皮尔士存在图的形式推演系统，本文主要内容关键词为：皮尔论文,形式论文,系统论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
中图分类号：B812.23 文献标识码：A 文章编号：1673-7059(2011)05-0032-04
美国著名的逻辑学家、哲学家皮尔士(C.S.Peirce，1839-1914)是现代逻辑的奠基者之一。1896年创造的存在图(Existential graphs)是皮尔士花时间最多、也是令他自己最满意的逻辑系统，1906年他更是把这一系统称为“我的杰作(My Chef Doeuvre)”。存在图由Alpha图、Beta图和Gamma图三个部分组成，各个部分都有自己初始的构图符号以及操作这些图的保真规则，从而构成了一个证明系统，分别对应于现代逻辑中的命题逻辑、谓词逻辑、模态逻辑与高阶逻辑。本文首先介绍皮尔士的Alpha图，然后针对它的非组合性提出一个递归定义来刻画一部分皮尔士原来的Alpha图，并给出这部分Alpha图的一个形式推演系统。
一、Alpha图
为构造逻辑系统，首先是要指定初始符号。在存在图中第一个也许是最重要的概念是“断言页(Sheet of Assertion)”，这是把图画于其上的任何平面，本身是一个“空”的图，空图相当于命题逻辑中的“恒真”。除此之外，在Alpha图中只有两种记号：表示图的字母p、q、r等图变元(相当于命题变元)和一个称为“切(Cut)”的用来包围其它图的(不自相缠绕的)封闭曲线：
Alpha图系统中，在断言页上写下一个图就断定了这个图，“切”在语义上表示否定，因此句法上一个“切”相当于一个否定符，如果两个图一个挨一个同时写在一个没有被“切”隔开的区域(皮尔士称为“并置(juxtaposition)”)，那么这样形成的图被认为是同时断定了原来两个图的真：
一个实质(de inesse)命题与论域的单一状态——如此时状态——有关。这样的命题完全为真或者完全为假。但是也可以提出这样一个问题，即，是否可以恰当地假设有一个一般的论域使得一个普通的命题有时为真或者可能为真。在某一环境中写下一个命题就是对它的断定。在我们的符号系统之中，我们得以把命题写于其上的平面表示了这些环境。那么，若我们在同一平面上写下两个命题，则理解为同时断定了这两个命题。这将是对于存在一个由命题表示的事物的表示模式，这一模式不必是对于论域的同一拟瞬时状态而只需是对于同一论域而言。如果写下A是断定A可能为真，写下B则断定B可能为真，那么把两者写在一起将断定A可能为真并且B可能为真。[1]376
一个“切”，也就是一条封闭曲线所包围的空白的断言页部分称为“区域”，一条封闭曲线只能位于另一条封闭曲线的区域上，而不能互相相交。因此一个图或者一个区域总是位于奇数或偶数个“切”的包围之中。“切”在皮尔士的著作中有时用一对括号来表示，我们也采用括号记法(圆括号或方括号)，因此，“(p)”等值于“非p”。并置相当于合取，因此“pq”等值于“p并且q”。
为了这些运算可以被尽可能分析地表达出来，每一个基本的运算必须一次是写(insertion)或删(deletion)。交换运算如xy∴yx则由于位置安排的不重要性而成为多余的运算。结合运算如(xy)z∴x(yx)作为交换运算的一种也同样是多余的；由可交换关系的定义，可以把它看作是一个无序集的符号。[1]374
因此，“p(q)r”与“(q)rp”是相同的图。皮尔士把实质蕴涵视为两个“切”的“嵌套(Scroll)”，前件置于嵌套的否定性区域(奇数个“切”包围的区域)，后件置于嵌套的肯定性区域(偶数个“切”包围的区域)，即“如果p，那么q”在Alpha图中表示为“(p(q))”。在Alpha图中，“切”与“并置”是仅有的两种逻辑运算，分别对应于经典逻辑的否定和合取运算——按照经典逻辑，Alpha图在表达上是完备的。
建立逻辑系统就是要从尽可能少的真命题推出全部真命题，这一任务由规则来完成。皮尔士在逻辑图研究历史上的一个重要贡献是他第一个讨论了图形的变形规则，这些图形变形规则的使用完全像代数中的规则一样。皮尔士提出的5条漂亮的图形推导规则分别是：
规则1 奇数个切中插入(Insertion)：任何图都可以加入到奇数个切包围的区域中。例如，从(())可以推出(p())。
规则2 偶数个切中擦除(Erasure)：任何图都可以从偶数个切包围的区域中擦去。例如，从(p(q))可以推出(p())；从p(q)可以推出p。
规则3 重置(Iteration)：任何图都可以被复制到包围该图的最近的切包围的任何区域。例如，从p(q)可以推出p(q)p(q)；从(p(q))可以推出(p(pq))；从((p)(q))可以推出((p)(q(p)))。
