关键词：植树问题；教学设计；封闭曲线
教学内容：《在一条首尾相接的封闭曲线上植树》是人教版小学数学教材五年级上册第108页例3相关内容。
教学对象：抚顺县救兵镇九年一贯制学校五年三班的全体学生
教学目标：
1.运用转化的方法，使学生理解在一条首尾封闭的曲线上植树所需棵数与间隔数“一一对应”的数学模型。
2.进一步培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，以及抽取数学模型的能力。
3.通过探究活动感受生活中数学的美，从而激发学生学习数学的兴趣。
教学重点：理解在一条首尾相接的封闭曲线上植树的基本数学模型。
教学难点：培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
教学准备：多媒体课件，电子白板。
创新之处：面对封闭图形中的植树问题，我首先提示研究方法：“先画图试试看。假设周长是40 m……”，引导学生根据前面例1、例2的研究经验──直观作图、化繁为简来尝试解决问题。当学生直观看出能栽4棵后，教师并不急于让学生探索出封闭图形植树问题中的规律（即间隔数等于棵数），而是进一步提出问题：“如果把圆拉直成线段，你能发现什么？”从而把学生的思维引向深处。让学生通过观察、思考发现，化曲为直后，封闭图形上植树其实可以转化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下来，教师通过两位学生的对话“我发现间隔数与树一一对应”“相当于一端栽，一端不栽”，不仅揭示了封闭图形上植树的规律，更是为学生沟通了例3与前面的例1、例2间的联系。
教学过程：
一、谈话引入，复习旧知
教师：在前面两节课中，我们共同探讨了在一条线段上植树的问题，还运用发现的规律解决了许多生活中的实际问题。谁来帮助大家一起回顾这些知识？
预设：在一条线段上植树可以分成三种情况：两端都栽时，棵数比间隔数多1；两端都不栽时，棵数比间隔数少1；一端栽一端不栽时，棵数和间隔数相等。
教师：在解决复杂问题时，我们是怎么做的？
预设：可以先给出一个猜测，要判断这个猜测对不对，可以从简单的事例中发现规律，再应用找到的规律来解决原来的问题。
教师：同学们对已学知识掌握得很好！今天这节课，我们要一起来研究植树问题中的另一种情况。
【设计意图】复习旧知再现了在一条线段上植树的三种情况，以及“猜测──验证”的方法和“从简单事例中发现规律，再将规律应用于复杂问题解决”的数学思想，为本课新知内容的探索打下了坚实的基础。
二、自主探索，学习新知
1.出示情境，展开探索
例3：张伯伯准备在圆形池塘周围栽树。池塘的周长是120 m，如果每隔10 m栽一棵，一共要栽多少棵树？
教师：这道题与前面学习的植树问题相比，有什么相同和不同的地方？
预设：不同之处在于前面学习的是在线段上植树的问题，这道题是在一个圆形周围植树。（教师追问1：线段是怎样的？圆形又是怎样的？）线段是直的，圆形是一条曲线。（教师追问2：一条什么样的曲线？）
逐步引导得出：一条首尾相接的封闭曲线。
预设：相同之处是，都是已知长度和间隔距离。
教师：你能联系已经学过的知识，自主解决“一共要栽多少棵树”的问题吗？
学生独立思考，讨论汇报。
2.概括归纳，得出模型
教师：大家想到了用什么方法来解决问题？（画图）120 m的长度太长了，怎么办？（先用简单的数据试一试）
教师：利用发现的知识，你能解决例3的问题吗？（出示：池塘的周长是120 m？）
120÷10=12（棵）
答：一共要栽12棵树。
教师：谁能完整地概括一下刚才的发现？
预设：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数与间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的一端栽一端不栽的情况。
【设计意图】学生已经有了“在线段上植树”的学习经验，在出示情境图引导学生比较相同点和不同点之后，教师放手让学生自主探究。在概括归纳的环节，注重模型的对比和沟通，通过两种不同的方式，自然地得出在一条首尾相接的曲线上植树所需棵树与间隔数“一一对应”的结论，相当于在线段上植树中一端栽一端不栽的情况。
三、课堂练习，巩固强化
教师：运用刚才的发现，解决以下实际问题。
