“千算万算”离不开“计算”——由中考题中的“计算”说起，本文主要内容关键词为：中考题论文,千算万算论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学离不开运算.《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出：“在数学课程中，应当注重发展学生的运算能力”，这说明运算在数学学习中的重要性.
数学中的运算，最常见的就是关于数或表示数的字母间的加减乘除乘方开方的基本运算，一般称之为计算.计算不仅要按相关的计算法则进行，还要遵循一定的运算顺序和运算律.也就是说，计算要讲究算理.所谓运算能力当然包括计算能力.计算法则的运用、计算结果的正确和计算过程的快捷，都体现在计算能力当中.
在数学学习中，计算无处不在.所以，计算能力的高低，能影响数学学习的效率.2013年南京市数学中考试卷（以下简称“南京卷”）师生普遍反映比较难，其中一个主要原因就是试题中的计算比往年多，而且有些计算也比较繁杂.正是如此，一些考生就容易因计算而心生厌烦，以致影响正确解题.然而，这恰从另一个侧面反映出，培养和提高学生的计算能力，应当成为义务教育阶段的重要任务之一.
如何看待“南京卷”中的计算？这些计算的设计有无需要改进的地方？笔者想通过几个例子谈谈个人的看法，以求教于专家和同仁.
一、开篇就来的计算
“南京卷”与往年的做法不同，开篇第1题就是有理数的四则混合计算，题型是选择题.
例1 （2013年江苏南京中考第1题）计算12-7×（-4）+8÷（-2）的结果是（）.
A.24
B.-20
C.6
D.36
此题很平常，看似也不难，设计这样的计算也能考核学生基本的计算技能.但是，笔者觉得，开篇就是四则计算，容易让考生感到紧张.因为这道题需要进行四步计算，如果在平时，学生可能心算就得出结果，但在考试时，特别是像中考这样的重要考试，学生更容易紧张，就不敢心算，害怕算错.越是怕错，就越容易错，所以，开篇就是四则计算，学生会感觉到难.
中考的主要功能是选拔，它需要整份试卷有一定的难度，但同时也兼顾到合格评价，就需要给学生更多机会.从这个角度看，出卷者即使想提高整份试卷的难度，也不宜在首题上为难学生.如果考生开始遇到的题是简单题，并且顺利地做出，那么紧张的心理就能得到舒缓.这对安抚考生的考试情绪非常有用.所以，很多地方中考数学试卷的首题多会安排一道“容易题”，直接送分.什么是“容易题”？一看就写、一步到位、不用在草稿纸上演算，这样的题大致就归为“容易题”.比如：
例2 （2013年江苏连云港中考第1题）下列各数中为正数的是（）.
A.3
B.
C.-
D.0
例3 （2013年江苏扬州中考第1题）-2的倒数是（）.
A.
B.
C.-2
D.2
例4 （2013年江苏泰州中考第1题）-4的绝对值是（）.
A.4
B.
C.-4
D.±4
例5 （2013年江苏常州中考第1题）在下列实数中，无理数是（）.
A.2
B.3.14
C.
D.
例6 （2013年江苏淮安中考第1题）在-1、0、-2、1四个数中，最小的是（）.
A.-1
B.0
C.-2
D.1
这些题都属“容易题”，它们不用多步计算，看到就想到，想到就写到.显然，“南京卷”的开篇第1题不属“容易题”.它涉及加减乘除四种运算，而且还涉及运算顺序，涉及正负号的运算法则，这些都是学生的易错点.开考铃声响后，考生正紧张着，上来就遇到这样的题，容易加剧紧张.而且，“南京卷”接下来的另5道选择题，也不都是“看到就写”的“容易题”，学生的紧张程度很难期望在“下一题”中得到缓解.直到第7题，填空题开始，学生才遇到“看到就写”的题.即“-3的相反数是________；-3的倒数是________.”笔者觉得，如果这样的题放在开篇，对学生紧张的考试心理会有缓解作用.缓解学生的紧张心理，有助于提高解题的速度和正确率.
其实，中考期间，南京很多教师第一眼看到四则混合计算题，也在心里感叹，认为“南京卷”起点蛮高.从教学的角度看，“南京卷”开篇就是四则混合计算，说明南京有意对学生的“运算能力”提出明确要求.这让很多教师相信，“南京卷”在释放一个信号：在数学教学中，培养和提高学生的“运算能力”绝不可轻视.
二、堪比奥数的计算
“南京卷”第16题是一道填空题，题目如下：
例7 （2013年江苏南京中考第16题）
算式很长，数据很多.显然，这不是有理数运算的常规题，更不是课堂上的常见题，此题堪比奥数.笔者尝试解了一下，这道题的计算方法大致有以下几种.
