浅谈数学概念课教学，本文主要内容关键词为：浅谈论文,课教学论文,概念论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
概念课教学包括概念的引入、巩固，以及由相关概念引出的定理、公式的教学.概念引入需要创设适当情境，其后为了帮助学生准确理解相关概念和巩固定理、公式，需要补充一定的变式材料，使学生对概念能深刻理解，对定理、公式有清晰认识，以形成完整的认知结构. 一、创设恰当情境，揭示概念本质 中学数学中的概念，教材往往以定义的形式直接给出，有些定义和符号学生一时接受比较困难，在“高效课堂”的影响下，很少有教师能给学生留出充分的时间去咀嚼、回味、思考，致使学生对相关概念理解不深不透.如何帮助学生快速、准确地理解新概念，笔者认为应注意以下几点. （一）利用生活实例，突破重点、难点 中学数学中的概念往往有其一定的生活背景，通过对一些背景资料的挖掘，让学生感受到数学概念就是从日常生活中某些特定问题抽象、类比而来，然后再用数学符号表示而已.抽象、类比的过程就是建模、揭示事物本质的过程，学生的积极参与能有效化解概念教学的难点. “数学归纳法”的教学是一个难点，教师一般会用“多米诺骨牌”引入新课.笔者大学毕业不久听过一节“数学归纳法”新课，听到身边的两位学生的对话：“什么是多米诺骨牌？”另一位学生说：“就当是麻将牌吧.”在该课的练习阶段，还是这两位学生在按照格式做完题目后轻声自问：“这道题做出来了吗？”这反映出学生对数学归纳法原理理解不到位.数学归纳法的本质是什么？一是“奠基”，二是“递推”.笔者在以后的教学中不再用这个例子（说实话，当时笔者也说不清多米诺骨牌，况且，骨牌总是有限的，而自然数是无限的），而是采用以下师生对话的方式，收到良好的效果. 教师：张先生的儿子姓什么？ 学生：姓张.（有的说，不一定，按法律规定他儿子也可以随母亲姓） 教师：大家说的有道理.假如他儿子姓张，且要使他以后的各代孙子都姓张，需要满足什么条件？（学生讨论，然后请一名学生发言） 学生：他家各代一定要有男孩，且子必须随父姓. 教师：对，子随父姓，代代相传.但在计划生育政策的条件下，一般人很难保证做到，那么圣人孔子家族能做到吗？ 我们来考察孔子的后代姓什么.由于孔子大陆的后代受计划生育影响，我们不妨考察他的海外后代姓氏情况. 孔子的第80代孙有的现居住在海外，按目前情况判断，孔子的80代孙及以后各代子孙都姓孔，这话对吗？ 学生：对，因为海外华人不受计划生育政策的影响，且有子随父姓的习惯，至于每代都有男孩，根据遗传学规律，应该不成问题. 教师：我们能从这个生活中的问题提炼出什么？设法把它抽象成数学问题（学生讨论，教师参与，引导学生形成结论：人的代数是正整数，某位男子姓什么，由于子随父姓，代代相传，那么他的后代也姓什么，然后类比到正整数的命题.把结论整理成表，见表1）.至此，引入数学归纳法原理已经水到渠成[1].
