架了，才能纠正这些毛病.
教师的培养
前两节里我讲了影响美国高中教育的各种力量.同样这些力量对培养教师的大学的计划也有影响.本节里要讲一下这些力量是怎样起作用的.以下只讲中学教师的培养和在职培训.
绝大多数州对教师都有正式的资格要求.这些要求和以课题为主线的教学计划一样，就是列出一系列必修的课程：相当于大学中主修数学（35～40学期——学时数学课），再加上一些教育学课程.
这些数学课程通常并不是专为培养优秀教师设计的.这并不是一个缺点：为数学而学数学也有它的好处，大学教师们花了很大力量（特别是围绕着技术的应用）开设一般的数学课程，来吸引广大的学生.也有为优秀教师开的特殊的课程，通常是关于几何和其它所谓“压轴课程”，把大学本科教学计划和中学数学联系起来.但是优秀教师所上的课程，绝大多数还得满足其他广大“顾客”（包括未来的数学家）的需要，所以绝少讨论教、学和中学课程的事.实际上，主修数学的大学生总是到快毕业时才考虑去当中学老师.这就迫使他们大学再读一年，选一点教育学课程，取得州里的任教资格.
数学系与教育学院分家也造成数学教师的数学培训分了家.教育课程到教育系去上，而与数学系分开.但是和数学课程一样，这些教育课程也多是一般性的——例如少年心理学、教育史——并不是为优秀数学教师开的.通常也有一门“教学法”课程讲的是中学数学怎么教.这些课程时常是以NCTM文件为基础，讲吸引学生参与数学活动的有效方法，还讲一些大学数学课程中极少使用的技术.例外地也有一些真正的教育课程，我知道波士顿地区就有，它们是解题课，或者怎样教代数几何的课，这些课程怎么说也和数学系开的数学课一样，但在全国，这种课程并不多见.
总之，为优秀数学教师开一组数学课程和一组教育课程.如何把两者结合起来，这是学生自己的事，而不是大学的事.
数学家和数学教育家都看到了，这是不行的.在AMS，MAA和NCTM在全国各地的会议上，人们都在讨论如何把数学和教育学结合起来，把大学数学与中学数学结合起来，让大学的教学成为我们所希望的中学教学的模范.有证据表明，有些其它国家更能沟通这种分裂，至于美国教育能否克服传统和敌意，沿这条道路取得进展，还得拭目以待.
最近出现了一个文件（MET报告），是为了使数学教育更有协调性和目的性的经过深思的建议.它表现出熟知有关教师培训存在的问题.这些建议中包括：
1.优秀教师必须对自己所教的数学有深刻的理解.
2.优秀的中学数学教师必须曾在大学中主修数学，而且在最后一年上过两学期怎样把大学和中学的数学联系起来的课程.
3.为优秀教师所开的课程应该着重发展细致的推理的数学“常识”.
4.为优秀教师所开设的数学课程应该发展思考数学问题的人的思维习惯，并表现出一种灵活的，互动的教学方式.
5.应该有更多的数学家更深地关心K-12数学教育.
6.教师的数学教育应该看作是数学系和数学教育系的伙伴关系.
7.在教师的数学教育中，本科和专科应有更大的合作.
8.数学系的专业教师和中学数学教师需要更多的合作.
9.教师需要终身都有提高数学和教学能力的机会.
这篇报告对教师培训所面临的困难的细节颇有见地，它认真考虑了大学面临的结构问题——例如在课程设计中必须考虑优秀教师的同时，还要考虑将来从事其他职业的学生.它还提出了实行这些建议的具体做法.MET报告将在教师培训上有重大影响，会确定今后几年改革的进程.
不幸的是，MET报告的建议的具体内容仍然受到基本上是以课题为主线的美国教学大纲的影响.虽然MET报告问题提得很准确，但至少对高中还缺少解决问题的蓝图.例如它关于抽象代数的建议就涉及到，初等代数的运算律是否需要论证的问题.确实，抽象代数给出了中学代数中的代数变形的公理基础，但是还远不止此，它的主题如S.Lang在Algebra一书中说的，是分解，扩张与表示，在中学数学中处处大量出现.代数说明了，何为多项式代数，这是中学数学中少数几个最普遍的问题之一，在形式计算中起如此中心的作用.与此类似，数论能帮助我们理解因子分解的唯一性，但是更重要的是，化约与局部化给我们一个理论框架来说明初等数论中许多问题的重要性.而高斯关于分圆理论的突破，比大学数学中哪一个理论与中学数学的联系都更多.数论也是教学手艺的基本工具.
还可以再列举下去.线性拓展是线性代数的中心问题，从中学代数到三角处处用得上，MET报告就完全没有提.分析中的许多基本主题如连续拓展，完备性，与中学数学许多问题有关，也没有提.重线性代数对中学教程中几乎所有涉及几何和代数对称性的问题都有深刻的应用，它能使教师懂得行列式的真正用处，也完全没有提到.
这并不是吹毛求疵，想以一个建议取代另一个建议.我上面提到的都是我在中学教数学（各年级课程）几乎每周都会遇到的，是我所谓的用于教学的数学.而在大学里没有一个这类问题人们认为值得考虑.在我的大学课程中，有些事确实提到过，但讨论的深度也只是某些事情和低水平的书生气的证明，例如0≠1之类.我称之为“平淡无奇综合症”.我在《教学用的数学》一文中讨论过.一直到读研究生，我才知道，数学中有一些中心主题，而且毫不偶然，它们也是数学教学的基本工具.只要抽象程度适当，背景适当，优秀教师课程以它们为数学主题是最适当的了.
