辽宁省抚顺市望花区海城小学 113001
摘 要：“s＝vt”是小学数学行程问题基本公式，要深刻理解“路程和（差）”、“速度和（差）”、“相遇（追及）时间”等核心概念，掌握行程问题中正、反比例的应用。行程问题中的特殊性主要体现在三个方面：一是主体类型的特殊性，行程的主体可分为“质点”主体，以及火车、轮船、钟表等特殊主体；二是主体运动方向包括相向（面对面）、背向（背靠背）和同向三种；三是时间、速度和路程的特殊性。时间的特殊性体现在“同时”和“不同时”两个方面；速度的特殊性体现在“变速”还是“不变速”、“何时变速”、“几个主体变速”等方面。路程的特殊性表现在三个方面：一个是路程轨迹的特殊性，路程的轨迹分直线型与非直线型两种；一个是路程“中点”问题；一个是由于路程的周期性产生的“多次相遇”问题。
在小学数学的知识体系中，行程问题是应用题中的一个重点和难点。行程问题因其变化因素多样，使其显得“花样多”，总有“乱花渐欲迷人眼”的感觉。如何从总体上和逻辑上把握行程问题的特殊性及其类型，从而进行有效的教学，就是本文探讨的主要问题。
一、把握“不变”
行程问题是围绕“路程、速度和时间”三个基本概念展开的，“s＝vt”这一基本公式是不变的。由于多个主体参与，衍生出的“路程和（差）＝速度和（差）×相遇时间（追及时间）”两个公式是不变的。其中，关于s＝vt的正比例、反比例关系以及路程和（差）、速度和（差）、相遇时间、追及时间是需要认真理解和体会的关键。
二、把握“特殊”
不变的是本质，变的是形式。行程问题之所以复杂，关键在于它有很多特殊性和变化量。只有系统地理解和把握这些特殊性和变化量，才能做到心中有数且得心应手。
1.主体的特殊性
（1）主体类型的特殊性：行程的主体不仅有人、自行车、汽车这样可以视为“质点”的普通类型的主体，还有火车、轮船、钟表这样的特殊类型主体。以火车为例，这一交通工具的特殊性在于自身长度不能被忽略，不能被视为“质点”，而火车过杆（静态点）、过人（动态点）、过桥或隧道（静态段）、过火车（动态段），都是这种特殊性的叠加与组合。而流水行船问题的特殊性在于水与船的相对运动，形成的船的静水速度、顺水速度、逆水速度、水速之间的特殊联系。钟表作为行程问题主体的特殊性主要体现在时针、分针、秒针所走过的路程是“圆上弧线”，以及60进位制的特殊性。
（2）主体数量的特殊性：行程问题不仅有一个人、一辆车构成的单一主体类型，而且有两个主体构成的基本类型，如常见的两人（两车）的相遇或追及问题，亦有三个及三个以上主体构成的多人多次相遇类型，如“往返接人”类型（包括狗在相向而行两人间往返跑动）、多人在环型跑道上多次相遇问题。
2.方向的特殊性
行程是主体的运动，而运动是有方向的。综观例题中不同主体的运动方向，只有三种：相向（面对面）、背向（背靠背）和同向。相向、背向、同向涵盖和穷尽了所有行程问题的方向性，是行程问题展开的基本框架。“相距”、“相遇”、“追及（到）”都应放在这三个方向的总体框架下考量，是这三种方向中的特殊情况。比如，相向而行就会产生“面对面”、“背靠背”两种情况、两种类型的“相距”，即相遇前相距和相遇后相距；而“面对面”的相遇，不仅在相向而行中常见，而且在同向而行中亦有所谓“回头见”（折返后相遇）的类型。行程问题的复杂性在“方向”维度上还表现为相向、背向与同向的组合。比如，“流水行船”类型中，船上掉物一段时间后，船调头追，从特殊性上看是追及与相遇的结合，从一般性上看是同向与相向的结合；再比如，公交车上的某人看见路上熟人迎面而来，但隔窗而过，公交车到站人下车后追赶熟人，其实是相向、背向和同向三种方向的综合。
3.时间、速度和路程的特殊性
行程问题是时间、速度和路程三者关系问题，时间、速度和路程就成为行程问题“耍花样”的基本因素和主要手段。因此，抓住了时间、速度和路程的特殊性就把握住了行程问题的变化形式和主要类型。
（1）时间的特殊性体现在“同时”和“不同时”两个方面，“同时”与“不同时”构成了行程问题的两大基本类型。教材中“同时”型的例题占主导，但“不同时”型的题目很新颖。“不同时”型不仅表现在行程的开端，而且表现在行程的过程之中；行程开端的“不同时”往往表现为“先后出发”、“早出晚归”、“轮流先跑”，而行程过程之中的“不同时”往往表现为“间歇性停止”，比如龟兔赛跑型、工作一段时间要休息型、车辆中途故障抛锚型、火车避让停车等。
（2）速度的特殊性体现在“变速”还是“不变速”、“何时变速”、“几个主体变速”等方面。比如，两车相遇后变速是一类重要的类型，但还存在着相遇后不变速的一类题。把相遇后变速与相遇后不变速的题目放在一起，进行分析、比较，把握其内在联系与转化，就在逻辑上和总体上把握了问题的根本。与相遇后变速和不变速相对应，还有相遇前变速的类型，相遇前变速与相遇后变速成为“何时变速”的两个基本类型。此外，“几个主体变速”是行程问题“变速”型的第三个方面。比如，求“一车往返速度有变”、“一个萝卜滚出去与滚回来”等变速条件下的路长，属“一车一次变速”型；而求一车在两种变速条件下的路长，属“一车两次变速”型。此外，相向而行条件下，两人同时增速或减速，属“两人变速相遇”型。
（3）路程的特殊性表现在三个方面：第一方面是路程轨迹的特殊性，路程的轨迹不仅有直线型，而且有非直线型，比如环形跑道、长方形跑道、三角形跑道；更为重要的是将不同跑道结合起来，形成难度比较大的“变道”类型，往往成为考试中的压轴题。第二方面是路程“中点”型，路程中点是行程中的特殊点，将“中点”作为相遇点或相遇点的参照，可以综合体现“路程和（差）”、“速度和（差）”等考点。第三方面是由于路程的周期性产生的“多次相遇”问题，除了常见的“一次相遇”类型之外，“二次相遇”和“多次相遇”也是路程的特殊性之所在。
当主体、方向、时间、速度、路程等多因素交织、综合在一起，就会衍生出丰富多彩、变化多端的“花样”行程问题。比如将变时和变速结合起来，产生“变时变速”型。但“万变不离其宗”，把握变中之不变，才能将行程问题的各种“变形”融汇贯通，建构行程问题的“概念谱系”（“概念树”），做到心中有“数”亦有“树”！
参考文献
江春莲 胡艳 学生对求解相遇问题和追及问题的两个公式的理解.全国高师会数学教育研究会2006年学术年会论文集， 2006，11，01。
作者简介
论文作者:周晓红
论文发表刊物:《中小学教育》2017年7月第283期
论文发表时间:2017/7/11
标签：特殊性论文; 行程论文; 路程论文; 主体论文; 类型论文; 速度论文; 时间论文; 《中小学教育》2017年7月第283期论文;