解法1：死算.先计算括号内的值，得到4个结果，然后再按运算顺序继续计算.这可能是大多数考生的选择.
中考后，笔者把这道题拿给两位初二学生做，只见他们想也不想拿出草稿纸就死算.死算能算对也行啊，但遗憾的是，两位学生都没能算对.这两位学生在提高班，数学能力属中等以上.笔者提示他们认真看题，看能不能巧算.他俩理也不理，继续不辞辛苦地死算.笔者不得不叫停，经提示，这两位学生用解法3很快就算出正确结果.他们惊叹：还是解法3简单.笔者问他俩，为什么一开始就没想到去巧算呢？学生回答干脆：“死算踏实啊.因为不是所有题都这么幸运，一巧算就能巧算出来的.要是无法巧算呢，不还是要回到死算嘛.再说巧算也要去想怎么‘巧’呀，不如死算省事.”学生说得不无道理.死算是经典，巧算是特例.因为不是所有计算都设计得这么“巧”的.在考场上，时间紧迫，平时没有“巧”过的学生轻易是不敢去“巧”的，所以，多数考生就选择死算了.谁知死算很烦人.越烦就越急，越急就越容易错，大家就只有埋怨题目出得难了.
笔者认可学生的说法.在不确定巧算就能得到正确结果的情况下，一般是不敢用巧算的.平时可以试，考试时就不能试.但从另一方面也反映出，平常教学中，可以巧算的计算题遇到得实在太少太少.就是偶尔遇到过，运用换元法，那也形成不了解题“反应”，难以做到一旦需要就能立即运用.除非从小就在奥数班“泡”过来的学生，见得多，做得也多，对这样的计算就可能得心应手.
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“培养运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力.培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题.”由此可以说，用解法1死算，并且能算对，应该是运算能力的最基本的要求；而解法2，则是运算能力的一种提升，是培养运算能力要达到的主要目标；解法3呢，那就是培养运算能力的更高要求了.
其实，解法2与解法3的想法差不多，但计算的境界不同，一个是用运算律简化计算，一个是用“换元”思想简化计算，由此而体现出了运算能力的层次不同.
当然，笔者并不完全明白这道题想要考核学生什么，要达到什么目的.因为这道题是填空题，不需要写出计算过程，无论考生用什么方法，计算结果正确都得2分，不会因为谁采取的是死算，就扣谁1分，也不会因为谁采用了“换元”法计算，就多加谁1分.计算方法的选择就没有“贵贱”之分了.不过，笔者相信，这道题的不同计算方法对今后的计算教学将会产生一定的影响.从这点上看，“南京卷”在计算能力的要求上动足了心思.
三、应用问题中的计算
“南京卷”第23题是一道应用题.过去的应用题大多是用方程、不等式、函数等数学模型直接去解决问题.而今年的南京中考第23题却把解决问题的关键放在反反复复的计算上.
例8 （2013年江苏南京中考第23题）某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在商场内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额.
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠.例如，若购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×（1-80%）+30=110（元）.
（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少元？
（2）如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，那么该商品的标价至少为多少元？
分析：第（1）问的计算比较简单，在这里就不说了.关键是第（2）问的计算，真是苦了考生.
解：设该商品的标价为x元，其中x≤800.接下来就要对“优惠额”进行计算.下面提供两种方法计算.
①从消费金额考虑：
当300 ＜80%x≤400，那么375＜x≤500，此时优惠额不超过500×（1-80%）+30=130＜226，不合题意；
当400＜80%x≤500，那么500＜x≤625，此时优惠额不超过625×（1-80%）+60=185＜226，不合题意；
当500＜80%x≤600，那么625＜x≤750，此时优惠额不超过750×（1-80%）+100=250＞226，显然，符合条件的最低标价x应该在625＜x≤750中.
解不等式（1-80%）x+100≥226，得x≥630.
由于标价越高，优惠额越高，所以，该商品满足条件的标价至少为630元.
②从返还金额考虑：
先列式子（1-80%）x+m≥226，其中m为返还金额，单位为元.变形得（1-80%）x≥226-m.
由于x≤800，那么消费金额最多是800×80%=640，所以，返还金额最多是130元.
当m=30时，由（1-80%）x≥226-30得x≥980＞800，不合题意，舍去；
当m=60时，由（1-80%）x≥226-60得x≥830＞800，不合题意，舍去；
当m=100时，由（1-800%0）x≥226-100得x≥630，此时取最低标价630元，消费金额为80%x=503，恰符合领取返还金额100元的条件，所以该商品满足条件的标价至少为630元.
