深入研究数学课程标准，强化合情推理能力教学，本文主要内容关键词为：课程标准论文,能力论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学教育家波利亚曾说过：“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证的推理；这是他的专业，也是他那门学科的特殊标志.然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理；这是他创造性工作所赖以进行的那种推理.”杨振宁先生曾经说过：“我很有幸能够在两个具有不同文化背景的国度里学习和工作，我在中国学到了演绎推理，我在美国学到了归纳推理.”可以说，熟练进行这两种推理是杨振宁先生取得巨大成功的条件之一.正因如此，杨振宁先生主张中国学生不仅要学会演绎法，更要掌握归纳法.这里的归纳法属于合情推理的范畴.
众多的研究和事实表明，教会学生合情推理具有重要的意义.然而，许多教师一直重视论证推理，忽视对合情推理的教学与研究.为了让广大教师重视合情推理能力的教学与研究，本文首先介绍合情推理的意义，然后就如何培养学生的合情推理能力谈谈笔者的认识.
一、正确认识合情推理的意义及其特征
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）指出：“推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算.在解决问题的过程中，两种推理功能不同、相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论.”由此可以看出，合情推理就是从具体的事实经验出发，通过观察、实验、类比、联想、归纳、猜想等手段进行的一种推理.这种推理的途径是从观察、实验入手，通过类比而产生联想，或通过归纳作出猜想.这就是说，合情推理的条件与结论之间是以联想或猜想作为桥梁的.合情推理有以下两大特征.
（一）似真性
合情推理是从个别到普遍的推理，是从特殊到一般的推理，有时还是从一个普遍到另一个普遍的推理.所以合情推理结果的真假不依赖于前提条件.再加上合情推理产生于学习者个人的联想、猜想，这就决定了合情推理的结论与条件之间并无或然性的联系.有时即使条件正确，由于推理者个人的原有认知结构的差异，还可能得出不正确的结论.因此，通过合情推理而得到的结论还有待于理论或实践的检验、证明.
被誉为数学皇冠上的一颗明珠的哥德巴赫猜想，也是合情推理的结果.哥德巴赫考察了下面一类等式：
4=2+2：
6=3+3：
8=3+5：
10=3+7=5+5;
12=5+7;
14=3+11=7+7；
16=13+3=11+5；
18=5+13-7+11;
20=3+17=7+13;
之后，他通过归纳得到猜想：“任何大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”（简称“1+1”）.这个猜想（哥德巴赫1742年在给欧拉的信中正式提出）举例容易验证，但给出一般性的证明却异常困难.200多年来，经过许多数学家的努力，创立了一些新的数学方法，取得了一系列的成就，促进了数学的发展，但至今还没有彻底解决这个问题.我国已故数学家陈景润于1966年证明了简记为“1+2”的命题.这是目前对这一猜想最逼近的结果.
可见，合情推理的结果不一定是正确的.
（二）创新性
合情推理的创新性是指推理的思路或推理的过程具有新颖性和突破性.这种创新性主要来源于合情推理过程中的直觉和灵感.
直觉是一种思维形式，它是在丰富的知识与经验的基础上，在短时间内直观地把握事物的本质、瞬间做出判断的思维形式.心理学家的研究成果表明：直觉是直接觉察事物的心理活动.在合情推理的过程中，无论是类比联想，还是归纳联想，往往要借助于直觉思维.直觉思维表现为对数学问题能迅速做出相应的判断.如，对方程
，能在算术平方根和绝对值等有关知识的基础上，于瞬间作出它无解的判断来，靠的就是直觉.
灵感也是一种思维形式.在合情推理中，这是一种重要的思维形式.灵感是经过长期思维后的瞬间顿悟，是思维的信息迅速转化和急剧重组，形成新的信息系统，从而使思维出现新的突破.