由此看来，选择与教学内容密切相关的生活实例去帮助学生理解所学内容是十分必要的.这样一来可以使学生感受到数学来源于生活，二来可以培养学生数学建模能力，三来可以有效地突破难点.由于学生在这一过程中积极主动的参与，对问题的本质有较深的理解，是一举多得的好事.只要认真思考，这样的例子不难发现，比如，在立体几何线面关系的教学中，教室（或长方体）是很好的模型，充分利用这个模型引入新课，或通过模型发现线面关系的结论（或举反例），学生会觉得这样的课“很有意思”. （二）由特殊到一般，从感受到感悟 高中学生的思维特点已经由经验型向理论型转化，不必每个概念的引入都需要生活背景，也可以从数学内部的例子引入. 奇偶性是函数的重要性质.生活中的实例很多，但陶维林老师从数学内部的引入是很好的[2]. 对奇偶性的感受：同学们在初中学习过正比例函数、一次函数、二次函数、反比例函数，现在我们来画出一些函数的图象，如
反思列表、画图的过程，学生可能在列表的过程中发现可以“偷懒”，只要计算出一半，另一半很快就可以直接写出来（把相应的函数值改为相反数或者不变）.这是一个感受、发现函数特征的过程.既有数量关系上的体验，也有观察图形获得的感受. 之后教师用“几何画板”画出下列函数的图象，
教师可以提出问题“观察这些函数的图象，根据它们的特点，请给它们分类.”并且问一问“你是依据什么来分类的？” 特征的概括： 像
这样一类函数（指数为偶数），图象关于y轴对称，叫做偶函数. 像
这样一类函数（指数为奇数），图象关于原点对称，叫做奇函数. 教师可以与学生一起商讨起什么名字好.这是一个初步定义，暂不出现形式化的符号表示，虽并不严格，但符合人们认识事物的规律，自然，合情理（2，4，6，8都是偶数；-1，1，3，5，7都是奇数）. 接着抓住自变量互为相反数时，其函数值相等或互为相反数的特征，引出奇偶函数的定义. （三）由感性到理性，由具体到抽象 有些数学概念用文字语言描述学生听起来觉得容易，但一旦用数学符号表示就会觉得难懂，甚至很长一段时间搞不明白.比如高中阶段函数的定义，有些学生就对对应法则（关系）“f”以及括号中“x”的理解感到很困难. 一般是通过具体实例，抽象出函数的定义；在某个变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则（关系）f，x都有唯一确定的实数值与它对应，那么就称y是z的函数，记作y=f（x）. 定义看似简单，但部分学生对“记作y=f（x）”一时难以理解，需要教师做一些铺垫： 下页图1（1）中实数x经过对应法则（关系）f“运算处理”（方框看作是处理器）后得到的实数y，图1（2）就是函数自变量x经过对应法则（关系）“运算处理”后得到函数值y，进一步把这种“装置”简化记作y=f（自变量）=f（x），此处把f后面括号内“自变量”换成x，看似多此一举，实际上是强调f后面括号里作为一个整体是自变量，为以后解答诸如“已知f（x）的定义域，求f（2x-1）的定义域，或已知f（2x-1）的定义域，求f（x）的定义”等问题埋下伏笔.
此外，“装置”把两个非空实数集合之间的关系通过‘f”联系起来.这里的‘f”可以是解析式、图象、表格等形式，是生活中两个对象之间关系的一种抽象. 数学概念的引入多种多样，但不论哪种形式，情境的创设都要符合学生的认知规律，对学生都要有吸引力，让学生能“在迫切的愿望下”学习.例题、习题的选择都要在学生知识的最近发展区内，围绕对概念的多角度理解，对定理、公式的灵活应用展开，新知识能被原知识同化，原知识能顺应新知识的发展，使概念课自然流畅. 二、挖掘内涵外延，深化概念理解 数学概念往往以文字语言或符号语言表述，有时也会辅之图形.引入新概念是为了解决新问题，有些概念虽然理解不困难，但是概念应用时各种变式学生一时难以掌握，有些概念文字表述生涩，有些符号抽象难懂，这时就需要挖掘概念的内涵和外延，以加深学生对概念的理解. 概念的内涵就是概念所反映的事物的本质属性；概念的外延是概念所反映的对象的范围，即具有概念内涵的对象的全体[3].要据此确定一个具体的数学概念的内涵和外延有时是困难的.笔者的做法是在选择一些有利于对概念正面理解的材料后，还会选择一些变式材料，帮助学生及时准确地理解新概念.
