基于过程教育的“证明(一班)”课程实例与解释_认知发展理论论文

基于过程教育的“证明（第1课时）”课例及说明，本文主要内容关键词为：课时论文,过程论文,课例论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。

      一、背景介绍

      过程教育是旨在满足学生全面、和谐发展的需要，关注数学结果的形成、应用的过程和获得数学结果（或解决问题）之后的反思过程的育人活动.浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第一章第3节“证明（第1课时）”是在学习定义与命题的基础上提出来的，其教学内容不仅包括证明的含义、证明的表述格式，也包括证明概念的形成、应用的过程和蕴含的证明的必要性、归纳思想和演绎思想、证明命题的策略、证明几何命题的一般步骤、用交换命题的条件和结论的方法来构造命题的数学活动经验等.用合情推理的方法发现并提出命题和用演绎推理的方法证明命题是数学的基本思想方法；研究证明的基本过程具有普遍适用性.判断命题真假的过程、产生并定义证明的过程、用证明的含义和方法证明简单命题的过程有能力发展点、个性和创新精神培养点，其蕴含的数学思想和数学活动经验对发展学生的智力有积极的影响.选择怎样的载体和运用怎样的方法来完成其教学任务？笔者在过程教育指导下的多次螺旋式教学探索与反思的基础上，将形成的教学经验在象山县骨干教师带徒活动中进行了再实践，得到了同仁的认可.现将其整理出来，以飨读者.

      二、教学实录

      环节1：经历判断命题真假的过程——明确研究的问题

      师：我们知道，判断某一件事情的句子叫做命题.正确的命题称为真命题；不正确的命题称为假命题.

      师：现在请大家判断下列命题的真假，并说明理由.

      命题1 图1是一张8cm×8cm的正方形纸片.若把这张纸片按图1所示剪开，再把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，则图2的面积是65

.

      

      命题2 对于自然数n，代数式

-3n+7的值都是质数.

      师：命题1是真命题还是假命题？为什么？

      生1：命题1是真命题.因为图2是长方形，所以5×13=65（

）.

      生2：命题1是假命题.因为剪、拼前后两个图形的面积应当相等，所以图2的面积64

.

      师：好像都有道理.究竟谁的判断是正确的呢？

      生3：生2的判断是正确的.因为图2没有告诉我们它是长方形，生1把它看作是长方形了，所以生1的判断是错误的.

      师：对！用长方形面积计算公式，先要说明它是长方形.这说明光凭直觉会导致错误.

      师：命题2是真命题还是假命题？为什么？

      生4：命题2是真命题.因为当n=0，1，2，3，4时，代数式

-3n+7的值分别是7，5，5，7，11，它们都是质数，所以这个命题是真命题.

      生5：命题2是假命题.因为当n=6时，代数式

-3n+7的值是25，而25不是质数，所以这个命题是假命题.

      师：生4用的是归纳方法，生5用的是举反例的方法.这说明用归纳得出的结论不一定正确.

      师：现在请大家谈谈判断上述两个命题之后的感触.

      生6：通过观察得到的结论不一定正确，还需要用说理的方法来证实.

      生7：通过归纳得出的结论不一定正确，还需要用说理的方法来证实.

      师：好的.尽管观察、实验、归纳、类比、联想、猜测等是发现数学结论的重要方法，但用合情推理得到的结论不一定正确，还需要证明.那么，何谓证明？怎样证明？这节课就来研究这些问题（揭示课题）.

      环节2：参与产生并定义证明的活动——形成证明的概念

      师：现在请大家再判断下列命题的真假，并说明理由.

      命题3 如图3，若AD⊥BC于D，AD平分∠EDF，则∠BDF=∠CDE.

      

      生8：用测量的方法，可以猜想这个命题是真命题但需要用说理的方法来证实.

      师：好的.你能用说理的方法来证实它是真命题吗？

      生8：因为AD⊥BC，所以∠BDA=∠CDA=90°.又因为AD平分∠EDF，所以∠EDA=∠FDA.所以∠BDF=∠CDE.

      师：好的.现在老师把你的说理过程规范地写出来.

      因为AD⊥BC（已知），所以

      ∠BDA=∠CDA=90°（垂直的定义）.

      因为AD平分∠EDF（已知），所以

      ∠EDA=∠FDA（角平分线的定义）.

      所以∠BDF=∠CDE（等量减等量差相等）.

      师：上述说理过程有何特点？

      生9：从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实，一步一步推得结论成立.

      师：好！像这样，从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立.这样的推理过程叫做证明.

      师：判定一个命题是真命题需要证明.说明一个命题是假命题可用什么方法？

      生10：只要举出一个反例就可以了.

      师：好的.这就是证明命题的策略——判定一个命题是真命题需要证明；说明一个命题是假命题可用举反例的方法.

      环节3：探索证明的方法——生成证明几何命题的一般步骤

      师：现在我们一起用证明的含义来证明下列命题

      命题4 若两条平行直线被第三条直线所截，则同旁内角的平分线互相垂直.

      师：请大家先完成下列任务：

      （1）按题意画出其图形；

      （2）在图形上标注已知条件；

      （3）写出“已知”与“求证”.

      （待学生完成上述任务）

      师：如图4，要证EP⊥FP，只要证什么？

      

      生11：只要证∠EPF=90°.

      师：要证∠EPF=90°，只要证什么？

      生12：只要证∠EFP+∠FEP=90°.

      师：要证∠EFP+∠FEP=90°，只要证什么？

      生13：因为EP，FP分别平分∠FEB，∠EFD，所以只要证∠FEB+∠EFD=180°.

      师：要证∠FEB+∠EFD=180°，只要证什么？

      生14：只要证AB//CD.而AB//CD是已知条件.

