常方差弹性系数模型下波动率指数期权定价

马长福， 许 威

(同济大学 数学科学学院， 上海 200092)

摘要 ：作为对冲市场波动率变动风险的波动率指数期权，其定价问题一直受到广泛的关注.为了对其进行定价，首先构建服从常方差弹性系数模型的指数价格柳树，然后根据指数价格柳树确定柳树节点上相应波动率指数的值从而得到波动率指数柳树，最后在波动率指数柳树上运用倒向递归的方法得到波动率指数期权的价格.所给出柳树法定价波动率指数期权的方法，其结果随着柳树空间节点数的增加快速逼近嵌套蒙特卡罗模拟的结果，当柳树空间节点数超过200时，柳树法给出的结果具有相当高的精度.

关键词 ： 期权定价; 柳树法; 波动率指数; 常方差弹性系数模型

波动率指数(volatility index，VIX)用于度量市场未来1个月的波动率，又称为市场恐慌性指数，指数值越高，市场看空情绪越高.1993年，芝加哥期权交易所首先公布了美股市场的波动率指数，并联合高盛在2003年改进了波动率指数的计算方法.随后，芝加哥期权交易所在2004年3月26日推出波动率指数期货，并在2006年2月24日推出波动率指数期权.由于我国金融市场起步较晚，直到2015年2月9日，上海证券交易所才推出上证50ETF期权，接着联合中证指数公司在2016年11月28日正式发布上证50ETF波动率指数(简称“中国波指”).但是，在中国波指发布1年后，从2018年2月14日起，中证指数公司停止发布中国波指.目前国内投资者面对市场上的波动率风险只能通过构建上证50ETF期权投资组合的方式来跟踪波动率变化.这一方式的跟踪误差较大且投资成本高.同时中国的波动率产品主要在场外交易，场内并不活跃.随着市场的不断完善，针对波动率指数衍生品的定价研究意义重大.

③实现智慧交通系统公共数据的共享服务，为政务内网、政务外网以及互联网上的各类交通类相关的智慧应用提供基于城市智慧交通公共数据库的交通数据服务、时空信息承载服务、基于数据挖掘的决策知识服务等。

波动率指数的概念在研究文献中的首次出现要比1993年芝加哥期权交易所首次正式公布波动率指数要早得多.1987年全球金融危机后，Brenner等^[1]指出投资者因为缺乏对冲市场波动率变化的工具而依旧暴露在市场波动率变化的风险中，并且首次提出了波动率指数的概念.1993年，Whaley^[2]指出通过波动率指数衍生品可以有效对冲市场波动率风险.2006年，Carr等^[3]分析了芝加哥期权交易所在2003年给出的新波动率指数和1993年的旧波动率指数的不同之处.随着研究的进一步深入，许多文献开始研究任意时刻t 及任意期限τ 的波动率指数.将t 时刻期限为τ 的波动率指数记为VIX_t,τ ,其满足^[4-6]

(1)

式中:S _t 是标普500指数在t 时刻的值，表示在风险中性测度下基于t 时刻信息求期望.在此基础上对以VIX_t,τ 为标的物的波动率指数期权定价问题受到了广泛的关注.

为了定价波动率指数期权，研究者们建立了大量定价模型^[7-14].这些模型大致可以分为两类:第一类,直接从波动率指数出发构建模型^[7-10];第二类,从指数价格出发构建指数价格服从的随机波动率模型，再由式(1)确定波动率指数^[11-14].在第一类模型中，由于直接对波动率指数建模并没有用到指数价格信息，所以构建的模型无法保证波动率指数期权市场同相应的股票市场的一致性.在第二类模型中，间接建模保证了两个市场的一致性，但为了刻画模型波动率的随机性，往往需要构建双因子模型，如Heston随机波动率模型^[11]，3/2随机波动率模型^[12]以及4/2随机波动率模型^[13].这些双因子模型无不面临模型参数难以估计的难题，Lin等^[13]用市场历史数据检验根据极大似然估计得到的参数估计值时发现，均方误差均在10%以上.

式中:k ₁、k ₂、k ₃、k ₄、函数g ^-1由X _tn 的一到四阶矩确定^[18,21].确定的值后，由式(3)可得

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1 指数价格柳树的构建

根据Ingber的结果^[22]，假设S _t 服从如下过程:

(2)

式中:r 为无风险利率;σ 为波动项系数;γ 为方差弹性系数;dW _t 为标准布朗运动增量.在构建指数价格柳树前,先简单介绍柳树法.