例如，俄国化学家门捷列夫就“完成了科学史上的一个勋业”，给出了元素周期表.前苏联科学史家凯德洛夫曾经详尽地研究了门捷列夫的发现过程.据凯德洛夫介绍，门捷列夫的第一张元素周期表出现于1869年2月17日.虽然在此以前，门捷列夫曾经从各个方面研究过元素及其他化合物的各种相互关系，但总不得要领.发现周期律的决定性观念是在很短的时间里产生的.那一天，门捷列夫动身离开彼德堡去办与周期律毫不相干的事情，就在一切准备就绪，提了箱子要上火车之际，一个天才的猜想在他脑海里突然闪现，即原子按原子量系统化的原则.于是，在这种紧张的“思索时间不足”之中诞生了伟大的发现.门捷列夫当天就把元素周期表送往印刷厂发排，这是一个直觉闪现和顿悟的典型事例.
由此可见，灵感的出现往往会带来一种崭新的思想、方法，从而使思维结果具有创新性.爱因斯坦曾经宣称：“我相信直觉和灵感.”许多发明和创造的事实都证实了直觉和灵感在其创造过程中的决定作用.这就更加肯定了合情推理具有创新性的特征.
二、培养学生合情推理能力的做法
《标准》在具体阐述“总目标”时指出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能“在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理能力和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法”.这实质上就是《标准》向我们提出的关于推理能力的宏观教学要求，当然包含对合情推理能力的教学要求，即数学教学应设法让学生“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想”.明确了这个总要求，在教学中就不难找到培养合情推理能力的基本途径.
（一）重视“四基”教学，为学生进行合情推理活动奠定基础
我们知道，学生通过数学学习获得一个数学结论的基本过程是：在教师精心创设的教学情境下，学生经过自己的思考与探索等数学活动，首先发现、猜想到这个结论，然后再利用数学的方法证明结论的正确性，即经历“合情推理—演绎推理”的过程.合情推理是从观察、实验、类比、联想、归纳、猜想入手的，其手段是类比或归纳，结果是产生一定的联想，并作出猜想，其实质便是“发现”.发现的过程必须以扎实、优化的数学认知结构为基础.一般情况下，学生拥有的知识容量越大，已有的数学认知结构越优化，进行合情推理的可能性也就越大，产生新思想、新方法的概率也就越大.因此，要培养学生的合情推理能力，首先应加强“四基”的教学，即重视对数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的教学.有效的做法是让学生“经历三个过程，参与一个活动”：
其一，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程，掌握有关数与代数的基础知识和基本技能；
其二，经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能；
其三，经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能；
其四，参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法解决简单问题的数学活动经验.
经过长期的训练，学生就能扎实掌握数学的一些基本知识，从而具备进行数学合情推理活动的“源泉”或“资本”.
案例1：重叠部分的面积是多少？
如下页图1，两个边长为2a的相同的正方形，其中一个正方形的顶点是另一个的中心，求两个正方形重叠部分的面积.
这是多种考试中都用过的题目.只要学生能扎实地掌握数学基础知识，并能灵活运用有关图形运动的特性，便能从一般到特殊，进而考虑如图2所示的两个正方形位置关系中的特殊情形，不难发现它们重叠部分为边长等于a的小正方形.即所求面积为
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（二）把合情推理能力的培养贯穿于整个数学学习的过程之中
《标准》指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中.”这个要求有三层含义：
其一，就是把合情推理能力的培养贯穿于整个数学课程的各个学习内容之中；
其二，就是把合情推理能力的培养贯穿于数学课堂教学的各种活动过程之中；
其三，就是把合情推理能力的培养贯穿于整个数学学习的各个环节之中.
《标准》将义务教育阶段的课程内容分为四个部分：数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践.这些内容都为发展学生的合情推理能力提供了丰富的素材.例如，“数与代数”部分的许多内容都包含着分析、判断和推理的过程.对于这些内容的学习，教师应设计并组织学生进行观察、思考、探索、交流、发现、猜想等数学活动来培养学生的合情推理能力.学生在参与这些活动的同时，用自己的语言归纳出发现的结论.经过相互交流，逐步形成较为规范的语言，使学生真正理解用数学语言表达的数学概念、运算法则和运算律的确切含义，会根据具体问题，运用相应的结论去处理.
