口算的本真意义及其在小学数学教学中的异化，本文主要内容关键词为：口算论文,本真论文,小学数学论文,意义论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
我国传统教学中过分强调机械计算的做法已成为教育界的众矢之的，并成为我国基础教育数学课程改革的重要内容之一。改革的一个重要变化就是削减基本运算内容，增加与现实生活相关的题材，使学生更好地理解数学是一门动态的、发展着的实验学科，而不是一系列概念、计算技能的堆砌。因此，课改虽要求重视培养学生的计算能力，但已不是将计算能力上升到传统的“三大能力”之一的高度。随之而来的便是一些数学教育人士对学生计算能力下降的担忧，特别是小学数学教师。他们认为，基本计算能力是小学生应该具备的基本数学素养，运算内容的减少势必会降低学生的计算能力。于是许多教师采取了如下做法：课堂上按教科书进行教学，课后将口算练习卡作为家庭作业，以弥补课本及课堂教学在计算方面的不足。该做法的实质即是通过口算练习来提高学生的计算能力，因此，这一做法能否行得通或者说能否达到预期的目的，关键在于对口算本真意义的理解。由于这种做法具有普遍性，因此对这一现象进行深入分析有十分重要的现实意义。以下我们将结合国外相关的实验研究对此进行探讨。
一、口算的本真意义
数学教育界已普遍认识到，存在多元数学文化，学校数学、日常数学都是数学存在的形式。具体在算术运算上，存在不同的算术体系，正如Carraher等人对巴西儿童的考察所表明的：当作为街头小贩时，他们运用口算进行计算；而作为一名学校学生时，则使用纸和笔进行解题，即采用笔算。
为避免误解，先作一说明，这里“笔算”主要指小学生在学校学习算术运算所接受的程式化算法或西方算法，“口算”主要指不采用西方算法、不借助任何计算工具、只凭思维活动进行计算的方法。以下对口算本真意义的探讨主要建立在与笔算的对比分析上。
虽然口算与笔算的数学基础相同，即：无论是口算还是笔算，其加、减运算都建立在结合率基础上，乘、除运算都建立在分配率基础上，但口算与笔算事实上有着质的差别。
首先，二者的解题策略有很大不同。以下是Resnick对一美国儿童口算152+149的描述：
我有两个100，就是200，又有50和40，就是90，所以我得到了290，然后49中的9与52中的2相加，得到11，然后90加11，等于101，200和101相加，得到了301。
而如果采用笔算解题，则有如下的列竖式计算：
其运算法则为：数位对齐，从个位加起，满十进一。
可以看出，口算的解题策略为：十就是十，百就是百，即口算保持相对应的数字和数位本身的意义，例如152中的数字“1”表示100，数字“5”表示50；而在笔算中，不考虑数字所在数位的意义，只是将数字作为最小单位进行计算，如152中的数字“5”在竖式计算中只是作为5来计算，而不考虑它所代表的是50还是500，同样地，表达进位的1是相同的，而不管它进的是10还是100。正因为此，口算被称为建立在意义基础上（Meaning-based），而笔算则被称为以规则为基础（Rule-based）。
其次，在运算的心理机制上，口算往往在心里进行计算（因此也称为心算），每一步计算结果都储存在大脑中，因此口算依赖于记忆。而记忆的容量有限，特别是短时记忆，其容量小、保持时间短，这给心理运作造成很大困难和限制，因此，除非个体经过特殊训练，否则心算637和829之积几乎不可能。而笔算作为学校正规教育的一种算法，则是一种程式化的运算。笔算建立在印度—阿拉伯记数体系上，主要形式为列竖式计算，而印度—阿拉伯记数体系被称为是“计算的机器”（Calculating Machine），即只要掌握了竖式计算方法，无论数字多么大都可以迎刃而解。从而，笔算是一种“智力放大器”（Cultural Amplifiers），大大解放了大脑的记忆负荷。与之相对，口算常用于较小数字或相对较整的大数字计算（如1500+1400），而在处理复杂大数目运算时就有一定困难。