柳树法最初由Curran^[16]提出，并经由Xu等^[17]进一步改进并推广，如CIR模型(Cox-Ingersoll-Ross model)^[18]，Merton跳扩散模型^[19]等.构建柳树有两个步骤:确定柳树中每个节点的值和计算任意两个相邻节点间的转移概率.图1是一个3时段4节点的柳树结构示意图.从图中可以看到时间区间[0,t ₃]被划分为3个时间子区间，除0时刻外，每个时刻柳树都有4个节点.以t ₂时刻从上至下第3个节点为例，表示t ₂时刻第3个节点的指数价格(下文用代表t _n 时刻从上至下第i 个节点的指数价格).图中相邻节点间的连线表示前一个节点可以向后一个节点转移.

本研究主要通过设定短期目标，遵循具体化、个体化、循序渐进原则，帮助病人体验康复行为实施后的健康效果，有利于增强病人健康行为的实施信心，提高病人自我效能水平；采用分组讨论的方法，每组≤5例，利于病人在讨论过程中有效进行经验总结和分享；健康教育内容具有针对性和实用性，通过具体技巧的示范，如在课堂上演示预防骨质疏松的对抗阻力操，鼓励病人参与练习，避免了健康教育内容因空洞、抽象不易被病人接受的缺点，提高了病人对健康教育内容的掌握程度，促进其生活方式改进；护士通过鼓励病人说出造成不良生活方式的原因及改善过程中遇到的阻碍，与病人共同分析原因，努力找出解决问题的办法，有利于保证病人康复行为的科学性。

本文结合仪表电缆的相关标准，分析了仪表电缆的基本结构和性能参数，并给出了仪表电缆相关的测试标准。在编制电缆技术规格书时，设计人员应根据项目的实际情况，明确仪表电缆的技术参数，确保电缆的性能指标满足设计需求。同时，设计人员还需不断学习仪表电缆的最新规范和工艺方面的发展，总结实际的项目应用经验，推动仪表电缆在化工装置中的技术发展。

图1 3时段4节点指数价格柳树示意图

Fig.1 A willow tree structure with 3 time steps and 4 possible index prices at each time step

构建CEV模型下的S _t 柳树需要确定柳树在每个节点的值以及相邻节点间的转移概率.首先将时间区间[0,T ]等分成N 个子区间，时间节点记为0=t ₀<t ₁<t ₂<…<t _N =T ,满足t _i =i Δt ，Δt =T /N .由于过程(2)无法直接得到S _t 的解析式,故先做变换,令

(3)

根据伊藤引理，易得

在吸引更多人加入老年护理行业方面，各国政府和企业都使出了浑身解数。甚至解决问题的思路也相当一致，那就是：一方面从外部引进人才，一方面采取各种激励措施吸引本国劳动力。

即X _t 服从CIR模型，其柳树节点的确定方法可以参考文献[18].首先在标准正态分布上选取m 个离散样本点^[17]，记为Z _i (i =1,2,…,m ).记t _n 时刻X _tn 分布的离散取值点为根据Johnson Curve逆变换^[20]，将Z _i 转换成X _tn 的离散取值点即

综观鲁迅的小说可以看出他对农民的基本态度是“哀其不幸，怒其不争”。“哀其不幸”是鲁迅对农民态度的基本出发点；“怒其不争”是鲁迅对农民态度的基本归宿[1]。

本文在构建波动率指数期权定价模型时，采用第二种类型的建模方法，同时为了降低参数估计的难度，采用CEV模型(constant elasticity of variance model)^[15]来刻画指数价格，其主要有两大优势:第一,保证建立的模型能够反映波动率指数期权市场同对应股票市场的一致性;第二,其属于一维随机波动率模型，在刻画波动率的随机性时，不需要引进额外的过程，同时也便于数值处理.由于波动率指数期权的解析解难以求得，本文将采用数值方法定价波动率指数期权.常用的数值方法有蒙特卡罗模拟、有限差分及树方法.由于VIX_t,τ 是路径相关的，采用蒙特卡罗模拟需要嵌套模拟，这将带来庞大的计算量，而有限差分方法并不适合这类强路径相关问题，所以本文将采用柳树法对波动率指数期权定价.通过柳树结构估计期权到期时刻的VIX_t,τ 值，解决了波动率指数的估计中涉及基于未来时刻的信息计算条件期望的难题.数值实验部分给出柳树法和蒙特卡罗模拟的比较，结果显示柳树法给出的价格能够很快收敛到蒙特卡罗模拟的结果，且其计算效率要明显高于蒙特卡罗模拟.

式中:i =1,2,…,m ；n =1,2,…,N .确定指数价格柳树节点值后，还需要确定柳树的转移概率.