案例2：“零指数幂”的建立过程.
“零指数幂”的意义是一种“规定”，但教学中不能单纯地要求学生记住这个“规定”，而应根据学生已有的生活经验，设计适合探究的问题，尽量充分地展开“过程”，引导学生感悟这种“规定”的合理性.这个概念的建立过程分为以下三步.
（1）提出猜想：
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零指数是学生学习中的一个难点.教学时一定要把引入它的合理性体现出来，为此，可作如下引导：
②提问学生：怎样解释用不同的方法计算同一个题目会得到两种不同的答案？
③学生猜想：为了使被除式的指数等于除式的指数时，同底数幂除法的运算性质也能使用，应当有.
（2）质疑这个猜想是否合理，并通过多种途径引导学生感受猜想的合理性.
用细胞分裂作为情境，提出问题：
一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个……那么一个细胞没有分裂时个数为多少？
如图3，观察数轴上表示2的正整数次幂…16，8，4，2…的点的位置变化，你发现了什么规律？
（3）验证这个规定与原有“幂的运算性质”是相容、和谐的.
这样引入“零指数幂”概念，学生将经历如下的过程：面对挑战——提出猜想（“规定”）——说明猜想的合理性——做出“规定”——验证这种“规定”与原有知识体系的和谐性——得到进一步发展.这样设计“零指数幂”的教学过程，就能充分地体现数学自身发展的轨迹，有助于学生感受数学是如何在自身的矛盾运动中不断发展的.
最后，再引导学生用自己的语言叙述上述规定的意义，至此，一个新的概念就建立起来了.从这个概念的建立过程看，学生从计算特殊的例子入手，归纳得到一般的结论，合情推理起了决定性的作用.长期坚持这样的训练，学生的合情推理能力将会得到极大的提高.学生经历了上述探索过程，不仅能理解、掌握“零指数幂”的意义，而且还能借助学习“零指数幂”所获得的数学活动经验，科学地探究其他相关的数学问题，这一点对于形成学生的创新意识是非常必要的，也是符合《标准》理念的.
（三）创设教学情境，引导学生进行实验探究等活动
《标准》指出：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.”学习数学的最好方法是做数学，有些数学知识可通过引导学生自己亲自操作、实验或通过现代教育技术手段演示及操作，让学生经历数学知识的发现与应用过程.因为学生在经历观察、实验、归纳、猜想等数学活动的过程中，能发展其合情推理能力和初步的演绎推理能力，并能有条理、清晰地阐述自己的观点.这就要求我们在教学中应结合具体的教学内容创设问题情境，以此引导学生进行观察、操作、探究、归纳、猜想、讨论、交流等一系列的活动.学生通过实践、思考、探索、交流等，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验.
案例3：圆周角与圆心角关系定理的发现过程.
关于一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角的关系定理，可以用下面的问题引导学生进行实验与探究，从而自己猜想得到结论：
（1）任意画一个⊙O，在圆上任意取三个点A、B、C，分别连接AB、AC、OB、OC.
（2）在你所画的图中，哪个角是圆周角？哪个角是圆心角？
（3）圆心O与你画出的圆周角有什么位置关系？圆心O与圆周角还可能有哪几种位置关系？
学生猜想：圆周角与所在圆的圆心的关系有三种情况：圆心在圆周角的一边上（如图4（1）），圆心在圆周角的内部（如图4（2）），圆心在圆周角的外部（如图4（3））.
（4）分别量出图4（1）～（3）中，圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的度数；你有什么发现？
学生猜想：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
（之后教师与学生一起给出严格的证明.）
这就是圆周角与圆心角关系定理，显然这个定理是学生通过实验操作自己发现的.不仅如此，学生在探索的过程中，还能感受到分类讨论思想，获得一定的数学活动经验.