这样学生对判断函数奇偶性问题宏观上脉络清楚，操作上按部就班.随着学习的深入，函数关系可能会变得复杂一些，但基本解题方法是不变的. 一般说来，教材中的例题、习题的设置是会考虑到这些，但由于教材是面对全体学生，不一定能满足特定学生群体，因此还要结合学生实际情况适当补充一些变式例子，这也是备课必须考虑的. 概念课教学，从引入到定义、导出公式，其间经历了抽象建模、从不同角度（正面、反面、侧面）去辨析概念，再通过各种变式巩固对定理、公式的学习，达到举一反三，这也是认识新事物的相对完整过程.学生会把它迁移到学习活动中，其中归纳、概括、抽象等思维能力和追求创新的理性精神一直伴随整个活动过程，因此，数学概念课的教学无形中也就具有了育人意义. 三、融入数学文化，提升教学品位 概念课教学不仅是定义及其应用的教学，同时也是数学文化的教学.数学文化的重要组成部分是数学的理性精神和数学思想.数学知识不是必然转化成数学文化，它需要数学教师在教学过程中通过自己的创造性劳动，使学生感受到数学文化.如：我们这些不懂诗词、书画的人，听了专家的点评后，顿时觉得心里亮堂不少.数学文化也是如此，教师适当的点拨很重要[2]. 数学文化并不神秘.幽默与风趣的语言、智慧的比喻、恰当的情境、和谐的师生关系都散发着数学文化的芳香. 在数学归纳法教学设计（第一课时）的第5个环节“归纳总结，追求理性”中[1]，笔者写了一首“归纳法妙”的藏头诗： 归，特殊入手规律窥.再猜想，凯旋而回. 纳，理性思索求通法.两步论，不容出差. 法，归纳递推行天下.正整数，一个不落. 妙，两步完成无穷跳.有思想，还看今朝！ 注：第三行中的正整数，严格说应该是从某个正整数起及以后的正整数. 这不仅指出数学归纳法的解题步骤，还深刻地揭示出数学归纳法的本质——奠基与递推，只用两步论证，就解决了需要无限步验证的问题在最后的课堂小结中又以一副对联结束： 上联：一生二，二生三，三生万物， 下联：父生子，子生孙，孙生万代， 横批：生生不息. 把抽象的数学归纳法原理与生生不息的自然界巧妙联系起来，学生在理解原理的过程中或许能勾起他们无穷的想象力.把难以理解的数学符号赋予生命的魅力，在追求理性精神时也不乏人文精神. 所学内容紧密联系数学文化，不仅能调节课堂气氛，还能有力促进学生对所学知识的理解、记忆与掌握，是一种生动活泼的教学形式，是提高学生的思想境界和文化修养的一条有效途径，是一种使人乃至整个社会减少盲目和迷信，增强理智和文明的精神力量. 如果一节课既有知识发生、发展过程，又有能力训练，同时有机融入数学思想（或在哲学思想指导下的教学）和文化的课堂教学，那么这节课一定会很有品位. 笔者认为“三维目标”就是用艺术的方法达到教书育人的目的.其中第一维是教书（知识、能力），第二维是教法（教学艺术），第三维是育人（数学育人）；三维目标要达到的境界是“三度”：知识适度、思想高度、文化厚度. 四、读书、思考、研究，不断修改完善 课堂教学是遗憾的艺术.每次上课结束后都觉得有改进的地方，或者自己觉得很好，但同行提出一些中肯的改进意见，或自己当时感觉很好，过段时间又觉得有改进之处.套用一句广告词，课堂教学“没有最好，只有更好”.这需要不断反思、不断学习、不断研究才能不断改进、不断完善. （一）三十年备一课 还以上述的“数学归纳法”（第一课时）为例加以说明. 如何想到“子随父姓”这个例子？是在一次阅读中，偶尔看到姓氏在父氏亲属的遗传性，笔者顿时眼睛一亮！仔细一想，按婚姻法规定，孩子若随母姓怎么办？如果某一代没有男孩怎么办？要保证一个家庭中每一代都有男孩，一般家庭在计划生育政策的前提下是很难保证的.正好又看到孔子家族后裔的有关消息，二者自然联系起来，一般家庭很难做到的，“圣人”海外后裔可以做到.而且学生在讨论中体会到“孔子姓孔”“子随父姓”分别对应于归纳法原理中的“奠基”和“递推”.这个例子一直用到现在，但其他小的改动几乎是每次都有一些.较大改动是最近两次.
