加强数学阅读能力，提高数学课堂效率——“函数的概念”公开课教学设计的说明及反思，本文主要内容关键词为：数学论文,教学设计论文,函数论文,公开课论文,课堂论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学被誉为“人类思维的体操”，对培养人的分析问题能力、提高人的思维品质有极高的教育价值，是学生必须具备的重要素质之一.要想读懂“自然界这本用数学语言写成的伟大的书”，没有良好的数学阅读能力是不行的.数学阅读帮助学生形成自主学习、独立学习的良好学习习惯，从而提高数学课堂教学的质量，有助于学生养成“终生教育，终身学习”这种现代教育思想.基于这样一个理念，笔者开设了一节“函数的概念”公开课.
一、教材内容、学情分析
函数的概念是高中数学的核心概念，是高中数学的基础；在初中学习的基础上，高中阶段将函数概念提升为集合与集合间元素的对应关系；概念的深入学习对发展学生的抽象思维能力，学会用科学方法研究解决问题起至关重要的推动作用.本节课学习的主要目的是理解函数的概念，熟悉函数表达的解析法、列表法和图象法，懂得函数的抽象记号以及函数定义域和值域的集合表示，掌握求函数定义域的基本方法，笔者所执教的是一个理科成绩突出的班级，学生基础较好，接受能力强，有一定自主学习能力.
二、实施流程及设计说明
1.情景设置
师问：是否知道出租车如何计费？
学生感觉很熟悉，七嘴八舌议论，同时PPT上显示：上海出租车价格规定：起步价14元，可行3公里；3千米以后按每千米2.4元计价，可再行7千米；以后每千米按3.6元计价.
说明：课本引入有两个例子：出租车计费和喷泉中水珠高度，仅选择出租车计费问题作为引入情境，一方面由于时间安排，另一方面它较为贴近生活，比较容易引起学生共鸣；再者，喷泉问题可以放在函数关系式建立一节中出现.当然，在学生讨论的过程也提到实际出租车计费还要考虑到等候时间，这是需要一个假定：设每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.
2.引导学生观察
教师：（1）1.9公里，2.7公里，5.0公里，20公里的路程确定车费为多少？
（2）任何一个路程S千米都有计费吗？
（3）任何一个路程S千米都可以确定（唯一）一个路费m元吗？
学生参与度高，很快回答问题（1），（2），（3）.
板书：1.9km→14元，2.7km→14元，5.0km→18.8元，20km→66.8元，Skm→m元
教师：（3）若数学的眼光看待这个问题，将所有的单位擦掉，实际这个S，m是什么？
学生：S，m是变量，是数量，
教师：（4）这个S可以取-3吗，这个m可以取13吗？
学生：不可以，这两个量在某个范围内变化.
教师：（5）联系学习的第一章，这两个量是在两个（生：数集）内变化.
教师：生活中像这样一种数量与数量之间的一种变化关系很普遍，数学上称为函数关系，我们来看函数的概念如何定义.（翻开课本第53页）
说明：本节课是函数章节的开篇，函数概念本质的理解显然是重点，教材对函数概念设计为从一组实际问题情境中，提炼实际情境的共同属性，最后得到函数的概念.
在实际教学设计中，如果让学生自己从具体引例中提炼出函数的精确定义是很困难的，笔者尝试通过实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应，直接对照课本中的定义，理论联系实际可能更符合这些刚刚步入高中学习的学生的认知特点.
3.阅读课本概念并深入分析
在某个变化过程中有两个变量.x，y，如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作y=f（x），x∈D，x叫作自变量，和x的值相对应的y的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域.
教师：阅读完课本概念，你能否用最简单的话告诉我函数是什么？
学生：是数与数之间的对应关系.
教师：这是一种对应关系，是什么的对应关系？
学生：是变量与变量，数集与数集的对应关系.
教师：再具体来研究是什么样的对应关系？
学生：x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的实数值与它对应.
教师：在出租车这个问题中，S，m这两个变量，可以构成什么函数？为什么？
学生：m是S的函数，因为定义中任意一个S，都有唯一一个m与之对应，但S不是m的函数，因为对于m不是唯一对应S.
教师再次强调函数的定义，唯一对应.
教师：你能否举出一个函数的例子，生活中还有那些量可以构成函数.
学生1：一次函数，二次函数，反比例函数.
教师：这些是我们初中学习过的函数，我们再用刚刚学过的函数的定义检验一遍.
（初中学习的“变量说”函数概念已“深入人心”，引导学生重新审视这三类熟悉的函数是否是真正的函数.）
学生2：个人所得税.