说实话，在考场上能有这么清楚的头脑一笔一笔地计算，并能从中找到符合条件的最低标价，这样的学生是优秀的.这不完全关乎运算能力的高低.所以，笔者觉得这道应用题出得很有水准.它不仅在考核学生会用数学模型解决实际问题的能力和计算能力，更在考核学生的计算耐性和在困难面前永不低头的意志品质.要知道，解这道题的关键并不是数学模型的运用，而是计算，计算，再计算.就是说，解决这个问题，需要考生通过反反复复的计算，判断，直至找到符合条件的返还金额，这才是题目的高度难点.找到符合条件的返还金额，再利用不等式（或方程）进行计算，反而变得容易了.
笔者把这样的计算称做“繁杂”.像这样“繁杂”的计算还出现在“南京卷”第24题中.题目给出了小丽驾车从甲地到乙地的速度y（km/h）与时间x（min）的多段函数图象（如图1）.该题有3个小题，其中第（3）小题是要计算小丽驾车从甲地到乙地共耗多少升油（汽车每行驶100km耗油10L）.
笔者觉得，比起前面的应用题，这道题设计得没有太大的实际意义.需要这么去算耗油量吗？当然，这一点也不妨碍它成为数学中考的一道考题.很多的中考数学出题人在一次函数问题上都喜欢出折线图.折线图出多了，就在折线的条数上“创新”.“南京卷”这道题大概创出了近年来南京中考题中折线条数之最.正是如此，这道题后面的“繁杂”计算的设计才有了素材.笔者在想，出题人是不是认为，折线条数多了，题目就有深度了？其实未必.这道题就是个例子.它既没有从折线中考出函数的味来，又在计算的设计上少了一些计算的智慧.
从图象上可以看出，由于不同时间段内，小丽驾车的速度并不完全相同，所以需要分段计算.思路如下：首先计算每个匀加速段的平均速度，其次是把时间的单位由“min”转化为“h”，再计算出各段平均速度下所行驶的路程，继而求出总路程，最后计算出共耗多少升油.
列出的算式和计算结果如下：
算式的长度可以和前面提到过的第16题相媲美，但它远不如第16题有智慧.第16题还给不同的学生采用不同的计算方法提供一个平台，而这道题，只有死算.它就是基于小学算术水平下的一个不断重复的计算.题目本身没有难度，而且题目还提供了计算平均速度和路程的方法，学生只要照着去做就可以了.但列出的算式却让学生容易出现计算遗漏或容易犯计算迷糊，算错的学生也就不在少数，尤其是一遍就算对的考生不多.那么，这样的题目究竟要考学生什么？仅仅就是为了考学生简单的计算技能？这样的题计算出错了，是不是就能说明考生的计算能力有问题？
这让笔者想起计算器.《义务教育数学课程标准（2011年版）》在第四部分实施建议中提出：“在学生理解并能正确应用公式、法则进行计算的基础上，鼓励学生用计算器完成较为繁杂的计算.课堂教学、课外作业、实践活动中，应当根据课程内容的要求，允许学生使用计算器，还应当鼓励学生用计算器进行探索规律等活动.”那么，“南京卷”中的这些繁杂的计算为什么不可以交由计算器来完成？随着电子产品的普及，计算器被用于学习已成常态，而且，事实上学生平时遇到的大量的繁杂的数学计算，几乎都是交由计算器完成.可是，考试中却不让学生使用计算器，算错了，能说明是学生的计算能力有问题吗？笔者觉得，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中允许学生使用计算器完成作业和探索活动而各地又不允许把计算器带入考场的矛盾情况下，考题中还是避免出现繁杂的计算为好.
“南京卷”中除了前面列举出的计算外，还有一些计算也不容易.比如，第22题中含字母的三角函数公式变形的计算，第25题第（2）问中相似三角形对应边成比例的二次根式的计算，也让考生感觉到难.笔者认为考题中不可能没有计算，但所有计算应当是那些能根据算理找到合理简洁的途径而获得计算结果的计算；而靠死算，靠大量重复的、单一的或繁杂的计算获得结果的计算应该减少.所以，在各级各类的数学考试中，出卷入最好不要用繁杂的计算来提高整份试卷的难度.
当然，2013年南京数学中考试卷中的计算，可以看成是对《义务教育数学课程标准（2011年版）》中新增核心词“运算能力”的回应.加大加难试题中的计算也是为引起一线教师的注意，即在今后的数学教学中，不能忽视对学生的计算能力的培养和提高.笔者只是希望，在对计算能力提出要求的同时，也要看到计算器在数学教学中被广泛使用而考场上不能使用的现实，要注意控制好试题中计算的繁杂程度.