数学美与数学教学中的审美，本文主要内容关键词为：数学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
青少年在学习过程中，有的人对数学没有兴趣，认为数学枯燥乏味，是大伤脑筋的玩意儿；有的人认为数学抽象难懂，成天与数目字打交道，没多大意思；有的人甚至对数学产生惧怕心理，把听数学课、解数学题，看成是最头痛的事。之所以会产生这些情况，这与数学教学忽视贯彻数学中的审美原则有关。我们认为，在数学教学中，应该进行数学审美教育。因为数学园地里处处开放着美丽花朵。下面就数学美及其特点，数学审美在数学教学中的作用，以及教师的审美修养作简要论述。
一、数学美及其特点
马克思说过：人类的社会生产活动是按照“美学原则”进行的，当然作为精神生产物的数学知识也是符合美学原则的。数学具有文学和艺术所共有的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，这就是所谓的数学美。具体说来，数学美的本质就是数学关系结构系统与作为审美主体的人的意向的融合。这也就是说，数学的内在结构方法和人的意向共存、斗争之后，必然融合为一个新的范畴，这个新的范畴，就是数学美。
由于人是以带有强烈思想意识色彩的意向来与数学建立联系的，因此，这种联系必然与一定的数学思想观念相联系，必然是宜人的，具有美学意义。所以，数学关系结构系统与意向的融合就是数学美的本质。例如，数学家称公式
是美的，这是因为它把不同的三角形、正方形、长方形、梯形的面积计算统一在一个式子中，体现了美的简洁、统一。
任何事物和现象，都有它自身与众不同的特点，数学美也不例外。数学美的内容和特点可概括为和谐性和奇异性，而和谐性又表现为统一性、简单性、对称性、整齐性、不变性和恰当性。
1.统一性。所谓统一性，就是部分与部分、部分与整体之间的协调一致。客观世界具有统一性，数学作为描述客观世界的语言必然也具有统一性。因此，数学的统一性是客观世界统一性的反映。在数学中，许多概念、公式、法则，特别一些数学分支的诞生，以及近代数学中的重大成果都体现出数学的统一性。例如，如果把整数视作分母为1的分数，小数视作十进分数，这样一来，整数、小数、分数都可统一到分数中。若再把加或减的运算视作求二元一次函数Z=X+Y中的函数值或其中一变数值，并依照“只有同单位数才能相加减，结果还是同单位数”这个法则进行运算，就可把整数、小数和分数各自不同的传统的运算法则统一到仅仅是表内加减的运算（可简化为两个法则：加几，进1，减几的补数；减几，退1，加几的补数）。同样，把整数、小数、分数都统一到分数的概念，若再把乘或除的运算视作是二元二次函数Z=XY的函数值或一变数值，就可把整数、小数、分数的各自不同的传统运算法则统一为仅仅是表内乘除的运算。再如，当梯形的上底缩短为0时（假定上底小于下底），这时梯形就转化为三角形，因此三角形可视作上底为0的梯形；当梯形上底与下底相等时，梯形转化为平行四边形，因此平行四边形可看作是上、下底相等的梯形。正方形、长方形都可视作特殊梯形。当把正方形、长方形、平行四边形、三角形都视作梯形的特殊形式，再利用等积变换，可把这些图形面积公式统一到梯形面积公式之中。
数学中的统一性，不仅是数学美的一个特征，而且是数学发现中的美学方法之一，同时又是数学家所追求的目标。例如，法国数学家集体布尔巴基学派是用结构的观念来统一数学，美国数学家麦克莱恩与艾伦伯试图以范畴论来统一许多数学分支。