教师：两个变量是什么，按照我们函数的定义说.
学生2：对于任意一个收入，按照某个对应法则，都有唯一一个个人所得税与之对应.
说明：学生举例十分踊跃，在这个过程中要联系初中所学函数，加深对函数概念的理解以及与初中知识联系，是符合学生最近发展区的；同时，在学生每举一个具体例子的同时，让他用函数的概念描述一遍，概念得以深化.
教师：我们在每个函数关系中关注定义域、对应法则、值域，并将它们称为函数的三要素.
4.即时训练，巩固新知
例1 判断下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
学生：A、B、D、E不是同一个函数，C、F是同一个函数.
说明：每个问题一个学生回答，对照三要素说明原因，并在最后一个问题中说明了分段函数.
教师：那么在判断每对函数是否相同时，是否需要一一验证定义域、对应法则、值域？
学生1：不是，只需要检查定义域和值域.
学生2：不对，例如y=x，y=2x两个函数的定义域值域都是R，他们不是相同的函数.
应该只要考虑定义域和对应法则.
教师：很好，函数值是由自变量的值以及对应法则确定的，所以我们只要检验定义域和对应法则即可.
教师：这里我们将不能用单个表达式表示的函数用分段的解析式来表示，称为分段函数，写出出租车中的S，m函数关系式.
教师：如果我们希望更清楚了解这个变化过程，还可以做出这个函数的图象.通常我们可以用解析式、图象、表格来表示函数.请同学做出这个函数的图象.
学生板书：略.
教师：这个函数的定义域、值域是什么？
学生：定义域为[0，+∞），值域为[14，+∞）.
例2 判断下列图象（如图1），哪些是函数图象？哪些不是函数图象？并分析函数图象的特征.
学生很快回答了那些图是函数的图象，那些不是.
教师：如果一个图象可以作为函数的图象，它从图象上有什么检验方法呢？（并强调概念中一个x对应唯一一个y）
学生：函数图象的特征是一条与x轴垂直的直线与函数图象或者只有一个交点，或者没有交点.
教师：为什么会没有交点？（对照第二行第一个图）
学生：因为x的值不在定义域中.
说明：刚开始总结时有一些困难，但随着教师的“比划”很快明白了一个x即一条垂直于x轴的直线，后面总结得很好，而且图形的适当选择让课堂又达到了一个高潮.
教师：还有一些函数的变量之间的对应关系不适合或者难以用解析式、图形刻画，则可以通过表格来表示.（翻开课本第55页）
教师：用解析法、图象法和列表法表示函数时，各自优点是什么？
学生：解析法简洁清晰，图象直观.上述表示法不方便就用表格.
教师：表格适用变量之间对应关系难以用解析式刻画，而且定义域为有限集，取值不连续的.
教师：当函数选择用合适的方式表示后，我们再来关注定义域.函数关系中定义域问题一般应考虑两大类型：实际背景和使解析式有意义，我们今天主要关注后者.自己阅读课本53页例题一.
教师：看完例1有什么收获？
学生：我们求函数定义域时一般要注意
教师：很好，今后我们还会学习很多的新的函数，它们对定义域也有一些新的要求，目前我们求函数的定义域实际是对前面学习的第二章的应用.我们还学会例题的书写格式，最后都是用集合来表示所求定义域.
说明：针对学生的情况，在这道例题的处理上笔者没有选择细致讲解每一道例题，而是让学生自主学习，课堂上真正把时间和机会留给学生，教师会发现数学课真的可以换一种教法.
三、加强数学阅读，提高学生自学能力
许多教师和学生认为，去思考和研读概念太浪费时间也无效果，往往采取“简单粗暴”的形式，给出概念后就开始进行模仿训练，穷尽题型或者以题海战术将数学教学异化为“解题教学”，大量的训练看似提高了学生应对问题的“能力”，久而久之，学生和教师都对课本概念、例题不感兴趣，宁可再花时间和精力去寻找“补充内容”，形成数学学习的快餐.长此以往，数学学习变成了一种负担，成绩的好坏取决于学生所见“题型”的多寡，学生往往缺乏阅读数学课本和其他数学资料的能力和习惯，似乎研究课本教材和其他资料仅仅是教师的事情，自己只要听懂就满足了，学习的过程不仅磨灭了学生的学习热情，也阻碍了他们的进一步发展，学生对知识只知其然，不知其所以然，只会照葫芦画瓢，缺乏应变能力，一遇到新的背景，就束手无策；同时，教材这种宝贵的资源也没有开发，束之高阁.当前，高中数学教学承担着承上启下的重大作用，授人以鱼不如授人以渔，教会学生学习一个重点就是教会学生阅读课本，阅读例题，收获课本中的信息，在教学中渗透数学阅读刻不容缓.数学阅读的本身和实质，是要求学生能自己对概念、定理、公式的理解和运用，这就要学会分析表达，领会数学阅读中，文字语言和符号语言与图形语言的相互转换，形成数、形、意三结合的思维模式.