假设指数价格S _t 服从如下CEV模型:

dS _t =f (S _t )dt +g (S _t )dW _t

当Δt 足够小时，在给定S _t 的条件下，S _t+Δt 的条件密度函数如下:

记向转移的概率为可由在的条件下，S _tn+1 落在附近一定区域的概率估计.本文取S _tn+1 落在同相邻两个节点的中点构成区间的概率估计，即

式中:特别地，故t _n 时刻柳树的转移概率矩阵为P ⁿ =[]_m×m .

新规则“4整理原则”分解为四点，4.1与4.2的内容与旧规则内容一致，均强调“遵循文件的形成规律，保持文件之间的有机联系，区分不同价值，便于保管和利用。”4.3与4.4为扩充内容，4.3“归档文件整理应符合文档一体化管理要求，便于计算机管理或计算机辅助管理”是适应当前实际工作需求的必要之举。信息技术的发展必然要求归档文件整理符合新规则4.3的要求。4.4“归档文件整理应保持纸质文件和电子文件整理协调统一”，这一原则与新规则的适用对象(纸质与电子文件)相呼应，同时也与当前纸质文件、电子文件双套制管理模式相符合。

同理，t ₀时刻S ₀到的转移概率为

故t ₀时刻柳树的转移概率矩阵为P ⁰=[]_1×m .

2 波动率指数估计及其期权定价

2.1 通过指数价格柳树估计波动率指数

由式(1)可知，为了计算VIX_t,τ 需要计算条件期望通过上文构建的指数价格柳树来估计这一条件期望.将时间区间[0,t +τ ]等分成N ₂个时间子区间，则时间子区间长度为Δt =(t +τ )/N ₂，子区间节点记为0=t ₀<t ₁<…<t _N1 =t <t _N1+1 <…<t _N2 =t +τ ,满足t _i =i Δt .首先构建具有N ₂个时段，每个时段有m 个节点的指数价格柳树.由建立的指数价格柳树，在t 时刻，S _t 共有m 个可能的取值，为任取i ，考虑S _t 取第i 个可能值的条件下，的估计，易得

(4)

（2）由（1）知，y=f（x）的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f（x）≤ax+b在［0，+∞）成立，因此a+b的最小值为5。

(5)

将式(5)代入式(4)，可得在t 时刻条件下

3.教学变得非体验化。教师忽视了学生的自主建构，一味让学生去讨论没有探讨性、争议性的问题，学生因准备不足而不能进行深入的交流，导致学生体验的缺失。教师以图画、影视、动画等创设情境，将一些信息强加于学生，以影视作品替代学生的研读，学生缺少自我体验，难以形成个性化的见解。

(6)

故在条件下只与有关.

随着气温的回升，可慢慢加大通风口和通风时间，一般到3月中下旬，可在上午 8∶00～10∶00，棚内温度上升到 20℃时，及时通风；下午 2∶00～3∶00棚内温度下降到14～16℃时，关闭通风口。当夜间温度稳定在10℃以上时，可以不关闭通风口；如果棚内湿度大，阴雨天也需要通风排湿。

首先，对任意一条可能的路径计算其概率，例如考虑这样一条演化路径:其中l =N ₂-N ₁-1.由指数价格柳树的转移概率矩阵可得

考虑S _t 从出发到节点所有可能路径，并将每一条路径的概率相加即得到

改革、开放，引进、消化、吸收国外先进技术，从那时起成为印刷产业变革的主旋律。此后，中国印刷工业迈向发展的快车道，从告别铅与火，走进光与电，再到数与网。而在每个关键节点的背后，我们都能看到中国印工协的身影，典型如：1987年12月，《经济日报》率先使用的“计算机—汉字激光照排系统”顺利通过国家级验收，宣告“世界上第一家采用计算机—汉字激光屏幕组版、整版输出的中文报纸”诞生；90年代中期，我国重点书刊印刷厂全部采用国产激光照排系统。

(7)

在t _n 时刻，给定由向t _n+1 时刻的m 个节点转移的概率为转移概率矩阵P ⁿ 的第i 行，令m 维列向量为转移概率矩阵P ⁿ 的第i 行的转置，即在t _n+1 时刻，给定由t _n 时刻的m 个节点向转移的概率为转移概率矩阵P ⁿ 的第j 列，令m 维列向量为转移概率矩阵P ⁿ 的第j 列，即则有

定理1 在具有N ₂个时段，每个时段有m 个节点的指数价格柳树上，t =t _N1 时刻S _t 从节点转移到t +τ 时刻节点的概率可由下式计算:

由式(4)，计算只需要计算在t +τ 时刻，S _t+τ 共有m 个可能的取值，即S _t 从节点演化会有m 种可能,分别为记为发生的条件概率，则满足

(8)

证明 由式(7)提取最内层求和项的公因式，可得

(9)

又

(10)

将式(10)代入式(9)得

提供资源共享课程的目的就是，利用互联网优势，让更多的学生可以共享优质的课程资源。国外的资源共享课程面向全球，受众广，效果好。但由于资源共享课程目前主要面向的对象是本校学生，受众较少，加上推广宣传不到位，有些非基础课程选课人数较少，造成资源浪费。

(11)

提取式(11)最内层求和项的公因式，可得

(12)

又

同理，不断提取最内层求和项的公因式，可得

(13)

将式(13)代入式(12)

根据定理1将式(8)代入式(6)，在条件下，有

(14)

根据式(1)给出的波动率指数的定义，记对应的波动率指数为VI，则在S _t =条件下

(15)

令为m 维列向量，则式(14)可以整理为

(16)

将式(15)代入式(16)，可得

超声刀主机将电能转换为机械能，使刀头产生高达55.5 kHz频率的机械振动，刀头接触组织后带动其高频振动，使内部水分汽化、蛋白氢键断裂、细胞崩解，导致组织被切开或凝固，同时蛋白变性形成黏性凝结物并封闭血管，从而达到切割、凝闭组织和止血的作用。

(17)

遍历指数价格柳树，即可得到波动率指数柳树.

2.2 柳树法定价波动率指数期权

假设需要定价的波动率指数期权是以VIX_t,τ 为标的物的敲定价为K 的欧式看涨(看跌)期权，且期权的到期日为T 时刻.将时间区间[0,T +τ ]等分成N ₂个时间子区间，则每个时间子区间的长度为Δt =(T +τ )/N ₂，时间子区间的节点为0=t ₀<t ₁<…<t _N1 =T <t _N1+1 <…<t _N2 =T +τ ，满足t _i =i Δt ，根据前面介绍的方法构建[0,T ]的波动率指数柳树.然后采用倒向递归的方式计算波动率指数期权的价格.

在T 时刻期权到期，在节点VI的支付为

在t _n (n =N ₁-1,N ₁-2,…,1)时刻，波动率指数期权在节点VI的价值可由t _n+1 时刻期权价值根据转移概率加权平均并贴现得到

易得，在t ₀时刻，波动率指数期权的价值为

3 数值实验

由于没有解析解，故采用嵌套蒙特卡罗模拟的结果进行对比.在蒙特卡罗模拟时需要进行嵌套模拟，首先模拟生成10 000条从0时刻到期权到期日T 时刻的指数价格路径，接着对生成的每一条路径进行内层蒙特卡罗模拟，生成100 000条从期权到期日T 到时刻T +τ 的指数价格路径.内层模拟的路径将用于估计然后由式(1)计算出相应路径的VIX_T,τ .根据内层模拟得到的VIX_T,τ ，可以计算该条路径上波动率指数期权的价格，对外层模拟的10 000条路径的波动率指数期权的价格取平均值，将平均值作为嵌套蒙特卡罗模拟得到的波动率指数期权价格.将嵌套蒙特卡罗模拟(10 000次外层模拟和100 000次内层模拟)得到的波动率指数期权价格作为参照基准.

数值实验只对欧式看涨波动率指数期权进行定价.假设需要定价的波动率指数期权是以VIX_t,τ 为标的物的敲定价为K 、到期日为T 的欧式看涨波动率指数期权.在接下来的所有数值实验中，令欧式看涨波动率指数期权的到期日T =0.5，敲定价为K =20，波动率指数的期限τ =1/12，且将时间步长定为Δt =1/360.表1给出了数值实验中的一组模型参数的设定.