2.简单性。与统一性相联系的是简单性。客观世界不仅是统一的，并且统一于一个简单的规律，而在繁杂之中概括出一种简洁明了的规律，则给人一种美的感觉。例如，速度v，时间t与距离s之间的关系可用公式s=vt表示；力F，加速度a和物体的质量m，可用公式F=ma表示。优秀的诗词讲究用最少的文字表达最丰富的内容，而这些公式用字之少，表达内容之丰富，远非任何一首诗词所能比拟的。因此，给人以深邃的美的享受。数学家研究数学的目的之一，就是尽可能地用简单而基本的数学语言去描述世界，解释世界。为了把数学知识一代一代传下去，就要把数学知识及其理论系统加以简化和统一。数学家对于数学简单美的追求，也是促进数学发展的动力之一。例如，代数中的乘法运算，实际上是加法运算的简化，幂的运算是乘法的简化。为了简化复杂的运算，1614年，英国数学家纳皮尔发明了对数，使天文学家的生命增加一倍。二进制数制是从逻辑关系的简单性而引进的。
在解题过程中，经过冥思苦想，如果获得一个极其简单的解法，其兴奋的心情往往是难以言状的。例如，计算：
面对这个计算题，若贸然用一般的通分的方法来解决，会带来繁杂的计算。当仔细审视这题的特点，发现每一项的分数的分子皆是1，而分母可分别分拆成两个相连的自然数之积，即 1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6×7,7×8,8×9,9×10，于是，立即使我们联想到，把每个分数都分拆成两个分数之差。这样一来，尽管计算过程中分数的项数增加了一倍，但出现正负相间的两个相同的分数，中间的项对消了，只剩下首末两项，从而很快获得结果，即
这一简洁的解法，给人以美的享受。
3.对称性。在客观世界中，对称的形式是很多的。动物形体与植物叶脉都呈现着对称规律。人体的外部器官是左右对称的；一棵树在水中的倒影，又呈上下对称。在长期生产实践中，人们认识到对称对于人的生存、发展有着十分重要的意义。因此，事物的对称形式，能给人以审美的愉悦。
在几何图形中，有轴对称，中心对称和镜对称。圆与球具有转动的对称性，因此被看成是最完美的几何图形。对称数12321,123454321,3345433,对称式12×231=132×21,12×462=264×21,12×693=396×21,a×b=b×a，都给人以美的享受。
在数学的发展中，由于对对称美的追求与实际需要相结合，从而可引出新的概念和新的理论。例如，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到无理数、从实数到虚数等一系列数域的扩充，都与对对称美的追求密切相关。加法的逆运算是减法，乘法的逆运算是除法，微分的逆运算是积分，这种种逆运算的建立，也都与对称美相联系。
4.整齐性。所谓数学的整齐美是指各个数学符号按相同方式排列，同一形状的一致的重复。例如算式：
1[2]+2[2]+3[2]+4[2]+5[2]+6[2]+7[2]+8[2]+9[2]+10[2]
的每一项指数都是2，每相邻两项的底数之差皆是1，这是一种整齐美。例如，数12345679乘以9，会得到如下结果
12345679×9=1111111111。
积是10个排列整齐的1。显然，如果将数12345679乘以9的倍数，其倍数为2、3、4、5、6、7、8、9，则其积就是10个排列整齐的2、3、4、5、6、7、8、9，即
12345679×9=1111111111,
12345679×18=2222222222,
12345679×27=3333333333,
12345679×36=4444444444,
12345679×45=5555555555,
12345679×54=6666666666,
12345679×63=7777777777,
12345679×72=8888888888,
12345679×81=9999999999,
这是一个表现数字内在的神秘美与外形的整齐美相统一的例子。
