从弗雷格的文本评析黑尔与赖特的新弗雷格主义，本文主要内容关键词为：赖特论文,文本论文,主义论文,弗雷格论文,新弗雷格论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B81
文献标识码：A
文章编号：1672-7835(2013)01-0023-05
一 背景与导论
在数学基础研究的过程中，弗雷格逐步形成了他的逻辑主义：逻辑是算术的基础，通过定义及逻辑原理，我们可以导出全部数学。他分三步实施。
第一步是发明一种实现从逻辑导出数学所需的推导工具。弗雷格在1879年他的第一部逻辑著作《概念文字》中发明了一种表意符号及形式系统，即概念文字，完成了第一步。给定的一个命题，我们怎样最终能为它提供最为可靠的保证?弗雷格认为，答案与该命题的性质相关联。“最为可靠的证明方式显然是纯逻辑的。这种方式抛弃了对象的特殊性，仅依赖所有知识置于其上的那些规律。”弗雷格将那些需要辩护的真命题为成两类：其辩护唯一依赖逻辑的命题，以及其辩护还需要经验事实支持的命题。弗雷格试图回答算术判断属于哪一类。弗雷格的答案是它们属于前者，他对此给予的说明思路大致是这样的，首先将序列中的序概念归约为逻辑后承，由此导出数的概念[1]5。这是逻辑主义的基本要素。为避免推理过程中直觉的干扰，必须确保证明的每一步安全，推理链条没有间隙。现有的推理工具，如亚里士多德的逻辑，都不能适用这种需求，因而需要制造一种完美的推理工具。为此目的弗雷格创建了概念文字。
《算术基础》是他的第二步。他在这本书中以非形式的方式阐明了数的性质，解答了数1是什么。这些看似非常简单的问题似乎不值一问。尽管基于我们现有的对数1的直观把握在数学上已经有大量成功的运用，但是这些不是一个足够的好的数学证明，而且随着数学本身的发展，原来许多自明的东西需要给予证明。弗雷格时代数学的发展已经表明，自然数理论是整个数学理论的基础。弗雷格进一步追问：自然数是什么?[2]1在分析批判了先前数学家哲学家关于数概念及算术命题的观点后，弗雷格阐述了他自己的观点。他的整个论述是非形式的。
最后一步在其三卷巨著《逻辑基本规律》中完成的。他使用概念文字将他在《算术基础》中的论证形式化，即以逻辑概念作为初始概念，逻辑规律作为公理建立一个公理化系统，试图从逻辑导出整个算术。不幸的是，人们发现这个系统不一致。第五条公理会导致矛盾，即有名的罗素悖论。他努力修补这个漏洞，但失败了。
自1960年代以来，一些逻辑学家试图复苏弗雷格主义，C.Parsons(1965)、Wright(1983)、Boolos(1987)注意到休谟原理强至可以在二阶逻辑中导出皮亚诺公理。 Heck(1993)也发现，弗雷格实质上只是在导出休谟原理时用到了第五条公理，在导出休谟原理后，从此原理推出皮亚诺公理本质上并未用到这条公理。Burgess(1984)证明，休谟原理与二阶逻辑是一致的。这些发现激发了许多逻辑学家以某种限制的方式发展弗雷格主义，这样一些观点与做法人们统称为新弗雷格主义。关于新弗雷格主义的各种流派的介绍，资料非常丰富[3]。本文限于讨论新弗雷格主义一个主要流派——苏格兰学派。黑尔和赖特是其主要代表，他们的主要观点是，我们可以抛弃第五条公理而将休谟原理直接作为公理，循此思路，我们可以获得一个一致的形式系统，由此可导出皮亚诺公理数论公理。在评析他们的观点前我们首先需要了解弗雷格关于数的思想。
二 弗雷格的数概念