以上不同，也导致了口算与笔算产生的错误本质上有差异。由于口算处理的数字较小，所以误差在数量上也较小，而笔算常在列竖式进位或借位时产生错误。因此，其误差往往是几十或几百，例如在152+149的笔算中，若个位数字2与9相加进到十位上的1被误加，则计算结果就会比正确答案相差几十。当然，如果口算过程中百位上数字计算有误，也会造成相差数百，但显然这与笔算进、退位造成的误差有质的不同。
另外，口算在解题过程中表现出了更大的灵活性，从而有更为丰富、多样的解题策略。以W.J.Milne的《心算》（A Mental Arithmetic）第52题为例：
以每英亩3.75美元的价格犁32英亩地，需要多少钱？
教科书目的是让学生掌握一种特定技巧：把3.75看成是10的3/8，直接心算出答案，心算过程为：
3.75×32=（（3/8）×10）×32=（3/8）×（10×32）=（3/8）×320=120。
Schoenfeld请4位同事心算该题，有以下解法[2]：
将3.75转换成3（3/4）：
3（3/4）×32=（3+（3/4））×32=96+（3/4）×32=96+24=120；
把3.75看作（4-（1/4））：
（4-（1/4））×32=128-（1/4）×32=128-8=120；
把32看成是2的一个幂：
32×3.75=16×7.5=8×15=4×30=120。
而如果采用笔算计算，则是统一的竖式计算解题模式。
可见，相对于笔算的单一性、统一性而言，口算有着更加丰富、灵活的形式。
以上表明，口算与笔算有很大不同，是两种相对独立的运算方式。因此，口算能力强未必笔算能力就强，而笔算能力强口算能力也未必就高。事实上，某些巴西儿童的表现：能很好地处理街头计算，却难于解决类似的学校数学题，就是一个很好的说明。
二、口算在小学数学教学中的异化
根据以上观点，我们来分析前述做法：运用口算卡来提高计算能力。考察其认识基础，我们认为，这一做法事实上是口算的本真意义在数学教学中的异化，集中体现在存在以下几个误区。
误区一：口算=简单的笔算。
利用口算卡来提高计算能力的一个重要原因就是将口算看成是简单的笔算，即口算就是运算步骤很少，运算过程很简单，以致可以不必在纸上列竖式计算就能在头脑中很快计算出答案的简单笔算。因此，口算与笔算无质的差别，而仅是简单与复杂的区别，或是运算时间短长、运算步骤简繁的区别。于是，口算即成为笔算的基础。而复杂计算能力建立在对简单计算的熟练掌握之上。因此，以口算卡来提高计算能力的做法即是这一认识的必然行为。
误区二：培养计算能力=培养笔算能力。
虽然小学数学教学大纲提出，要重视基本的口算和笔算的训练，但因为将口算看成是简单的笔算，而且口算题用笔算也能轻易完成，因此数学教学中也就存在重笔算轻口算的现象。相应地，许多教师认为培养计算能力主要是培养笔算能力，特别是，卷面上并不能清楚反映出口算能力的事实更强化了这一认识。
误区三：口算能力=机械背诵能力。
口算既然被看作是简单的笔算，因此，口算能力高的一个重要标志就是能很快给出答案，甚至是脱口而出。在实际教学中，这种快速口算的能力常以学生熟练背诵或重复训练为前提，例如教师常常要求学生背诵25×4、24×5、20以内自然数的平方等。因此，小学中口算能力很大程度上就等于机械背诵的能力，背诵得好，记忆得牢，口算就既对又快。
口算的本真意义清楚地表明了以上观点的错误性。
正因为口算与笔算是两种不同的运算方式，因此，将口算看成是简单的笔算以及将计算能力看作主要是笔算能力，都是不恰当的。实际上，计算能力不仅仅是指口算与笔算能力。随着社会的进步、数学的发展，计算包含了更多的形式，比如估算、机算等。
另外，口算建立在记忆基础上，因此，口算能力很大程度上与记忆能力有关。但口算能力并不等于记忆能力，当然也不等同于背诵能力。从心理学角度看，熟练背诵使相应的知识形成了一个组块（Chunk），一个组块的内容就是人们熟悉的、并能加以识别的感性结构（视觉的、听觉的等）[2]。因此，遇到背诵过的内容，学生即能脱口而出，但是在口算过程中，并非仅是单一知识组块的提取，组块的识别、重组以及组块间的连接等，远非通过背诵、记忆就可完成，而这些正是确定口算解题策略的关键，因此，熟练背诵一定程度上能提高口算速度与能力，但口算能力决不等于背诵能力。