对数学整齐美的追求，可以获得新的数学成果。例如，一元一次方程有一个根，一元二次方程有两个根，一元三次方程有3个根，一元四次方程有4个根。由这些特殊方程的根的个数与方程的次数的一致性，促使数学家提出如下的猜想：一元几次方程有几个根。这一猜想的证实就得到了代数基本定理。
5.不变性。不变性也是一种美。在一个数学关系结构系统中，那些变化中的不变量和不变关系常常表现出美的神韵。例如，分数的分子和分母分别同乘以不为0的数，其分数形式变了，但分数值不变。比例的基本性质，其表现形式改变了，但比值始终不变。这种种不变量和不变性呈现出的美使人产生美感。
其结果仍然是对称的。不但如此，其中间运算过程的每一步算式也是对称的。这种对称性的不变性给人以极大美的享受。再如将四位数6293从中间截成两段，得到两个两位数62,93,
经过各种不同的变化，这种比值的不变性给人以美的享受，驱使人们提出如下的问题：具有上述这种比值不变性的四位数还有哪些呢？由于在数6293中，有9×2=6×3，由此可列出8个比例等式，从而得知，由上述四个数字可得如下8个这样的数，即2369,2639,3296,3926,6293,6923,9362,9632。
6.恰当性。恰当性也呈现一种数学美。在日常生活中，有些事物表现出数量上的适度，即我们常说的不多不少、正好，往往给人以美的愉悦。事物形式要素之间的搭配匀称合比例是人们在社会实践中逐渐抽象出来的。一本书如果每一页都是密密麻麻的字，上不留天，下不留地，肯定是不美观的。书中的插图也不是随便绘制的，而是要给予妥善的设计，精心的描绘，线条的粗细疏密，点的位置大小，都要恰到好处，才能给人以美感。
下面我们来看一个算题的解法。
例、三根绳共长60米，其中一根比长的一根短10米，比短的一根长10米，求各根绳的长？
解：如果将三根绳中最长的一根截下10米，接到最短的那根绳，这时三根绳正好变成一样长。于是得(60-10+10)÷3=20（米），三根绳长分别为10米、20米、30米。
把长的截下来补到短的，三根绳正好变成同样长，这正是数学美的恰当性的具体呈现。
直角三角形三边的关系满足等式：a[2]+b[2]=c[2]，其中a,b,c分别表示三角形的边长。反过来，如果一个三角形三条边a,b,c满足等式a[2]+b[2]=c[2]，那么这个三角形一定是直角三角形吗？类似这样考虑定理的充分必要条件，正是数学家追求美的恰当性的表现。数学家追求最佳估计、最佳逼近、最优值等都是数学美的恰当性的体现。
7.奇异性。在数学中出现一种新而不平常的关系结构，能在人们的想象中诱发一种乐趣，在人们心灵深处产生出一种愉悦的惊奇，这就是数学美的奇异性。正如培根所指出的那样，任何一个极美的东西都在调和之中包含着某种奇异。数学的发展就象精彩故事一样的波澜壮阔，此起彼伏，扣人心弦，令人陶醉。既在情理之中，又在意料之外，是和谐与奇异的统一体。在数学发展过程中，不断出现统一各部分的新理论，同时又不断出现无法包括在这个理论之中的奇异的对象。这些奇异的对象又反过来促进数学的发展。数学的发展及不断扩展充分说明了这一点。早在古希腊时期，毕达哥拉斯学派以有理数为基础解释整个宇宙，并认为已经达到了和谐与统一。可是当他的同伙希伯索斯发现单位正方形的对角线不能用有理数表示时，他们就大为惊奇，以致达到惊慌失措的程度。为了维护其完整和谐的有理数体系，就把发现这一奇特现象的希伯索斯抛到大海淹死以示处罚。但真理是扑灭不了的，
在数学中，许多奇异对象的出现，一方面打破了旧的统一，另一方面又为在更高层次上建立新的统一奠定基础。