在《概念文字》中，弗雷格建立了一个二阶公理系统。随着其思想的发展，他在《算术基本规律》中对其系统做了一当修改。在《概念文字》中，弗雷格使用内容这一概念，而在后来的《函数与概念》(1891)及《论涵义与意谓》(1892)中，他将内容进一步区分出两个要素：涵义与意谓。他在《算术基础》(1884)中提出了要严格区分概念与对象，并将此作为研究要遵守的三条基本原理之一。在随后的《论概念与对象》(1892)中，他进一步阐释了这二者的区别。一个句子的意谓是真与假这两个真值之一；真值是对象。弗雷格将一个函数的值程(value-range，course-of-value)看作是对象，这相当于有了一个二阶函数，以记号ε表示此函数。函数
(ξ)的值程表示为ε(ε)。如此，概念就成为其值为真值的函数。概念的外延就是对象。
在《算术基础》中，弗雷格认为，数是客观的[2]24，“应把数词看作是指示了自存的对象”[2]73，在§46，他提出了著名的观点：一个含有数的陈述是关于一个概念的断定[2]59：
如果我说“金星有0颗卫星”，那显然不存在任何卫星或卫星的聚合要加以断定的，而是，赋予了概念“金星的卫星”一个性质，即：无物位于它之下。如果我说，“四匹马拉着国王的马车”，那么，我指派数4给概念“拉国王的马车的马”。
自此弗雷格把握了数的两个特征：数本身是一种自存的对象，而包含数的陈述是对概念的一种断定。特别是，他看到，数词的使用有别于形容词的用法，尽管它们在自然语言中有着类似的语法结构。在“美丽的女孩”中，性质“美丽”修饰对象，但是，在“教室里有两个女孩来自中国”，数2并没有修饰对象女孩，而是对概念“教室里来自中国的女孩”作了某种陈述。
由它的自存性，我们很自然地会问，识别一个为数的对象的标准是什么?三条基本原理的第二条指出：决不要孤立地询问一个语词的含义，而是在一个命题的语境中询问。这就是所谓的语境原则[2]X。对于对象，一个很重要的问题就是辨认问题。同一个数在不同场合情形下出现，我们如何识别知晓那就是同一个数?由以上分析所得，一个数其实是与概念相关的某种东西，可谓之属于概念的数，弗雷格提出了以下休谟原理(Hume’s Principle)：
HP：属于概念，的数与属于概念G的数相等当且仅当F与G等势。
F与G等势是指：位于F之下的对象与位于G之下的对象之间有一个一一对应。
恺撒问题对此提出了质疑。休谟原理的使用具有局限性。当所给对象的形式为“属于某概念的数”这种形式的时候，我们可以借助休谟原理辨别其是否同一，但是，当对象a的形式不是“属于概念G的数”这种形式的时候，休谟原理不能告诉我们，属于概念F的数是否是对象a。
这有两个方面的不足：首先，休谟原理不能保证，属于概念F的数是唯一的，因此，表达式“这个属于概念F的数”中的“这个”的合法性有待说明。其次，休谟原理没有告诉我们属于概念F的数是什么。休谟原理作为定义是有瑕疵的，被视为隐定义或语境定义，即定义无法明确地直接断定被定义项属于概念(的数的含义是什么。弗雷格最终拒绝把休谟原理作为数的定义。
随后弗雷格引入了一个概念的外延，明确将属于概念 F的数定义为“与概念F等势的”这个概念的外延。这是显定义。使用一条说明外延的公理，弗雷格证明了休谟原理以及“这个属于概念，的数”中“这个”一词用法的合法性。这个公理就是《算术基本规律》中的第五条公理。用我们熟悉的记号，这条公理表示如下：
《算术基础》中数的定义与《算术基本规律》中数的定义有些差别，后者将其定义为如下概念的外延：是与概念F等势的某个概念的外延。这种变化就是，从原先的由概念构成的外延转变为由概念的外延构成的外延，这本质上降低了所涉概念的外延中的元素的阶，从技术及哲学上都简化了。这种差别不影响此处的讨论。
