高中现行数学教科书中集合含义的商榷，本文主要内容关键词为：书中论文,教科论文,含义论文,高中论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
随着我国新一轮课程改革的不断深化，普通高中课程改革得以全面实施.遵义师范学院作为西部地区的师范院校为了抓好学生的基本功，数学系常常把“集合的含义（或概念）”作为学生实习前的备课、试教、说课等练功的内容之一.研究者在指导大三学生进行实习前的备课、试教、说课等练功时，根据学生的质疑，研究发现：普通高中现行教科书（人教版（必修A版、B版）《数学1》、北师大版（必修）《数学1》、苏教版（必修）《数学1》、湘教版（必修）《数学1》以及沪教版（必修）《数学1》等6个主要版本）中的集合含义（或概念）都值得商榷.建议将高中数学教科书中集合描述为：凡是具有某种性质的、确定的、互异的、无顺序关系的（具体的或抽象的）对象的全体称为集合，集合中的对象称为该集合中的元素.
一、问题的提出
在指导学生钻研教材时，学生对高中现行数学教科书人教版（必修A版）《数学1》中关于集合含义描述质疑：（1）“把研究对象统称为元素”[1]中的“研究”.学生说自己并没有“研究”，也不打算研究这些对象啊！研究者解释道，这句话可理解为“把讨论（或考察、考虑、观察、关注、认识、了解等）的对象称为元素”.因此，这里的“研究”，并非指真正意义上的“研究”，而是具有在特定场合需要“讨论、考察、考虑、观察、关注、认识、了解”等之意.
（2）“把一些元素组成的总体叫做集合”[1]中的“一些”与“总体”.学生问，既然是“一些”，又何为“总体”？研究者解释道，这里的“一些”，也并非真正意义上的“一些”而是指所需“讨论、考察、考虑、观察、关注、认识、了解”或“研究”的那些所有对象；“总体”即整体.既然是“所有对象”，它们组成（或视它们为）一个“整体”是无可厚非的.
不知是我说理不清、解释不够，还是学生锲而不舍而发现了什么，或是教科书中的描述的确存在不到位与模糊之处？学生听后仍觉得茫然！几届学生几乎有相同的质疑，这不得不使笔者对高中现行数学教科书中集合含义（或概念）提出商榷.
二、高中现行数学教科书的几个主要版本关于集合的描述
国家《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称《课标》）颁布以来，根据《课标》编写的高中教材主要有人教版（必修A版、B版）《数学1》、北师大版（必修）《数学1》、苏教版（必修）《数学1》、湘教版（必修）《数学1》以及沪教版（必修）《数学1》等6套.研究者将对这6个主要版本中关于集合的描述进行探究.
众所周知，集合在数学上是一个很难用更简单的概念来给其下定义而只能给予一种描述的基本概念.由于集合语言是现代数学的基本语言，在高中数学课程中，也是学习、掌握和使用数学语言的基础.因此，现行教科书将其安排在高中数学开篇章节.
1.人教版（必修A版）《数学1》对集合的表述
在高中现行数学教科书人教版（必修A版）《数学1》中，为了呈现集合的含义，给出8个例子，分析每个例子的元素，说明其元素的全体就组成一个集合.从而归纳共性，给出集合的描述：“一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）.”[1]然后以“给定的集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了”来说明集合中元素的确定性；以“一个给定集合中的元素是互不相同的，就是说，集合中的元素是不重复出现的”来说明集合中元素的互异性；以“只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的”来说明集合的相等，同时也隐含集合中元素的无序性，但并未明确指出集合中元素的无序性.
2.人教版（必修B版）《数学1》对集合的描述
在人教版（必修B版）《数学1》中，教材首先列举出学生日常熟悉的“整体”、“一类”、“一群”等与“集合”意义相近的词语，指出“数学书的全体”、“地球上人的全体”、“所有文具的全体”等都可分别看成一些“对象”的集合；然后指出，“我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象”；接着呈现集合的描述[2]：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集），构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）.然后通过几个用自然语言来描述集合的例子，逐步引入集合的集合语言描述，并在后面加上：“关于集合概念，还要作如下说明：（1）确定性：作为一个集合的元素，必须是确定的，就是说不能确定的对象就不能构成集合.也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了.（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的（或说是互异的）.这就是说，集合中任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素.”也没有指出集合中元素的无序性，而是在呈现集合的表示方法时才给出“用列举法表示集合时不必考虑元素的前后顺序”.
3.北师大版（必修）《数学1》对集合的表述
在北师大版（必修）《数学1》中，通过列举我国水面面积在800平方千米以上的青海湖等9个湖泊的所在地、水面面积、湖面海拔、蓄水量、湖水最大深度以及湖水性质等，说明可按不同的标准进行分类后，呈现集合的描述：指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素[3].然后用“给定一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素就确定了”来说明集合中元素的确定性；用“给定的集合中，元素是互异的，也就是说，集合中的任何两个元素都不同，因此，集合中的元素没有重复现象”来说明集合中元素的互异性；用“对于两个集合A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素，这时，我们就说集合A与集合B相等”来说明集合的相等，同时也隐含集合中元素的无序性，但同样未明确指出集合中元素的无序性.