在数学教学过程中，可以在课程进行到某一个阶段时，设计一种能引起学生产生奇异感的情境，从而诱发出学生急待探知的强烈欲望。例如，在讲圆周率之前，让学生每人先准备一些大小不一样的圆柱形茶杯或其它圆柱形实物，让学生先量出圆柱形的圆周长，教师再说出圆柱形的直径等于多少，然后让学生再量直径，这时学生会感到奇异。再如，在给学生讲“年、月、日”时，可先向学生提出如下的问题：
小明今年7岁，他姐姐小华从出生到现在只过了三个生日，试问小华几岁了？
有的学生回答，小华今年3岁了。有的说，这样回答不对，怎么姐姐能比弟弟小呢？这样尖锐的矛盾摆在学生面前，一种奇异感油然而生。如何解决这一矛盾？接着教师讲解“年、月、日”，待讲完之后，答案随之而得，使学生饱尝了奇异之美，从而留下深刻的印象。
二、数学审美在数学教学中的作用
在数学教学过程中，应该让学生理解数学的内在美，通过数学概念的概括，公式的推导，方法的获得，让学生知道数学美表现在那里，如何从数学美的角度来评判解题方法的优劣，怎样在美的启迪下，寻求新的解题方法。这些审美活动的作用主要表现在：
1 有助于激发学生对数学学习的兴趣。兴趣是引导学生走向成功的向导，它能成为学好数学巨大内驱动力。一个人在对数学产生好和乐的情感之后，就会把数学变成头脑中的一个固定思维点，甚至把数学选择为终生相伴的思维对象。这种心理情结建立的愈坚定，调动的能量就愈大，排除外界干扰力就愈强。最后可达到“推而不动，缠而不乱，颠而不倒”，自始至终，按照既定的方向，持之以恒，直攀登到数学科学的光辉顶点。这是许多著名数学家所走过的历程。高斯10岁时，有一次数学老师让全班学生计算：
1+2+3+……+100
等于多少？当别的学生还没有想到如何去算的时候，高斯很快就得出答案为5050。这时的高斯对数学和语言学这两门功课都有兴趣，并且学得很出色。在他19岁那一年，正当他选择职业犹豫在数学与语言之间时，他用代数方法解决了正十七边形尺规作图问题，这极大地给他以数学美的撼动，使他立即决定，终身从事数学研究工作。高斯在解决正十七边形作图的基础上，给出了解决这样一类问题的一般方法。这就是现在所称的著名的高斯定理：
一个正多边形可以用圆规和没有刻度的直尺作图的充分必要条件是，它的边数等于：
2[m]P[,1]P[,2]…P[,n]，
其中P[,1]P[,2]…,P[,n]，是形如Fn=2[k]+1的费马素数，m=0,1,2,……。
正是高斯成功地用代数方法证明了正十七边形作图的可行性，诱发出他的数学创造灵感，从1796年3月30日这一天起，高斯动笔写他那著名的《数学日记》，开始走向伟大数学家的人生道路。
2 有助于培养学生理性思维能力。在数学审美欣赏活动中，作为审美主体的人获得审美愉悦的同时，也加深了对数学理性内容的理解与认识。
例如，为了使学生理解“交换被乘数和乘数的位置，它们的积不变”，可以向学生出示如图1所示的图，提出如下问题：
在右图中，一共有多少个苹果，怎样计算？有几种算法？
画面排列整齐美观，可给人以整齐的美感，引导学生进行如下观察：
横看，每行有4个苹果，共有3行，写成算式为4×3=12；竖看，每列有3个苹果，共有4列，写成算式为3×4=12。
还可以引导学生再观察一个例子，比如，2行，7列排列整齐的苹果，这时有算式
7×2=14,2×7=14。
通过上面两个例子，引导学生观察比较下面两组算式
4×3=12,3×4=12；
7×2=14,2×7=14。
然后提出如下问题：每组算式有什么不同？又有什么相同？最后让学生概括出“被乘数和乘数调换位置后积一样”的结论。这样一来，使学生生动直观地看到同一幅整齐有序的图，由于观察方向变了，列出算式也变了，算式表示的意义变了，但计算结果始终不变。这是数学美的不变性。
将上述两组算式简洁写成如下式子：
4×3=3×4,
7×2=2×7。
这又体现了数学的对称美。