规则4 逆重置(Deiteration)：任何由重置而得到的复制图都可以擦去。例如，从p(q)p(q)可以推出p(q)；从((p)(q(p)))可以推出((p)(q))。
规则5 重切(Double Cut)：任何图都可以在其外加上一对切，并且任何由一对切包围的图都可以擦去这一对切。例如，从P可以推出((p))，从(((p))q)可以推出(pq)。
皮尔士的5条规则是演绎可靠和演绎完全的，也就是说，值为真的Alpha图就是由这5条规则推导出来的图。有了这些规则，莱布尼茨定理(在Alpha图中写成[[p(r)][q(r)][pq(rs)]])在Alpha图中的证明只需7步：
1.由规则5有：(())；
2.由规则1有：([p(r)][q(s)]())；
3.由规则3有：([p(r)][q(s)]([p(r)]))；
4.由规则1有：([p(r)][q(s)]([pq(r)]))；
5.由规则3有：([p(r)[q(s)]([pq(r[q(s)])]))；
6.由规则4有：([p(r)][q(s)]([pq(r[(s)])]))；
7.由规则5有：([p(r)][q(s)]([pq(rs)]))。
任何作为定理的Alpha图的证明其第一步都是规则5，因为其它规则都不能应用到空图上而空图又是以“公理”的身份出现在Alpha图的证明中——虽然Alpha图规则在本质上是自然演绎规则(由根岑于1935年独立提出)的概括和简化。Alpha图的规则不仅具有上述简捷性，而且，在命题演算中非常重要的推导规则分离规则(由“p”和“若p则q”推出“q”)，甚至弗雷格系统中仅假设为真而未作证明的公理都可以在皮尔士规则中给出一个简单的证明：
分离规则的Alpha图证明：分别运用规则4、5和2可以从p(p(q))即“如果p那么q，并且p”依次推出p((q))、pq和q；
弗雷格公理(第一条p→(q→p)，记成Alpha图为[p[[q[p]]]])的Alpha图证明：运用规则5、5、1、3和1依次可以得到(())、[[(())]]、[p[(())]]、[p[((p))]]和[p[(q(p))]]。
二、问题
迄今为止，对皮尔士存在图研究得最多的是其中的Alpha图。但是，研究Alpha图面临的第一个问题是所谓的“组合原则”问题，即，皮尔士的存在图不是递归定义的[2]。例如，下图(解释成“p蕴含q”) 的生成过程既可以是[]-[q]-p[q]-[p[q]]，也可以是[]-[p]-[p[]]-[p[q]]，还可以是q-pq-[pq]-[p[q]]以及其它许多种。
为了运用现代逻辑中已有的工具和技术来对存在图进行研究，我们首先把Alpha中的一元运算和二元运算这两种图形运算换成一个运算，以这个运算为初始联结词给出Alpha图的一个形式定义，然后在此基础上建立一个希尔伯特型系统。
三、形式推演系统
我们是图形语言中有可数无穷多个命题变元和一个任意n元的联结词，我们的“合式图(简称图)”的递归定义如下：
1.命题变元都是图；
2.若p，…，q都是图，则
是图。
在以上的图形定义中，皮尔士原来的图形如pq，[p]rs等将不属于我们定义的图形类。我们所定义的图形或者是一个单一的图形变元，或者是最外面为一个“切”所包围的图形。换句话说，我们所定义的图形只是皮尔士Alpha图的一部分。
2.规则
(1)从(PQ)推出(P((Q)))；(2)从(P(Q))与(P(R))推出(P(QR))。例如：从[pq(r)r]可以推出[p[[q(r)r]]]；从[()pq(r)]和[()pq(s)]可以推出[()pq(rs)]。
根据我们定义的Alpha图的语义解释，以上系统的公理都表达真命题，规则则保证了不可能从真的前提推出假的结论。而且，系统是演绎完全的。
四、结束语
皮尔士在他的存在图中一直强调规则的经验特征，而且规则可以在任意多个“切”所包围的区域内进行，而在我们提出的形式系统中，不仅规则的经验特征消失了，而且规则只能在最外面的那个“切”所包围的区域内进行。此外，我们所定义的图也只是原来图形的一部分，究竟原来所有的图形是否都可以归纳定义至今还是一个在讨论的话题[3]。最后，皮尔士对指号的一个三分法是“镜像(icon)”、“符号(symbol)”和“索引(index)”，他想在存在图中突出的是存在图所具有的指号“镜像性(iconicity)”，即一个指号与其所指称的对象之间的外在相似性[1][3]，这一点在我们的处理中也没有反映出来，因为我们所定义的结果正是皮尔士指号中的“符号”而非“镜像”。所以，以上我们所做的工作只是皮尔士存在图研究中的一个“补充方向”而不是“竞争方向”，我们的规则并不适合于“替换”皮尔士原来的规则。当然，论文提出的工具和技术还可以继续推广到存在图的其余两个部分；此外，还可以考虑进一步推广到存在图的直觉主义逻辑研究方面[4]。