4.苏教版（必修）《数学1》对集合的描述
在苏教版（必修）《数学1》中，通过3个实例引导学生归纳“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念的共同特征，之后说明在生活中，会遇到各种各样的事物.为了方便讨论，需要在一定范围内按一定标准对所讨论的事物进行分类，分类后会用“群体”、“全体”、“集合”等一些术语来描述它们.接着呈现集合的描述：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set）.集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）[4].由于在集合的含义中已明确给出元素的确定性与互异性，所以只用“如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素），则称这两个集合相等.如，｛北京，天津，上海，重庆｝=｛上海，北京，天津，重庆｝”来说明集合的相等，同时也隐含集合中元素的无序性.虽然表现出集合中元素的无序性，但同样还是没有明确指出无序性.
5.湘教版（必修）《数学1》对集合的表述
在湘教版（必修）《数学1》中，通过“集合的概念是最基本的数学概念.因为它太基本了，无法对它进行精确地定义，只能作直观的描述”的导入，给出集合的描述：在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合（set），给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字.这些对象中的每一个，都叫做这个集合的元素（element）[5].然后约定：“同一个集合中的元素是互不相同的.”之后通过“把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，这叫做描述法”来说明集合中的元素具有某种专有属性.但没有体现集合中元素的确定性与无序性.
6.沪教版（必修）《数学1》对集合的描述
在沪教版（必修）《数学1》中，为了呈现集合的含义，给出7个例子，之后给集合的描述是：把能够确切指定的一些对象组成的整体叫做集合，简称集（set）.集合中的各个对象叫做这个集合的元素（element）[6].然后通过“对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，也就是说，任何一个元素要么是给定集合的元素，要么不是这个集合的元素，二者必居其一”来说明集合中元素具有“确定性”；通过“对于一个给定的集合，集合中的元素是各不相同的，也就是说，一个给定的集合中的任何两个元素都是不相同的对象，集合中的元素不重复出现”来说明集合中的元素具有“互异性”；但仍未明确指出集合中元素的“无序性”.
三、关于集合的诸多描述与集合的基本性质
由于集合是一个范畴类的基本概念，因此它是一个不予定义的概念，只能通过描述它的一些特性来加以说明.正因为这样，关于集合的描述也是多种多样的.
1.集合的诸多描述
某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素[7].
每一组对象的全体形成一个集合.集合里各个对象叫做这个集合的元素[8].
把具有某种属性的一些对象，看作一个整体，便构成一个集合，集合里的各个对象叫做这个集合的元素[9].
集合是不能精确定义的基本概念.直观地说，把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫做集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员[10].
何谓集合？用集合论的创始人G.康托尔（G.Cantor，1845-1918）曾经解释的话来说：“所谓‘集合’，我们理解为我们的知觉或思维确定的总体.明确区分开的对象m聚集成的一个整体M，这些对象叫做M的‘元素’.一般来说，集合就是我们把直观上或思想上的一些确定的彼此不同的对象作为一个整体，组成某一集合的事物（或对象）叫做集合的元素.此时我们便说，这些元素组成该集合；这些元素属于该集合；或说该集合由这些元素组成；或该集合含有这些元素等.”[11]
集，亦称“集合”，数学中的基本概念之一.具有某种属性的事物的全体称为“集”.组成集的每个事物称为该集的元素[12].
“把在我们直观或思维中的一定范围内的所有对象，作为一个整体来考虑，称之为（那些对象的）集合.把该范围内的各个对象称为集合的元或元素.”[13]
“当我们讨论某一类对象的时候，就把这一类对象的整体称为集合.而集合中的对象就称为该集合中的元素.”[14]
若干个（有限或无限多个）固定事物的全体叫做一个集合（简称集）.组成一个集合的事物叫做这个集合的元素（有时简称元）[15].
凡是具有某种性质的、确定的、有区别的事物的全体就是一个集合（set）或简称集[16].
把人们的直观上或思想上的那些确定的能够区别的对象汇聚在一起成为一个整体，这一个整体就叫做一个集合[17].
表示一定事物的集体称为集合或集.组成集合的东西叫做这个集合的元素[18].
由具有某种特定性质的具体的或抽象的事物之全体组成一集（或者称为集合），其中的成员称作这个集的元素[19].
按照某一法则规定的研究对象的整体称为集合.它的每一个研究对象称为集合的元素[20].
某些指定的“东西”集在一起就成为集合[21].
所谓集合乃是可以互相区别的事物的汇集[22].
凡说到集指的就是某些对象的汇集[23].
凡是具有某种特殊性质的东西的全体即称之为集[24].
2.集合的基本性质
上述关于集合的诸多描述，都各有其特点.尽管对集合的描述多种多样，但是集合中的元素应该具有以下基本性质：
（1）确定性：是指每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，二者必居其一且只居其一，不能模棱两可.没有确定性（如“个子高的同学”、“很小的数”、“年轻人”等）就不能成为集合（而是构成Fuzzy集合[25]）.这个性质主要用于判断一个整体是否能形成集合.以此区别于Fuzzy集合.
