浅说2009年高考中的分段函数，本文主要内容关键词为：浅说论文,函数论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
函数是数学中最重要、最基础的概念之一，新一轮数学课程改革在函数方面有所加强，在2009年高考中有突出的表现。本文以2009年高考题为例，就一类特殊的函数——分段函数，进行浅析，以便和同行交流学习。
一、利用函数周期性迭代求值
分段函数的周期性和解析式的迭代求值类题型，本是一类数学潜力展现较强的题型。在2002年前大多是在数学竞赛题中出现，但随着近年高考反复考查，这类题型渐渐地由技能题转变为基能题。这就给现行的中学数学教学中技能与基能、题海战与能力战的相对关系提出了一些无法回避的课题。请看下面的例子。
A.-1B.0C.1D.2
解析 由已知得f(-1)=1，f(0)=0，f(1)=f(0)-f(-1)=-1，f(2)=f(1)-f(0)=-1，f(3)=f(2)-f(1)=0，f(4)=f(3)-f(2)=1，f(5)=f(4)-f(3)=1，f(6)=f(5)-f(4)=0，
即函数f(x)的值以6为周期重复性出现，所以f(2009)=f(5)=1，故选C。
点评 这两例，作为命题者想考查归纳推理，以及函数的周期性和对数的运算，但本质是考查分段函数的周期性。这类与年份挂钩的试题，在平时的训练中学生已知道去寻找函数周期规律。
点评 本例原本是考查对数运算技巧，但潜在的本质还是考查分段函数的周期性。通过周期将未知解析式自变量的求值转化为已知自变量和解析式的求值。
对于这类题型，可以通过复习和练习将技能转化为基能，伴随新课标教材的全面实施，这类高考题型还会不断地延续。
二、分段函数与方程的根
方程的根与函数的零点是一一对应的，在新课标教材中，这是一个基础知识点。2009年高考对该知识点的考查立意不算新，但深度和难度不浅，有点遗憾的是对“二分法”思想没有涉及，主要是利用数形结合来探根这一主流形式。
点评 本题主要考查分段函数对应方程的求解，属于双基考查。对于这类问题，多是根据自变量取值范围分段来解方程，能力稍强的考生可先根据分段函数的值域和定义域来判断有解和无解。
图1
点评 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性，以及数形结合的思想。对于这类问题，本身来说有一定的难度。
图2
点评 本例应该说是一道极有区分度的试题，无论是难度和深度都达到竞赛题的要求。
三、分段函数图象
高考对函数图象主要考查复合函数单调性、图象与解析式准确对应，以及图象的连续性的理解和掌握。
图3
图4
点评 本例虽然形式不是分段函数图象类问题，但其解法确需按分段来解决。应该说属于选修和必修相结合类基础题。区分度功能不大，但其潜在活力不低。
图5
点评 本题考查函数的连续性定义，以及分段函数在分段点处连续的性质。这样的题型随新课标教材在这方面的淡化，出现的频率比较低。
四、分段函数与不等式
随着新课标教材的全面实施，以及选学内容“不等式选讲”作为高考考试范围，分段函数与不等式的关系这类题基本上已作为平时训练的必练内容。作为新课标实验区的试题，2009年高考基本上都不同程度地进行考查，只是试题难度、信度、潜力和活力各有千秋。
点评 本小题考查分段函数的单调性问题的运用，以及一元二次不等式的求解。下面是天津文科的对应题。
点评 这类绝对值不等式看似与函数关系不是太密切，但是一脱除绝对值符号就变成分段函数与不等式的关系。本例是采用代数法来解的，亦可采用图象法来解。绝对值不等式虽是选修内容，一旦列入考试内容，作为一线教学者就必然将其纳入必学内容来应对。这种出题形式从2008年广东卷出现后，已作为一种形式出现在各类训练题中。是否还有后继趋势？下例就是最好的回应。
点评 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。尤其是含参数函数的极值、含参数不等式的解法等，使解答题得分率降低了不少，但其突显了新的命题趋势。
另外，函数的应用类题，近些年在高考中出现的频率较高，其中分段函数应用也是一个常规题型，如浙江、上海就考了分段函数应用题，限于篇幅，此不赘述。