众所周知，第五条公理导致罗素悖论。在给罗素的回信中弗雷格说：“这是我的第五条公理的问题。其他公理具有自明性，这是逻辑公理所要有的性质，而它没有。我从未掩饰这一点，而且事实上我在第一卷的导言中指出了这个弱点。”在《导言》中弗雷格说：“就我目前可看到的可引起争论的地方只是我的第五条公理，它与值程相关。逻辑学家也许还没有明晰清楚地阐释值程，但人们思想中已有此概念，例如在他们谈论概念的外延的地方。我认为它是一条纯逻辑规律。不管怎样，我会指出那些必须做出判断(使用该公理)的地方。”弗雷格努力修补他的系统，但是失败了。弗雷格最后承认了这一点。“我努力阐明使得数为何物，最终失败。”[4]263
三 弗雷格视角下看黑尔和赖特的新弗雷格主义
正如在背景中所说的，自1960年代来对弗雷格系统的深入考察重新鼓起了逻辑学家们对弗雷格主义的信心，逻辑学家试图复苏弗雷格主义，这种主张被称为新弗雷格主义，以黑尔和赖特为代表的学派是其中有影响的一个流派。他们认为我们可以放弃第五条公理以及对属于概念F的数的显定义，而把休谟原理作为公理。黑尔总结了他们的核心思想：
克瑞斯平·赖特(Crispin Wright)论证(1983：§xiv)，弗雷格拒绝语境方法，而采用根据外延的显定义是糟糕的一步——弗雷格不必走这一步，它并没有带来不这样做就不能确保有的好处，同时，它使他陷于罗素悖论的困境中。他的——赖特的——断定是，与弗雷格自己设想的相反，不放弃语境方法而解决凯撒问题是可能的，并且至少就初等数论来说，可以不用外延或类，而只是添加N[=]到一适当的二阶逻辑中，以之为逻辑基础，就可以达到弗雷格的逻辑主义目标。[5]190-191
许多逻辑学家，像达米特(Dummett)，费尔德(Field)，布勒斯(Boolos)等逻辑学家，虽然赞同复兴弗雷格的思想，但批评黑尔和赖特。Dummit(1991)认为，Wirght的做法有四个问题。首先，休谟原理是据语境原则的隐定义，由其保证的数字的“弱”(thin)指称概念与弗雷格坚持的实在论之间不一致。第二，通过规定休谟原理这样的等值式而获得的抽象的单独词项的指称解释与弗雷格的涵义决定指称理论之间不协调。第三，就是有名的凯撒问题。最后，也是最严重的，休谟原理的非直谓性[6]340-343。黑尔和赖特这篇论文中对此也作出了回应。我认为，上述批评都没有切中弗雷格提出凯撒问题的真正要义。弗雷格提出凯撒问题其实与他创建的理论学说的目的是密切联系在一起的，即：面对这个时代数学中出现的困难，为了获得最高标准的严格性，我们应当而且能够将算术置于逻辑之上。
在偏离古代欧几里得的严格标准一段时期后，数学又回归这些标准，甚至努力超越它们。算术中的推理其严格性历来一直都不如几何……高等分析的发现只是有助确认这种传统；因为相当多的、几乎是不可克服的困难阻碍了严格处理这些主题……以前许多被视为自明的现在要求给予证明。函数、连续、极限和无穷这些概念一直需要更严格的定义。
在所有方向上都能看到这些同样的理念起作用——证明的严格性，有效性程度的准确界定，作为达到此的一种手段而严格地定义概念。[2]1
在克服这些困难获得严格性的过程中，我们抵达算术：
沿着这些路径，我们最终一定会到达数的概念以及有关正整数的最简单的命题，这些构成了整个算术的基础。[2]2
实际上我们这里面对的问题是：什么是数1？数是什么种类的对象？通常的答案和方案难以确保严格和无矛盾性。
依据这些方法，我们终究绝难达到超过经验的确定性，并且我们必须面对这种可能性：我们仍可能最后遇到使整个大厦坍塌成废墟的矛盾。由于这个原因，我已感到必须往后退，退到超出大多数数学家认为必要的程度.进入到我们科学的一般逻辑基础。[2]ix