表1 CEV模型参数

Tab.1 Parameters in CEV model

为了研究m 取值对定价的影响，图2给出了在m 取不同值时柳树法定价结果和运算时间.当m 取值超过200时，柳树法给出的期权价格在11.82附近波动，随着m 的增大而趋于11.82.固定嵌套蒙特卡罗模拟的外层模拟次数为10 000次，图3给出了不同的内层模拟路径数下的模拟结果.随着内层模拟次数的增加模拟结果逐渐趋于稳定，在内层模拟次数超过70 000次时，期权价格在11.80附近波动.结合图2和图3，可以发现，当柳树的空间节点数足够大以及嵌套蒙特卡罗内层模拟的次数足够大时，两种定价方法给出的结果相当接近.如当m 取250时，柳树法的定价结果为11.828，计算时间为3.191 s，当内层模拟次数设为100 000时，嵌套蒙特卡罗模拟的结果为11.813，模拟的标准差为0.032，计算时间为2 408.671 s.以嵌套蒙特卡罗模拟的结果11.813为标准，其99%的置信区间为[11.731,11.895]，当m 取250时，柳树法给出的期权价格落在嵌套蒙特卡罗模拟结果的99%置信区间内，且其定价误差仅为0.13%，而运算时间约为嵌套蒙特卡罗模拟的0.1%.通过对比发现，柳树法定价波动率指数期权的效率相比嵌套蒙特卡罗模拟有大幅提高.同时，由图2可以发现，当m 取250时，柳树法给出的波动率指数期权的价格已经相当接近嵌套蒙特卡罗模拟的结果，具有相当高的精度.所以在接下来的数值实验中，令m 取250.

图2 m 取不同值时柳树法定价结果

Fig.2 Pricing results at different values of m of the willow tree

图3 内层模拟路径数取不同值时嵌套蒙特卡罗模拟的定价结果

Fig.3 Pricing results of nested Monte Carlo at differentnumbers of nested paths

接下来，将给出在4组不同的参数设定下柳树法的定价结果，同时也给出嵌套蒙特卡罗模拟的定价结果，并将其作为参照标准.4组参数的设定见表2.在参数的设计中，考虑了不同的初始价格、波动率系数和方差弹性系数的组合.表3给出了这4组参数设定下柳树法和嵌套蒙特卡罗模拟得到的期权价格，其中嵌套蒙特卡罗模拟的结果中也给出了模拟的标准差(括号内数值).表3给出的结果显示两种方法给出的价格非常接近，相对误差(以嵌套蒙特卡罗模拟结果为标准)保持在1%以内，柳树法给出的期权价格落在嵌套蒙特卡罗模拟结果的99%置信区间内(蒙特卡罗模拟结果加减2.576个标准差).而表3给出的计算时间显示，柳树法所需时间不到嵌套蒙特卡罗模拟需要时间的0.2%，柳树法的计算效率要远远优于嵌套蒙特卡罗模拟.

表2 4组CEV模型参数设定

Tab.2 Four groups of parameters for CEV model

表3 4组CEV模型参数下的定价结果

Tab.3 Pricing results of four groups of parameters in CEV model

4 结论

本文给出了CEV模型下波动率指数期权的柳树法定价方法.通过CEV模型刻画指数价格保证了建立的模型能够保持股票市场和波动率指数期权市场的一致性，同时相比二维随机波动率模型，CEV模型的方差弹性系数使模型的波动率保持随机性的前提下可以简化参数估计问题，且更易于运用.

首次将数值方法柳树法运用于CEV模型下波动率指数期权定价问题.在无法得到波动率指数期权解析解的情况下，给出了一种定价波动率指数期权的高效数值算法.同嵌套蒙特卡罗模拟相比，柳树法定价波动率指数期权的效率大大提高.本文创新性地提出根据柳树结构估计波动率指数的方法，解决了在估计未来某时刻波动率指数时需要基于该时刻信息计算条件期望的问题，大大提高了计算效率，避免了蒙特卡罗模拟时需要嵌套模拟的问题.

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Pricing Volatility Index Option in Constant Elasticity of Variance Model

MA Changfu ,XU Wei

(School of Mathematical Sciences, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Abstract ： As one of the most important tools to manage the risk of volatility, a lot of attention has been paid to volatility index options. In order to price these options, a willow tree of underlying index was built in the constant elasticity of variance model. Then, the value of volatility index at each node in the willow tree of underlying index was determined. Next, the willow tree of volatility index was used to price volatility index options by backward induction. Finally, an efficient way to price volatility index options was proposed. Numerical results show that the pricing results given by the willow tree are consistent with the results obtained from nested Monte Carlo simulation when the number of nodes on each time period in the willow tree is bigger than 200.

Key words ： option pricing; willow tree method; volatility index; constant elasticity of variance model

中图分类号 ：F830.9

文献标志码： A

文章编号 ：0253-374X(2019)11-1664-06

DOI: 10.11908/j.issn.0253-374x.2019.11.017

收稿日期： 2019-12-24

第一作者： 马长福(1990—)，男，博士生，主要研究方向为金融数学.E-mail:1410551@tongji.edu.cn

通信作者： 许 威(1978—)，男，副教授，博士生导师，理学博士，主要研究方向为金融数学.E-mail:wdxu@tongji.edu.cn

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