正是以上误区，导致了口算在小学数学教学中的异化。
事实上，口算练习卡的实际使用情况也不尽人意。一方面，教师仅仅核对口算答案，不暴露口算过程，掩盖了灵活多样、丰富生动的口算过程；另一方面，笔算是在教师指导、监督下进行的学习，而口算卡是课后独立完成的练习，显然，程式化的笔算处于正统数学的地位，而口算则属于学校教育的亚文化。如此态势将导致口算这一运算本身的淡化，甚至是笔算对口算的取代。笔者发现，一学生做128+132的口算题时按以下顺序写出答案：先写个位上的0，再写十位上的6，最后是百位上的2。在此，明为口算，但学生采用的却是笔算策略。
可见，口算卡的运用在实际教学中并没有起到培养口算能力的积极作用，反而在一定程度上有负面影响。特别是，形式上的口算与实质上的笔算的背离将导致口算能力的衰退甚至丧失。
三、口算是日常数学与学校数学的良好契合点
口算卡在提高运算能力方面有很大局限性，那么，学校教育中是否还要进行口算练习？是否还要培养学生的口算能力？
回答以上问题的关键在于明确学校数学教育的目标定位以及了解口算本真意义的生活化背景。
具体地说，口算与笔算的不同，很大程度上是学生建构口算与笔算的策略方式不同。正如不同的人有不同的记忆电话号码的方式，不同的人解决同一道口算题的方式也往往不同。人们常以自己喜欢的、熟悉的、习惯的思维方式来处理口算问题。如果是一个经常从事农业犁地的农民来计算Milne《心算》中的第52题，他更可能采取以下的心算：3英亩地需要11.25美元，30英亩是112.5美元，2英亩需7.5美元，112.5加上7.5是120美元。这里，3.75的若干倍对他来说已非常熟悉。可见，口算方法与个人的生活背景密切相关，它反映了人们日常生活中的数学思维方式，即使是在学校中，学生也常以口算方法来解决身边的实际问题。
例如，以下是发生在某小学三年级课堂上的真实活动。
小学三年级学生在教师指导下学习包水饺，最后，教师要求每个小组将包好的水饺平均分配给每一个成员带回家。三年级学生已经学习了简单的除法运算，但在实际的分配活动中，他们没有实际去数水饺的总数，再除以小组人数，而是采用了如下的方案，以一个5人小组为例：每人分别先拿5个放到自己桌前，看到剩下的水饺还多，他们每人又拿了5个，看到剩下的水饺不多了，每人又分别拿了两个，最后还剩下4个，小组长说：“你们每人拿一个，我不要了。”这样，分配工作就完成了：有4个学生每人分得13个水饺，一个学生分得12个水饺。
在此，学生并没有将水饺分配工作看作是一个学校数学意义下的分配问题：总数÷份数=每份数，他们的解决方案实际上是日常生活中数学思维方式的反映。因此，同一问题的解决在数学课堂和实际生活中并不相同，即口算与笔算反映出了不同的数学背景：口算反映出日常算术的特点，而笔算则是学校数学的体现。
另一方面，当前基础教育数学课程改革的一个重要方面就是加强学校数学与日常数学的联系。在此意义下，口算与现实生活的密切相关性也就表明了口算在数学教育中的重要性：口算成为连接日常数学与学校数学的桥梁，成为日常数学与学校数学衔接的一个良好契合点。因此，培养学生的口算能力就应该成为学校数学教育的一个重要目标。实际上，国外相关的实验研究也表明了加强我国学生口算能力的迫切性和重要性。例如，蔡金法关于中美儿童问题解决的比较研究指出，中国儿童喜欢采用算法或符号的解题方法，解题策略较为单一，缺乏灵活多样的口算策略。
需要指出的是，口算卡在实际教学中的负面影响只能看作是口算本真意义的异化表现，而不等于说口算卡没有提高口算能力的价值。恰恰相反，口算卡应成为培养学生口算能力的一个重要工具。特别是，学生口算能力的不足更加表明了搞好口算卡教学的重要性。学校教育应将培养学生的口算能力提到正常的议事日程上来，教师不仅要掌握口算的本真意义、理解口算的价值，更要加强口算的教学研究。例如，暴露口算的思维过程，揭示多元的解题策略，鼓励学生口算等，从而使口算的纽带作用能得以真正发挥。