两圆的“公共弦”——探究性教学案例，本文主要内容关键词为：教学案例论文,探究性论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
普通高中数学课程标准（实验）指出：学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，通过各种不同形式的自主学习、探索活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。因此，我们在教学中应充分挖掘教材中的问题背景，为学生们提供自主学习、探索创新的时间与空间，从而有效的培养学生的数学思维能力和创新意识。
下面是本人以两圆的“公共弦”为背景的一堂教学实录，意在尝试如何引导学生进行自主性学习与探究性活动。
一、展示问题
引例 （试验修订本（必修）第二册（上）复习参考题七B组第4题）
表示的曲线也经过点P（λ是任意实数）。
（由师生共同完成此证明）
问题 （试验修订本（必修）第二册（上）复习参考题七A组第24题）求两圆
附图
的公共弦的长。
二、解决问题
如图1，设点C、D分别为两已知圆的圆心，AB为公共弦。
附图
三、拓展背景
T：求两相交圆的公共弦所在直线方程，只要将两圆方程相减即可得到。若两圆相切（包括内切与外切），将两圆的方程相减又得到什么？不妨设
附图
T：（首先充分肯定学生的表现，对于两圆内切内理可得，然后提出）若两圆相离，将两圆的方程相减又得到什么？不妨设
附图
：此时两圆相离，将两圆的方程相减得：4x+3y=7，显然它表示一条直线，并易知此直线与两圆圆心的连线CD垂直。
T：此直线与已知两圆是否也存在某种必然的联系？与前的几种情形是否也存在某些共性？
（学生进行思考，允许他们展开讨论，并鼓励大家积极发表各自的看法）
四、探究本质
：当两圆相交时，由圆的切割线定理可知，此直线上（去掉线段AB）每一点G到两圆的切线长相等；当两圆相切时，易知，此直线上（去掉切点A）每一点G到两圆的切线长也相等。我猜想：当两圆相等时，此直线上每一点G到两圆的切线长相等，即｜GE｜=｜GF｜。
T：这位同学能从同类问题出发，通过类比、拓展，进行大胆猜测，这正是我们进行探究性学习必需具备的素质与意识，我们如何来验证他的猜想是否正确呢？
附图
教师引导学生自学试验修订本（必修）第二册（上）第七章小结与复习例2：
求证：到圆心距离为a(a＞0)的两个相离定圆的切线长相等的点的轨迹是直线。
通过建立适当的坐标系，得到满足此条件的点的轨迹是一直线（具体证明过程可参阅教材P84～85），并且可以引导学生发现此直线对应的方程恰好是两圆方程的差。
T：若两圆的内含（两者不是同心圆），将两圆的方程相减也得到一条直线的方程，则它上面每一点到两圆的切线长是否还相等？
附图
学生们模仿上述过程，将两圆的方程相减得：4x+3y=-38，很快证得此直线上每一点到两圆的切线长相等。
五、总结提高
T：我们从上面的教与学的过程中可达成以下共识：
在知识上，两圆的公共弦从相交→相切→相离（内含）逐步退化了，但是将两圆的方程相减得到的方程表示的直线依然存在，若从直线上的点出发可以作出两圆的切线，则切线长必相等。事实上，关于⊙C与⊙D的幂相等的点的轨迹就是此直线。另外，设过动点P分别向两已知圆⊙C与⊙D引割线，分别交于
，则点P的轨迹是直线，对应方程即为两圆方程的差，其中点P可以在已知圆外、圆上、圆内，这与点P关于此圆的幂的符号一致。
在能力上，我们应力求培养与提高发现问题、提出问题、解决问题的能力；归纳与总结、类比与推理、引申与联想的能力及探索精神、创新意识。
在方法上，我们应力求应用从特殊到一般再回到特殊（从实际到理论再回到实际）的研究方法去思考、探索问题。从具体问题出发，并在教师的指导下，结合已有知识与经验，通过自主学习，进行大胆的猜想与判断，并设法寻找合理的方法或充足的依据进行创造性的活动与尝试，及时进行阶段性总结与评价，从而使自己在不断地改进和增强能力的同时，不断地取得一些成绩。