本节课的重点就是函数概念的理解，仅仅通过创设“出租车问题”情境引入函数概念是不够的，学生只是感性的认识，此时他们没有真正从数学的角度认识函数.有研究表明，人的能力发展具有年龄特征，中学阶段以抽象逻辑思维占主导地位，初中阶段主要是以经验型为主的抽象逻辑思维，而高中阶段主要是以理论型为主的抽象逻辑思维，这些结论需要教师在进行教学设计时引起注意，这对于培养学生的理性精神是十分必要的.既不要低估学生的能力，也不必过高地估计，正确把握学生能力的“最近发展区”来设计教学是教师的基本功之一.在教学实践中，笔者首先尝试引导学生感受函数定义的文字语言，要求学生用自己的语言表示函数，起初有些学生不太明确要说什么，故改为“谁阅读概念后能用最简洁的语句来表示函数”，学生马上回答积极，要引导学生用数学的眼光去分析对象的数学本质：函数是两个数集的对应.通过这样一种引导，学生主动学习概念表述，即使离真正理解概念还有一段距离，但高中函数概念的定义已经和他们又走近了一步.
当然，对刚刚开始高中学习的学生来说，理解概念存在一定的困难，如果说学生记下概念的文字表述也许并无太大困难的话，要学生理解概念就非易事了，特别是对“每一个”“都”“有”“唯一”等关键词的理解是困难的，更是需要过程的，笔者让学生举函数的例子，但不仅仅于此，而是每一个例子都对照定义“检查”一遍，叙述一遍，联系实际找出例子进行概念巩固，通过数学概念的阅读引导学生正确理解概念中的字、词的精确程度，感受数学语言的简洁美.课堂中提倡数学阅读的同时要注意并不是仅仅要求学生读概念，而是教师要引导学生阅读，帮助学生读懂概念，刚开始可能教师参与很多，但随着阅读习惯的养成，最后的课堂主角一定是学生，也符合“把时间还给学生，把机会让给学生”这种新的课堂意识.
对课本例题加以引导的阅读，可能比教师单纯讲解或者大量补充更好，虽然授课班级是市重点学校的理科实验班，但在备课过程中在平行班试讲也用了此种方式处理，效果不错，都能很好地总结求解函数定义域的常规要点，并能对课本上没有涉及的指数为0的底数要求不为0加以补充，让学生拥有课堂阅读例题的机会并学会珍惜，当然例题的阅读应不仅限于此，对于例题中所涉及的知识点以及基本运算应当加以强调.例如，例题中求函数
的定义较为复杂，应引导学生仔细推敲其中每一个细节，才能将例题用到极致.阅读例题，不仅要学习总结解题规律，还要学习规范的书写方式，以养成良好的数学书写习惯.
现代教育提倡从学会到会学，就是要培养学生的自学能力，创新心理学的研究也表明，自学能力对于人的未来具有头等重要的意义，是各种能力中最重要的能力，而阅读是自学的重要渠道，自学能力的核心是阅读能力.因此，要想使数学素质教育目标得到落实，使学生最终能独立自主地学习，就必须要重视数学阅读能力的培养，加强数学阅读教育研究，探索数学阅读教学的特点及教育功能，认识数学阅读能力培养的重要性，就显得尤为重要.
四、回归课本，创造性地使用教材
教学要用教材教而不是教教材，教材是众多专家智慧的结晶，是在实践中不断完善和发展的，要深刻理解教材、尊重教材，本节课的授课材料，从例题到反馈练习基本取自教材，课本中例题习题通常都是精要的基础题，既是透过知识解题的示范，也是思维训练的经典.正是这些典范的作用，学生才初步学会了怎样进行数学思维，怎样运用数学知识进行思考、解题，如何表达自己的解题过程.但在具体的课堂教学实践中并不需要照搬教材，而应立足于教材，同时给学生提供积极有效的教学思维活动的机会，精心设置问题情境，激发学生学习兴趣；理解数学与现实生活的联系；通过师生互动、生生互动，让学生在民主和谐的课堂氛围中，感受数学的抽象性和简洁美.