      师：好！现在我们按证明的格式把证明过程规范地写出来.

      证明：因为AB//CD（已知），所以∠FEB+∠EFD=180°（两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补）.

      因为EP，FP分别平分∠FEB，∠EFD（已知），所以

      ∠PEF=

∠BEF，

      ∠PEF=

∠DFE（角平分线的定义）.

      ∠PEF+∠PFE

      =

∠BEF+

∠DFE

      =

（∠BEF+∠DFE）

      =

×180°=90°（等量代换）.

      所以EP⊥FP（垂直的定义）.

      师：如图4，同位角的平分线是怎样的位置关系？

      生15：同位角的平分线互相平行.

      师：好的.如图4，内错角的平分线是怎样的位置关系？

      生16：内错角的平分线互相平行.

      师：好的.一般地，证明几何命题要经历哪几个步骤？

      生17：按题意画出图形→在图形上标注已知条件→写出“已知”与“求证”→分析证明方法→按证明格式写出证明过程.

      师：非常好！需要注意的是每步推理都要有依据.

      环节4：参与尝试证明命题的活动——证明有代表性的几何命题

      师：现在请大家证明下列命题.

      命题5 已知：如图5，DE//BC，∠1=∠E.求证：BE平分∠ABC.

      命题6 已知：如图6，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且∠1=∠2.求证：∠B=∠ADE.

      

      命题7已知：如图7，∠ACD=2∠B，CE平分∠ACD.求证：CE//AB.

      

      （教师要求学生独立证明上述命题，并请3位同学分别在黑板上演示3个命题的证明过程.待学生完成任务，教师组织学生进行交流合作与评价）

      师：现在请大家思考并回答下列问题.

      （1）如图5，“若DE//BC，BE平分∠ABC，则∠1=∠E”是真命题吗？为什么？

      （2）如图6，“在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，∠B=∠ADE，则∠1=∠2”是真命题吗？为什么？

      （3）如图7，“若∠ACD=2∠B，CE//AB，则CE平分∠ACD”是真命题吗？为什么？

      师：谁来回答第（1）问？

      生18：是真命题因为DE//BC，所以∠2=∠E，又因为BE平分∠ABC，所以∠2=∠1，所以∠1=∠E.

      师：好的.谁来回答第（2）问？

      生19：是真命题.因为∠B=∠ADE，所以DE//BC，所以∠1=∠2.

      师：不错.谁来回答第（3）问？

      生20：是真命题.因为CE//AB，所以∠ECD=∠B，又因为∠ACD=2∠B，所以∠ACE=∠B，所以∠ECD=∠ACE，所以CE平分∠ACD.

      师：不错.由此大家有何感触？

      生21：通过交换命题的条件和结论可以构造出新命题.

      师：好的.通过交换命题的条件（全部或部分）和结论（全部或部分）是发现新命题的一种方法，但用这种方法构造出来的新命题不一定是真命题.

      环节5：参与回顾与思考的活动——合作进行反思与总结

      首先，教师出示下列“问题清单”，并要求学生围绕“问题清单”进行回顾与思考.

      （1）本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？

      （2）何谓证明？为何要证明？

      （3）证明命题的策略是什么？一般地，证明几何命题要经历哪几个步骤？

      （4）你在学习过程中，碰到了哪些困难？有何感触？

      其次，教师组织学生汇报交流，同时教师进行评价.

      最后，教师结合具体例子围绕“何谓证明”、“为何证明”、“怎样证明（策略、方法和技巧）”、“有何意义”等问题进行总结性讲解.

      三、教学说明

      针对“证明（第1课时）”的教学内容及其地位与作用和蕴含的教育价值，落实其全面、和谐的教学目标需要，引导学生经历证明概念的形成、应用的实质性思维过程.但目前在这节课的教学中，普遍存在获得概念的认知过程短暂及获得概念和证明命题之后反思过程缺失的问题.这有悖于过程教育，不能全面发挥其育人功能.本节课是以具有一定思考价值的问题和简单的命题为载体，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法.在证明概念形成与应用的过程中，既有判断给定命题真假的认知过程，以发展学生判断能力，也有判断之后反思的认知过程，以感悟观察、归纳的结果不一定正确，进而感受证明的必要性；既有结合具体命题产生并定义证明的认知过程，以认识证明的含义和证明的书写格式，也有获得概念之后反思的认知过程，以认识证明命题的策略；既有证明简单几何命题的认知过程，以巩固证明的含义和证明的书写格式，也有证明之后反思的认知过程，以揭示证明几何命题的一般方法（步骤）；既有独立证明给定几何命题的认知过程，以发展智慧技能，也有证明之后反思的认知过程，以感悟通过交换命题的条件和结论能构造出新命题；既有教师问题引导下的学生总结，以发展学生交流能力和语言表达能力，也有教师的总结性讲解，以再认“何谓证明、为何证明、怎样证明”等.初步的理论求证与实践验证表明，这种全面的教学内容、完整的认知过程、和谐的教学方法体现了过程教育，也符合概念教学及证明几何命题教学的基本规范，能落实“能知道证明的含义，能感受证明的必要性，能知道证明命题的策略，会按规定格式证明简单命题，能初步认识证明几何命题的一般步骤”的教学目标.因此，数学教学中要实现知识、技能、能力、态度的完美统一，需要教师增强揭示知识所蕴含的思维活动过程的自觉性，而引导学生经历实质性思维过程需要教师充分贯彻启发式教学思想——以符合“最近发展区”理论的题材为载体，从学生已有的知识与经验出发，运用教师价值引导与学生自主建构相结合的适度开放的方法，并引导学生经历完整的认知过程.只有这样，才能促使学生经历“过程”中的思维“站点”，从而促进学生全面、持续、和谐发展.

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