下面这两句话清晰地展现了弗雷格的主张：
算术的真应是以一种完全相同于几何学定理与公理相关联的方式同逻辑的真相关联。[2]24
我试图使得算术成为逻辑的一个分支显得合理，并且不必借助源于经验或直觉的证据。[7]1
这种主张可进一步分析成两个方面：第一，澄清数概念；第二，理解如何获得数命题以及它们的性质。弗雷格认为，前者应当根据逻辑概念来定义，后者应当使用逻辑概念与规律来证明，证明过程按既定的规则进行。这就可以完美地表明算术是“逻辑的分支”，算术“只是高度发展的逻辑而已”。在承认逻辑的分析性前提下，算术命题自然就是分析的了。这也就推翻了康德的算术是先验综合的说法。
弗雷格的理论将概念、对象、真都视为初始的，不能定义的，而且真是一种对象。
凯瑞(Kerry)对于他所称为的我的定义提出异议。我要说，首先，我的解释不意味着一个真正的定义。一个人不能要求定义每事每物，如同不能要求一个化学家分解每样物质一样。简单的东西不能被分解，逻辑上简单的东西不可能有一个真正的定义。[8]182
真显然是某种初始的、简单的东西，不可能把它归约到任何更为简单的东西。[4]129
要把真和假看作是对象，因为句子及其含义，思想，都有完整的特征，不是不饱和的。[8]297
弗雷格认为概念的外延也是对象。
我相信，我们可以将“这个概念的外延”简单地写成“概念”，但是可能会有两种反对：
这与我前面的个体数是对象这一说法矛盾。下述情形显示/证实了这种说法：在像“2这个数”这种表达式中的定冠词；不可能以复数形式说一、二，等等；这个数只是一个关于数的陈述中的谓词的一部分这个事实。[2]80
基于这样的理论分析，弗雷格将数定义为一个概念的外延。黑尔和赖特在《埋葬凯撒……》一文中指出，这个定义也没有解决类似的凯撒问题。他们的论证是，对于形如“一个概念F的数=x”的句子，弗雷格的定义也无法断定凯撒是否为一个概念的外延[5]339。我认为，凯撒问题只是弗雷格的一种比喻说法，弗雷格用它来说明，从逻辑的出发点，休谟原理这种隐定义没有为算术提供一个足够好的、足够显明的基础。任何一种科学理论都必须有、不得不有一些初始概念。理论内的其他概念必须依据这些概念定义。同时代的其他数学家，像皮亚诺那样，将数作为初始的概念。而弗雷格要退回到逻辑，把数学归到逻辑，以逻辑的概念来定义数。同时，我们也必须要认识到，我们不能要求一门学科能在学科内将其定义的对象同任何其他对象区分开。对于欧几里得几何，公理化方法的典范学科，如果它无法说清什么是三角形的重心、内心，我们会说它不精确；然而，我们不能因为在其学科内无法将人与点区分开而说它是不精确的。
休谟原理在弗雷格的理论中只是解释了数字是如何被赋予一种重要的涵义，数的一种重要特征，但是并没有回答什么是数1。在引入休谟原理前，弗雷格有这样一段话：
如果我们不能有关于数的任何表象或直觉，那么，数是怎样被给予我们的呢?既然只是在一个命题的语境中语词才有涵义，我们的问题就成了：定义一个数在其中出现的命题的涵义。[2]73
很明显，弗雷格不是用休谟原理来定义数，而是用于解释数字的涵义，解释数出现于其中的命题的涵义。
我认为，理解休谟原理的地位，理解弗雷格为什么不以之为公理等等这一切的根本在于，我们必须看到弗雷格的理论终极目标是解决一个类似于第一实体这样的问题。“我们认为，当我们知道它是什么时，如，人是什么，火是什么，而不是知道它的质，它的量，或是它在何处，我们就充分知道了每一事物”[9]1028b1，也就是“是”的问题。休谟原理没有将数归约到某个逻辑概念。它不能提供一种途径据此算术可以回归到欧几里得几何学的严格标准，更不用说超过它们。