MET报告还有一点我感到不满意.就是“为优秀教师所开的数学课程应该发展思考数学问题的人的思维习惯…”这一条建议.这一条极为重要，其理由我在《教学用的数学》一文中讲了很多，特别是，教学中要善于捕捉问题，要善于抓住学生的思想苗头，在教室里讨论问题离了题时，要善于抓回来.但我相信现在大学生学的那种以课题为主线的概述性的课程（例如主流的线性代数课程）起不了这种作用.不是说这些课程不好，而是因为它们是为另一个目的——即把一个已经建立好了的数学理论展现在学生面前——设计的.要实现这条建议，学生们需要有一种浸润于数学中的经验，正如我在《教学用的数学》一文中说的那样.那里讲了很多理由，说明持续地浸润于一门学科的焦点部分中，是一个优秀教师所能有的最有价值的经验.很可惜，MET报告没有把这一点也当作一条建议.
迄今我讲的都是通过大学的教师培训计划进入中学教学的“典型”道路.但是许多教师是走的另外的道路进入教室的.
求职市场如同一个摆，时而教师过剩，时而教师不足.我在大学就没有经历过教师培训计划，但是1969年我大学毕业时，这个摆正处在不足状态，我毫不费力就找到了一份工作.在二十世纪八十年代，全国招生减少，财产税又增加，造成大量裁减教师和其他公职人员，突然之间许多教师都跑出来找工作.许多教师培训计划都停止了，主修数学的学生和被裁减的教师觉得高技术产业比教育的机会更多.学校多年不进入.当我开始教书时，我是我们系最年轻的.当我24岁后离开时，我大概还是最年轻的人之一.我这一代教师现在开始退休了，招生数又在上升.所以我们现在又处于教师严重短缺时期.再加之高技术又在走下坡路，许多有技术背景的人又想来填补学校教师的空缺.学校也就把他们成群地收进来.
有证据表明，现在每年有近50000准备不足的教师进入这个行业.有一个报告指出，有33％的在职数学教师在大学没有主修或辅修过数学，而他们承担了26％的数学课程.更糟糕的是，许多合格的教师将在5年中退休.
有种种不同背景的人都来填补数学教学的空缺.有的是科学家，工程师，他们虽有很不得了的背景，却与典型的主修数学的大学生不同.有些教师来自其他领域，如科学，计算机还有历史和初等教育，他们拿到数学教学的空位子，为的是工作比较安全.甚至还有本来是为研究纯粹或应用数学而培养的数学家失业了也来找中学教学岗位.
“走后门”进入这个行业的虽然比十年前多得多，从教师培训计划外面来的人却总是有的.虽然改进大学中的教师培养极为重要，却管不了这些外来户.为了改善教师的培训状况，各社区，州和联邦都大力投资在职教师的在职提高计划.
在职提高是美国的一大行业.每年要花上成百万美元，许多大城市的中央行政都有专门部门资助和执行在职教师的在职提高计划.绝大多数州都要求参加这些计划以保证教师的资格，许多大学和学区还有其他资格计划帮助人们得到任教资格，正在教书的则先给“临时”资格.
因为教学力量的需求变化极大，绝大多数系统都选择职业提高的一些折衷的办法，从课后的讨论班，一天的讨论班，到组合起来的都有.内容包罗万象，无所不有：从合作学习技术，绘图计算机的使用，怎样教一门特定的课，直到所谓“现做现卖”讨论班，教师花上半天一天搞一些可以直接用在学生身上的活动.因为这些计划或是一天的讨论班，或是一组这样的讨论班分散在几个星期，所以在这些计划中很难教有意义的数学.教师所需的数学是在大学里学的（我在《教学用的数学》一文中的说法是“把一切都学了才开始教”），这只是一个华而不实的假设.
结束语
数学作为一个学科在美国是很健康的；研究院里每年出来许多非常有才能的Ph.D.，进入世界上最丰产的研究机构.除数学研究外，美国还在技术，科学和金融等方面都有深刻的贡献.所有这些贡献都要以数学专业知识为基石，而这个基石之坚实，不亚于世界上任何地方，何以产生出世界上最好头脑的教育系统竟有如此多的毛病？答案之一在于其规模巨大.有人说.即令大学前的12年教育中，每年淘汰一半学生，还有足够多的青年人有到大学主修数学的准备.事实上，确有人说，美国数学教育已经演化成为这样一个体系.即从最低年级就培养那些最终将会担当科学技术中的领导责任的天才，而不惜以牺牲大量中学毕业生的数学修养为代价.我虽然不同意这种估计，但有一点是真的，中学里最优秀的学生是由最好的数学教师教的.他们的教学计划中的课程通常是传统的，重点在于大学中学数学和科学所必需的技能专长.那些很小就表露出数学才华的早慧的学生，还有许多课外的机会，如“夏令营”，辅导班之类.从教师方面来说，我在《教学用的数学》一文中介绍了一个“青年科学家数学计划”，它在波士顿地区已实行了十多年了，每年招收60左右最好的中学生，其中许多人最后都以数学或相关领域为专业.俄亥俄州和全国许多大学也有类似的计划.
所以，对很长的数学教育线的最“高端”学生的培养似乎还不错.说真的，我们这些人为改进这条线的其余部分的数学教育所作的事，也都可以看作是为了把高端扩大一点，为了激发起萌芽状态的对数学的兴趣，而几乎所有学生，只要有了机会，都会表现出这种兴趣.再就是像培养和提高数学研究者那样，培养和提高数学教师.
这多少就是我写《教学用的数学》一文的背景.美国的公共教育是一个极复杂的事业.对于什么是重要的和有意义的，我国有许多人看法全然不同.如果本文能稍稍表示这个问题的复杂性，我也就完成了我给自己提出的任务了