依次令n=1，2，3，…，直到n=50 549 485 234315 033 074 477 819 735 540 408 986 339时，所得f（n）的右边也不是一个完全平方式，似乎可以下结论：不论n是任何自然数f（n）的值都不可能是一个完全平方数，但有人发现当取值在增加1时，即n=50 549 485 234 315 033 074 477 819 735 540 408986 340的时候，f（n）=109 931 986 732 829 734979 866 232 821 433 543 901 088 049，它是一个45位数的完全平方数[4]. 目的是通过“大数字”的视觉冲击，从数学知识的角度再次强调用数学归纳法解题两个步骤缺一不可.同时该例也很有趣，可以活跃课堂气氛. 可以说最近一次上这节课（2015年6月在上海市光明中学为在该校研修的天津市部分骨干上的展示课）积累了笔者30年的经验，虽然不敢说这样就能上好，但至少态度是认真的. 说30年备一节课似乎有点夸张，其实是在30年前的基础上，每次上这一课都把自己最近的想法再结合学生的情况在前一次教学的基础上修修改改. （二）多读书勤思考 课堂中怎么想到这些例子？先学后创！仍以“数学归纳法”（第一课时）为例. 求通项公式的引例是看到一篇文章中具有同样目的的一个例子，但原文中的例子学生可以轻而易举的直接求出其通项公式，根本不需要用归纳、猜想，达不到“让学生在迫切的愿望下学习”的目的.但笔者又觉得这种引入方式不错，就在原题基础上做适当改编，使学生不能（至少当时不能）直接求出通项公式，而必须采用归纳、猜想的方法，逼学生“就范”. 在最后小结中想到这副对联，是因为读《道德经》中的文字：“道生一，一生二，二生三，三生万物.”及愚公所说：“子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也.”有感而发.可以说这节课历经多个轮回，每次改动都是读书、思考的结果. 读书除了读专业书刊（笔者每年订阅10多份专业期刊，还不定时购教育、教学类图书），还要读些哲学、文化类书籍以及自己感兴趣的书，以拓宽自己的视野，提高文字和语言表达能力. （三）整体想分散做 一节课涉及的知识点有时可能跨章节，这在教学中要提前布局，整体把握教材，把相关知识联系起来形成体系，一方面完善学生的知识结构，一方面也可以体会到数学内部的和谐（奇异美），同时也能提高课堂效率. 比如：笔者在“诱导公式”教学中[5]，利用角终边关于x轴、y轴、直线y=x以及原点的对称性（在函数和任意角的教学中对相关知识做好铺垫），运用三角函数定义在一节课完成，而且由于学生思路清晰，理解透彻，参与性高等，很容易记住公式.仅举两例. 如图2，设角α（或2k+α，k∈Z）的终边上任意一点P（x，y）（非原点，下同）关于原点的对称点
（-x，-y）在角π+α（或2kπ+π+α）的终边上，由三角函数定义，得
值得指出的是此处得到kπ+α的正弦、余弦的公式在解题时可以直接确定符号，而不需要分类讨论，比教材中的公式更实用，也能减少运算错误. 又如，由图3所示，设点P（x，y）在角的终边上，它关于直线y=x的对称点
（y，x）在角β的终边上，则
，那么有
类似地，直线、圆、椭圆、双曲线的参数都是由三角函数的定义或相关公式延伸而得，这样就能加深学生对圆锥曲线中参数方程的本质性理解，减少他们对此的畏惧感，从而能够在适当的时候主动选择参数方程，而不是尽量回避. 一般说来，经历过高中阶段两轮、三轮以上教学的教师，如果能勤于反思，及时记录自己的思考，则整体掌控教材的能力就会相对较强. （四）反复磨不断改 一堂受到同行赞誉的课一定是经过很多次磨砺的.这种磨课一般可分三个层面，第一层面就是“三维目标”的前两维，即知识与能力，过程与方法.先研究教材，包括教学目标的确定，新课引入方式，定义、定理的数学，例习题的选取，还要研究学生的基础知识掌握情况等.第二层面是情感、态度与价值观目标，也就是育人目标.要体现数学思想或哲学思想对本课的指导，还要融入数学文化，体现人文情怀，表达要准确简练.前两维目标是数学的知识学习、能力培养，是数学素质，第三维目标是数学（或哲学）思想、数学文化的浸润，是数学素养，以育人为目的.第三层面是教学艺术，包括教学方法、教学手段等. 磨课的形式，可以是自己反复斟酌修改、也可以是教研组一起讨论，一些重大比赛也可请专家指导，但更多的情况是自己每次上课以后认真总结，在下一次上课时改进，几个轮回坚持下来有可能形成经典案例，急于求成恐怕不行，也就是说教学是慢工夫. 为了减少课堂教学中的遗憾，只有不断思考、不断学习、不断实践、不断改进，才能逐步完善，某些课例或许能得到同行的赞誉，甚至成为经典.
标签：数学论文; 数学归纳法论文; 数学文化论文; 数学素养论文; 教学过程论文;