学生在对于上述的整齐美、不变美、对称美的审美愉悦中，理解并掌握了数学乘法交换律这一抽象的法则。这也充分说明了，通过数学审美活动，有助于培养学生的理性思维能力。
3.有助于培养学生创造发明能力。法国数学家阿达玛和庞加莱认为，数学创造发明的关键在于选择数学观念的最佳组合，而这种最佳选择往往就是依靠美的直觉作出的。事实上，任何一个数学工作者在研究过程中都会遇到无数可能的组合，对所有这些组合一一进行研究是办不到的，其中大部分是不值得研究的，只有少部分会出成果，偶尔会出现百年难逢的良机。历史上有些有益的组合曾多次被许多人遇到过，然而只有适逢其人才能被抓住，这里鉴赏力高低是个重要因素。正如存在艺术鉴赏力一样，也存在数学鉴赏力。只有一个具有丰富知识和高度鉴赏力的数学工作者，才能根据其本身的价值，而不是根据当时流行的观念作出判断，从而选择出最佳的组合。数学鉴赏力依赖对于数学美的直觉，依赖于对于数学美的敏感性。因此，数学美的直觉有重要作用。
在数学教学过程中，应创造数学的审美意境，以启迪学生数学美的直觉，以便作出数学规律的再发现，从而培养学生的创造发明能力。例如，通过对下面一组算式
21-12=9,32-23=9,65-56=9,76-67=9
的观察，可引导学生发现它们有如下的共同特点：
1.被减数和减数是数字互相对调的两位数；
2.差数都是9；
3.两位数的两个数字之差都是1。
具有上述规律的两位数，还会立即写出如下的一些算式：
43-34=9,54-45=9,87-78=9,98-89=9。
由这种整齐美的启迪，可提出如下的问题：
如果两位数的两个数字之差不是1，其结果是否一样呢？例如，数字相差为2，有如下算式：
31-13=18=9×2,42-24=18=9×2,
86-68=18=9×2,97-79=18=9×2。
这些结果不但是一样的，而且是9的2倍，这些两位数其数字差与其结果9的倍数的一致性，可得如下猜想：
当两位数的两个数字之差为k时，则两位数之差都可表示成9×k的形式。
这个猜想是正确的吗？我们再验证几个具体数字之差，例如，当k=4,5,7时，有
62-26=36=9×4,
83-38=45=9×5,
92-29=63=9×7。
通过具体的验证，猜想的可信性增强了。但验证并不能代替证明。下面从理论上予以证明之。
事实上，设两位数为10a+b，数字对调以后的两位数字就为10b+a，不妨设k=a-b>0，则
(10a+b)-(10b+a)=10a-a+b-10b
=9a-9b
=9(a-b)=9k。
三、教师的审美修养
马克思说：“如果你想欣赏艺术，你就必须成为一个艺术上有修养的人。”数学教师要在数学教学中指导学生进行审美活动，自己必须成为在美学上有修养的人。从数学教学的需要来看，我们认为数学教师必须具备一定的美学知识和一定的审美体验，主要包括美学理论知识、语言美知识、书法美知识、绘画美知识、姿态美知识、服装美知识及相应审美经验。此外，能有泛读数学史和数学方法论的兴趣，且能涉猎一些创造心理学和科学方法论的知识。
1 具有美学理论知识。数学教师都应系统地学点美学理论。要求了解一般的美学原理，如美学研究的对象，美学与其它学科的关系，美的本质，美的形态，审美意识的本质，审美感受的心理形式，科学美的本质，数学美的含义及其特征。
学习美学理论知识要紧密结合审美实践。好的数学教师应保持良好的“作题胃口”，显然这种“胃口”将有利于感染学生去发展解题的兴趣和才能。对于生活与生产中的一些常用的数学方法有着广泛的接触和了解。通过这些活动，去体验数学中的美，加深对美的理解。数学教师还要会欣赏文学、绘画、书法、音乐，如果能参加一、二项艺术创造活动，有点雅趣，则更好。这不仅可以更好地掌握美学的基本原理，而且有助于数学审美原则的实施。