案例4：有趣的“握手次数”问题.
在一个国际活动中，来自不同国家的10位代表第一次见面，他们两两握手作自我介绍.试问：
（1）在这次见面中有多少次不同的握手？
（2）如果代表的人数多于10人，共有多少次握手？对于任意人数赴会，能否找出一种办法计算不同的握手次数？
对于这个问题，可以这样引导学生进行探究活动：
（3）如果有两名同学握手1次；如果有3名同学握手3次；如果有4名同学握手6次……如果有5名同学、6名同学呢？如果有n名同学呢？
用y表示n名同学两两握手一次需要握手的次数，完成表1：
（4）以表中的对应数据为坐标点，描出y与n之间的函数关系所对应的图象.
（5）猜想y与n之间的函数关系是怎样的？并求出y与n之间的函数关系式.
解析：（1）学生通过实验、探究等活动，不难得到表格中对应的y值.
（2）在得到y值后，建立如图5所示的直角坐标系，横轴表示学生人数n，纵轴表示这n名学生两两握手时握手的次数y，描出并用光滑连线连接表中的各点：（1，0），（2，1），（3，3），（4，6），（5，10），（6，15）.
（3）观察图5可以发现，经过这些点的图象是一条抛物线的一部分，故不难猜到y与n之间的函数解析式为
，用待定系数法求得
.这就是人数n与握手次数y之间的一个数学模型，有了这个数学模型，握手问题就不难解决了.
（四）加强发散思维的训练
一个人数学合情推理能力的大小往往与他的思路是否宽阔、灵活，是否富于联想等紧密相关.所以引导学生广开思路，加强对学生发散思维能力的培养就成为培养学生数学合情推理能力的重要原则和方法之一.我国著名数学家、数学教育家徐利治教授指出：“数学上的新思想、新概念和新方法往往来源于发散思维.”由此可见，加强发散思维能力的训练与培养，是培养学生数学合情推理能力的重要环节.为此，教学中要精选一些典型问题，启发、鼓励、引导学生灵活采用联想、猜想、试探等种种方法，打破常规，从新的角度或方向大胆探索，从而逐步学会把已有知识、方法进行迁移，灵活变通地运用到新情境中去.
案例5：求证：
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等式中的无穷根式和无穷繁分式对学生来说过去从未见过，根本不认识，如何理解及证明，学生一时摸不着头脑，根本无法下手，可见按“常规”是不能解决这道题的.这时可鼓励学生不要怕“无穷”，要敢于面对它，大胆分析、思考、想象、探索：
（1）等式两边的无穷式子中只含有常数1，要它们相等，只能是它们都等于某一个常数a，只要设法把这个a找到即可.
（3）右边怎么办？学生们立即能类比求出其值，问题可获解.
合情推理能力的形成与发展是一个缓慢的过程，对它的培养要符合其自身的特点和规律，不能等同于一般知识与技能的训练.它不是教师“教”出来的，而是学生自己“悟”出来的.这种“悟”只能产生于数学活动中.这就要求教师在进行数学教学时，一定不要把数学知识“赤裸裸”地告诉学生，要对教学内容进行深加工，精心设计成能引导学生进行思考、探索、归纳等活动的素材，为学生提供探索与交流的空间，组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”，把推理能力的培养有机地融合到数学学习过程之中.
当然，强调重视合情推理的教学并不表明反对“逻辑思维”的训练.事实上.学生良好的数学思维习惯的形成，遇到问题能“数学的思考”的课程目标的实现，离不开严密的逻辑推理，而且“严密的逻辑推理，高度的模式抽象，正是数学区别于其他学科的主要特征.数学教学中引导学生学习运用数学模型法、公理化方法、抽象分析法等数学思想方法，有助于学生理解数学的抽象性本质，形成和发展数学品质”.广大数学教师应把既教会学生猜想，又能把握证明；既能合情推理，又能严格论证作为教学的指导思想.
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