（2）互异性：是指集合中任意两个元素（如果有的话）都是不同的对象.互异性使集合中的元素是彼此不同的、没有重复的，相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素.以此区别集合中的任意两个元素.
（3）无序性：是指集合中的元素之间没有顺序关系.如集｛a，b，c｝、｛b，a，c｝、｛a，c，b｝、｛c，a，b｝等都认为是同一集合.以此确定集合的同一性.
（4）纯粹性：是指集合中的元素都具有该集合所表征的特性，不具有这一特性的对象都不在这个集合中.
（5）完备性：是指具有集合所表征的特性的对象全部都囊括在该集合中，或被该集合“一网打尽”，没有一个被漏掉.
四、对高中现行数学教科书中描述集合概念的建议
1.几个主要版本对集合的描述与诸多描述间的关联分析
根据上述诸多描述，不难看出：
（1）人教版（必修A版）《数学1》、北师大版（必修）《数学1》、湘教版（必修）《数学1》以及沪教版（必修）《数学1》等4个版本关于集合的描述比较相似，并且都与文献[5～8、10～13、16～19、21、22]等关于集合的描述相关联.这种描述虽然简洁，但对集合中元素所具有的特征以及基本性质没有准确表达出来.因此，往往需要再补充一定的说明来完成.否则会给学生进一步的学习带来不便.
（2）人教版（必修B版）《数学1》与苏教版（必修）《数学1》2个版本关于集合的描述比较相似，并且都与文献[9、14、15、20]等关于集合的描述相关联.这种描述虽然看似复杂一些，但对集合中元素的确定性与互异性两个基本性质已经明白地在描述中告诉了学生（或读者），不必再做补充说明.然而，仍然没有强调集合中元素所具有的特征以及无序性，也需要做适当的补充说明来完成.否则，也会给学生进一步的学习带来不便.
2.对高中现行数学教科书中描述集合概念的建议
有学者撰文指出，由于集合是在数学中不加定义的概念.因此，学生对集合概念的认知水平，完全取决于他们怎样理解与掌握这一概念.一般地，把集合看成一些确定的、可以区分的事物汇聚在一起组成的一个整体.组成一个集合的每个事物称为该集合的一个元素，但这只是对它最简单的、最肤浅的理解.对集合概念科学的认识应该理解为：
（1）集合的元素可以是任何事物，当然也可以是另外的集合；
（2）数学中研究的集合甚至可以是不包含任何元素的空集；
（3）一个集合中的各个元素是可以相互区分开的，这意味着在一个集合中不会出现相同的元素；
（4）组成一个集合的各个元素在该集合中是无次序的；
（5）任一事物是否属于一个集合是确定的，即对于一个集合来说，任一事物或者是它的元素，或者不是它的元素，二者必居其一，结论是确定的[26].
《课标》指出，集合语言是现代数学的基本语言.使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容.高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言表示有关数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力.《课标》对“集合”一章的要求是：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义……[27]不难看出，这是最起码的，也是最基本的要求.所以有学者撰文指出，《课标》“就低不就高”而忽视少年英才培养，应通过深入调查、反思修订，使《课标》文本日臻完善、合国情、利发展，以巩固新课程实验成果，促进普通高中课程改革更加顺利地推进[28].
综上所述，建议将高中现行数学教科书中的集合描述为：凡是具有某种性质的、确定的、互异的、无顺序关系的（具体的或抽象的）对象的全体称为集合，集合中的对象称为该集合中的元素.
这种描述至少有以下6个方面的优点：
一是这种描述，明确说明集合中的元素是具有某种性质的（以此区别于其他集合）、确定的、互异的、无顺序关系的对象，因而具有确定性、互异性和无序性；
二是这种描述，明确说明组成集合的对象（或元素）可以是具体的、直观的，也可以是抽象的、思维的；
三是这种描述，明确说明集合中的元素全是由那些，且只由那些具有相同属性的对象所组成，因而具有纯粹性与完备性；
四是这种描述，反映出集合的特征和集合中元素的基本性质，又不会引起认识和理解上的混淆，为学生进一步学习带来了方便；
五是这种描述，采用公理化的形式，表述科学、准确，为集合的表示等提供了理论依据，更便于教与学的把握；
六是这种描述，符合对范畴类的基本概念描述的要求[29].
五、结束语
所指导的几届学生在大四秋季的实习中采用了上述建议的描述，他们感到，首先是自己消除了疑虑，其次是在实习讲述中容易把握，再次是所授学生容易认识和理解.应该说，达到了《课标》的要求.
研究者赞许学生敢于质疑的钻研精神，也期望学生都有这种敢于质疑、锲而不舍的钻研精神.用实际行动落实好、实施好新一轮课程改革.
由于水平有限，上述建议仅为一孔之见，就想一吐为快，以期同仁斧正.
（致谢：感谢遵义师范学院幸克坚教授、赵兴杰教授对本文提出的宝贵意见.）