黑尔和赖特的方法从第二个方面看也是可疑的。人们对休谟原理是否是分析的持有很大异议。这就使得由它出发导出的算术命题的分析性也变得可疑。因此从逻辑主义的整个设想来看，黑尔和赖特的路线的确十分可疑!尽管黑尔和赖特及其他新弗雷格主义者认为，我们可以在二阶逻辑中使用休谟原理替代第五条公理来推出皮亚诺算术(被称为弗雷格定理)，但是我们仍面对这样一个问题，就是想要超越初等数论而获得整个数学仅有休谟原理不够，我们仍需要对第五条公理作适当的限制。但是，无论哪种限制都很难被看作是自然的、分析的![3]
当罗素告诉弗雷格他的系统中出现悖论后，弗雷格还是努力试图挽救他的逻辑主义，而不是放弃。
甚至现在我都看不出，如果不允许——至少有条件地允许——将一个概念转换成外延，我们怎样科学地建立算术。[7]127
我一直不愿意承认值程(value-ranges)，因而也不承认类，但是我看不出有其他的可能办法来将算术置于逻辑基础上。但是问题是，我们如何理解逻辑对象？除了把它们理解成概念的外延，或更一般地，理解成函数的值程外，我没有找到其他的办法。我一直就知道，这样理解有困难，你发现的矛盾增加了困难，但是，有什么其他的方法吗？[10]140-141
当弗雷格发现他的补救失败后，他放弃了。“我努力阐明关于‘数’这个词的问题，关于(表示)个体数的语词与符号的问题，似乎是失败了。”[4]265“我自己曾认为有可能从幼儿阶段习得的数开始，沿着纯逻辑之路征服整个数域；我已经看到其中有错误。我过去认为，采取经验路线无法做到，这一点仍是对的。”[4]276
弗雷格总结他的失败教训如下：
因此，语词“六”、“四”和“五”看起来像对象的专名，并且“偶数”、“平方数”和“素数”，同“数”本身一样，象概念词……数词根本不是专名，象“数”、“平方数”及其他的词，都不是概念词；因而，一个句子，象“四是一个平方数”并没有表达一个对象位于一个概念之下，因此不能象解释句子“天狼星是恒星”那样解释它。但是，该如何解释它呢？[4]263
语言威胁思维可靠性的一个特征是，它构成无对象与之相应的专名这种倾向。
集合论悖论由此产生，它给予集合论致命一击。当尝试为数提供一个逻辑基础时，我努力将数诠释为集合，这时我自己曾产生这种错觉。
……以“a这个概念的这个外延”这种模式形成一个专名，例如，“星这个概念的外延”。因为定冠词，这个表达式好像指称了一个对象，从语言学看该词组可能是其名称，但是，并没有对象。……语言这种致命的特性形成貌似的专名，“星这个概念”就是这样一个自然的例子。[4]269-270
在去世的一两年前弗雷格做了新的尝试。他试图从几何学中寻找算术的基础。“在我们可以合理地断言认识到了无穷的地方，我们还没有从感知上获得它。对此我们需要一种特殊的知识来源，几何学就是一个这样的来源。”[4]274“但是这种认知不必源自纯逻辑原理，像我起初所设想的那样。它有一个几何学的来源，存在更进一步的可能性……我考虑这个问题越多，我越确信算术和几何是在同一基础上发展起来的——事实上是几何学基础——以致数学整体而言是几何学。”[4]277这段话值得特别注意，它表明，弗雷格宁愿转向几何学去寻求基石，也不愿意把休谟原理视为公理。这个事实极好地表明了弗雷格对休谟原理的态度。我认为他的态度相当明显，而且是正确的。
因此，面对问题：弗雷格会接受黑尔和赖特的新弗雷格主义吗?我的回答是，根据现有文献，弗雷格不会接受。