1.圆形滑冰场的一周全长是150 m。如果沿着这一圈每隔15 m安装一盏灯，一共需要装几盏灯？
150÷15=10（盏）
答：一共需要装10盏灯。
教师：你能利用题目中的数据编出一道在线段上植树（一端栽一端不栽）的问题吗？
学生练习，交流汇报。
2.一条项链长60 cm，每隔5 cm有一颗水晶。这条项链上共有多少颗水晶？
教师：这题与我们学习的植树问题的知识有关联吗？属于哪一种情况？（在一条首尾相接的封闭曲线上植树）你能说说在这题中谁与谁“一一对应”吗？（水晶的颗数与间隔数）
练习校对：60÷5=12（颗）
答：这条项链上共有12颗水晶。
【设计意图】第1题中利用题目中的数据编出一道在线段上植树（一端栽一端不栽）的解决问题，进一步沟通了这两种植树问题之间的联系；第2题通过提问，使学生切实感受到植树问题的知识在实际生活中的广泛应用，同时强化了“一一对应”的模型思想。
四、拓展延伸，灵活应用
小区花园是一个长60 m，宽40 m的长方形。现在要在花园四周栽树，四个角上都要栽，每相邻两棵间隔5 m。一共要栽多少棵树？
教师：仔细读题并思考，这题与我们今天学习的内容有什么不同？（是在长方形的四周植树）你能运用画图的方法找到这类问题中隐藏的规律吗？
独立思考，合作交流。
预设1：可以先求出花园的周长，再按照棵数和间隔数一一对应的方法来求。（追问：这种方法跟我们今天这节课学习的内容是？）相同的。
（60+40）×2=200（m） 200÷5=40（棵）
答：一共要栽40棵树。
教师：这样的方法栽树能够保证四个角上都有树吗？为什么？（能够保证，因为长和宽都是5的倍数）
预设2：也可以分别求四条边上各栽多少棵，再求一共栽多少棵。（追问：用这种方法求的时候，要特别注意什么？）四个角上的树不能重复计算。
教师：那我们可以把4条边都当作一端栽一端不栽的情况来求。（你能自己画一画吗？）
60÷5×2=24（棵） 40÷5×2=16（棵） 24+16=40（棵）
答：一共要栽40棵树。
【设计意图】通过从一条首尾相接的封闭曲线到长方形的转变，继续培养学生利用画图方法解决问题的能力。按第一种方法计算，最后的提问“这样的方法能够保证四个角上都有树吗？”意在引起学生的反思；第二种思路可以演化出多种算法，通过画示意图的方法能使学生更为深刻地理解此类问题中隐藏的规律。
五、全课总结，畅谈收获
教师：通过这一节的学习，你有什么收获？跟大家交流一下。
根据学生回答，强调：在一条首尾相接的封闭曲线上植树，所需棵数和间隔数“一一对应”，相当于在线段上植树的问题中一端栽一端不栽的情况。
六、反思及教育意义
在“植树问题”中最重要的数学思想就是模型思想，而如何让学生理解从实际问题中抽象出数学模型的过程是教学“植树问题”的难点。为了突破这一难点，教师突出了线段图的教学，通过几何直观帮助学生理解“植树问题”的数学模型。例1是探讨关于一条线段、并且两端都要栽的植树问题，让学生通过画线段图来发现栽树的棵数和间隔数之间的关系。通过这两幅图，让学生把“点”（树）与“线”（间隔）一一对应起来，结果发现还多出一个“点”（树），所以“栽树棵数=间隔数+1”。例2通过迁移呈现出两端都不栽的线段图，“做一做”的第2题让学生通过迁移画出一端栽另一端不栽的线段图。例3则让学生理解在封闭曲线上植树的线段图的画法以及沟通它和一条线段上植树中的一端栽另一端不栽的联系。整个单元教材通过线段图的教学，突出“一一对应”的思想，并以此为基础分析植树问题三种不同的情况，即“两端都栽”“只栽一端”与“两端都不栽”。无论哪种情形，都能用“一一对应”的思想统领。
教师通过选取生活中不同的事例，让学生体会一种在数学学习、研究问题上都很重要的数学思想方法──化归思想，使学生感悟到应用数学模型解决问题所带来的便利。同时培养学生在解决实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力，初步培养学生抽取数学模型的能力。在练习中，教师以“植树问题”为背景帮助学生清楚地认识到路灯问题、敲钟问题、锯木问题等都与“植树问题”有着相同的数学结构，让学生建构相应的数学模型。
论文作者:常嘉秋
论文发表刊物:《科技新时代》2017年12期
论文发表时间:2018/1/29
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