2 语言美。一位数学教师的语言，如果能做到吐字清晰，音质优美、音强适中，速度恰当，准确、严密、精炼地传递数学信息，就会使人产生悦耳动听的美感。若再辅以形象生动，巧设比喻、风趣诙谐，能以诗歌、口诀、讲故事的形式予以推演和表述，就会妙趣横生，给人留下深刻的印象。
在我国传统的数学中，常常用形象的语言去描述概念，借助生动的比喻去理解题意。例如《孙子算经》有这样一道题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二；问物几何？答曰二十三。”其解法明代数学家程大位用几句优美的诗予以表述。生动形象，易读易记。当代我国有许多优秀的中小学数学教师，发扬了这一优良的传统，在语言的表述上下了不少工夫，取得了理想的教学效果。例如，有的数学教师，把带分数的乘法的计算步骤概括为6个字：“一化、二约、三乘”，并对约、化、乘作了确定的解释。这样把复杂的计算过程浓缩为6个字，使学生感到有趣、上口、好记。
教师与学生讲话也是一种社会交往，语言应符合文明礼貌的要求。对于学生提出或回答问题，如果不能令人满意，应耐心予以引导。应从学生错误的回答中引出正确的结果，从学生朦胧的思想中引发出分明确切的概念，从纷杂的思路中找出一条合理的途径。绝不能用责备训斥苛求的语言，伤害学生的自尊心。常言道：“良言一句三冬暖，恶语伤人六月寒。”教师在课堂上的语言，要亲切自然，亲而不腻，严而不历，使师生之间产生一种相容的心理，形成一个宽松的环境，从而取得最佳的教学效果。
3 板书美。艺术美在提高人们的审美能力方面，具有特殊的价值。它可以净化心理，陶冶性情。它能够征服人心、鼓舞人心，在人们心头燃起为实现理想的生活而斗争的火焰。好的板书，就是一件精美的艺术品。因此每位好的教师，都非常重视板书的设计。板书包括字的书写，图表的绘制。如果教师写的字，犹如行云流水，丰美匀适，雄健有力，工整漂亮；绘制的图表，标准、清晰，错落有致，结构完美，色彩宜人，就能给人以艺术美的感染。字如其人，教师的板书，工整秀雅，这也是教师的优美的示范。同时，以美启智，以美促智，这更有助于促进学生的智力发展。有时一些数学式子书写规整有序，不但可以给人以形式美的感受，而且有助于数学规律的发现。例如，为了探求前几个奇数之和，可书写成如下形式：
1 =1[2]
1+3=2[2]
1+3+5 =3[2]
1+3+5+7=4[2]
1+3+5+7+9 =5[2]
上表第二行是2个奇数之和，其结果为2的平方，第三行是3个奇数之和，其结果为3的平方，第四行是4个奇数之和，其结果为4的平方。行数与奇数的项数是一致的，结果又为行数的平方。这种整齐性，可猜想第几行，其结果必然为几的平方，即
1+3+5+7+…… (2n-1)=n[2]。
4 姿态美。教师向学生传递信息还有一种辅助手段，这就是姿态。这种辅助手段与语言配合进行，可取得相得益彰的教学效果。教师在课堂上的姿态，主要有表情、手势、站立姿态、空间运动的位置等。表情是面部呈现的姿态，是眼神、面部肌肉的动作、嘴的开合的综合表现。教师的眼神应是丰富而灵活，要面对全班学生，要把对数学的酷爱，倾注于数学教学过程之中。当启发学生进行思考时，教师的表情应是凝目静思；当经过各种艰苦的探索，突然获得问题的妙解时，教师面目的表现应是无限的喜悦激动，眉目舒展，神采飞扬。在课堂上，教师的姿势要符合形式美，要匀称、自然、大方。
5 装饰美。装饰主要是指人体装饰，如服饰、发式。在课堂上，教师的装饰要求朴素、端庄、秀雅、大方。教师选择服装的原则，应注意合体、适时、适龄、随业、从俗。具体这里就不作详述了。
总之，教师在数学教学中展示出的美，会加深学生对数学美的感悟和理解，使学生受到美的熏陶，从而使学生受到美的启迪。不仅会提高教学效果，而且对学生的身心都会产生深刻的影响。