HPM教学模式的案例研究--余弦定理第一课_数学论文

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      一、教材与学情分析

      三角学是在三角形测量的基础上发展起来的一门独立数学分支，最初就是寻求三角形中边与角的关系来解决三角问题，而正弦、余弦定理建立了三角形中边与角的联系.所以，依此意义而言，它们是建立三角学的基础.“解三角形”一章是苏教版《数学5》（必修）第一章；从本章开始，学生首次系统学习解斜三角形知识.本节课是余弦定理的第一节课，主要是发现、证明余弦定理及其简单应用.

      学生已有数学知识：勾股定理、正弦定理、三角函数知识、平面向量的基本知识和平面解析几何初步知识，并且学生还具有一定的直觉、归纳、概括及运算求解和演绎证明的能力.

      在余弦定理学习过程中，笔者认为学生认知的主要困难有以下三个方面：一是学生虽能从直角、钝角和锐角的不同情形中直观感知边长受角度的影响，但还不能从数量关系上准确刻画余弦定理的内容；二是学生虽有一定的学习基础和学习兴趣，但由于学生总体上的探究能力不够强，知识的系统性还不够完善，加之学生的运算能力一般，使得学生在余弦定理证法的探求上仍有一定困难；三是如何用准确的文字语言描述余弦定理的数学符号语言，以及余弦定理的适用范围，这些问题都是学生自身难以认识全面的.

      二、教学目标与重点、难点

      教学目标：（1）让学生经历用勾股定理发现、猜想、推导余弦定理的过程，激发他们学习数学的兴趣，享受数学发现的喜悦.

      （2）让学生发现向量方法与解三角形间的联系，通过逻辑演绎法简化余弦定理的证明.

      （3）通过对公式结构特征的分析，引导学生体验数学的内在美和形式美，并能用方程的观点理解余弦定理的应用范围，初步应用余弦定理解决三角形的度量问题.

      （4）感悟“类比”“联想”“特殊一般”“转化”“数形结合”等思想方法.

      教学重点：余弦定理的发现过程及定理的应用.

      教学难点：余弦定理的发现及证明的思路方法.

      三、设计理念

      本节课笔者的教学设计在注重历史对数学教学指导作用的同时，还注重强化逻辑演绎法教学，充分发挥HPM教学模式的宽广的潜力，使学生能形成数学是动态的、发展的和文化的科学印象，让我们的课堂彰显数学的文化魅力.

      四、教学过程实录

      1.问题情境

      教师：前两节课我们学习了正弦定理，请同学们回忆一下正弦定理的表达式及主要功能.

      学生1：

，即三角形的各边和它所对角的正弦之比相等.

      学生2：正弦定理的主要功能：

      ①已知两角与任一边，求其他两边和一角；

      ②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求其他的边和角.

      教师：在实际生活中，我们还经常遇到这样的问题（PPT展示苏教版《数学5》（必修）第14页例2）：

      A、B两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C，测得CA=182m，CB=126m，∠ACB=63°，求A、B两地之间的距离.

      数学化后，这是什么样的数学问题？

      学生：在∠ABC中，已知CA=182m，CB=126m，∠ACB=63°，求边AB的长.

      教师：一般化后，是什么样的问题？

      学生：在三角形中已知两边及其夹角，求三角形的第三边.

      2.师生活动

      教师：在我们所学过的知识中，有没有涉及已知三角形的两边及夹角，求第三边的情形呢？

      学生：勾股定理.

      教师：能否举一个具体例子？

      学生：在∠ABC中，已知a、b，∠C=90°，求边c.

      教师：在∠ABC中，如果边a、b不变，∠C变小或变大，那么公式

还成立吗？

      学生：不成立.

      （展示PPT动画：两直角边a、b不变，让∠C变小或变大后，提出问题.）

      

      3.意义建构

      定理的猜想：

      

      学生：余弦函数值.

      

      教师：再看当∠C=90°时，该表达式是否成立呢？

      

      如何证明这个猜想？从边的二次式，能想到什么？

      学生：勾股定理.

      教师：能直接用勾股定理吗？

      学生：不能！因为∠C不一定是直角.

      教师：很好！刚才我们已经看到∠C可能是直角、锐角和钝角.因此我们要对∠C进行分类，分直角、锐角和钝角三种情形.直角时成立，不是直角时怎么办呢？

      学生：构造直角三角形.

      教师：从表达式

的结构上看，应构造怎样的直角三角形？

      学生：构造以c为斜边的直角三角形.

      教师：怎样构造以c为斜边的直角三角形呢？

      学生：可以过点A或B作对边的垂线，譬如过点B作对边的垂线，垂足为D.

      教师：垂足D落在边AC上的什么位置呢？（此处，留足够的时间让学生讨论）

      学生：垂足D可以落在边AC上，或边AC的延长线上，所在位置取决于∠A和∠C的大小.

      师：很好，此处我们仅以∠A为锐角进行论证，其他情形，请同学们课后探究.

      

      教师：能否用文字语言叙述上述表达式？

      

      教师追问：你能把上述符号语言表达式“翻译”成文字语言吗？

      学生：在三角形中，一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

      教师进一步追问：在△ABC中，如果已知b、c、∠A，求a，或已知c、a、∠B，求b呢？

      

      教师：能否用文字语言概述上面三个表达式？

      学生：三角形中，任一边的平方，等于其他两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.

      教师：这就是我们今天学习的余弦定理，并板书课题：余弦定理.

      教师：仔细观察余弦定理中的三个公式，看看它们有什么结构特征？怎样才能既迅速又准确地记忆？

      （学生讨论后）教师总结：表达式的左边都是一边的二次式，右边都类似于另两边差的完全平方展开式，与完全平方展开式的不同之处在于，乘积项多了一个角的余弦，这个角刚好与表达式左边的边相对应，是左边的边所对的角.

      教师：三个表达式之间有无对应关系呢？（学生相互讨论并回答）

      

      教师：同学们总结得很好，将表达式中的边a、b、c，依次替换为b、c、a，角A替换为角B，可以从第一个表达式得到第二个表达式.同样的方法可以得到第三个表达式.从这种具有轮换特征的表达式中我们可以体会到数学公式的内在美和形式美.

      教师：以上证明，比较冗长，有无更简单的方法证明余弦定理？从“两边及其夹角的余弦的积”，你联想到什么？（停顿片刻）对，b、c的数量积b·c.那么a、b、c之间有什么关系呢？

      

      教师：表达式如何变形才会出现b·c和

呢？

      

      教师：从方程观点看，余弦定理的每个表达式各涉及几个量？它能解决哪些问题？遇到具体问题时，又该如何选择和使用？

      （学生相互讨论并回答）

      教师：（1）余弦定理的直接应用：已知两边和夹角，求第三边，进而求其他的角.

      

      （3）已知两边和其中一边的对角，通过解二次方程求第三边.此种情形还可用什么方法解决？

      学生：正弦定理.

      教师：对！从以上讨论我们得知用余弦定理可以解决三类问题.

      4.数学运用

      例1 学生进行练习，教师巡视并选择学生的作业进行投影.

      （1）在△ABC中，已知b=3，c=1，A=60°，求边长a.

      （2）在△ABC中，已知a=4，b=5，c=6，求角A.

      （3）在△ABC中，已知b=

c=1，B=60°，求a.

      变式：在△ABC中，已知a=4，b=5，c=6，判定△ABC的形状.

      教师：问题一般化后是什么样的问题？

      学生讨论后得出：已知三角形三边长为a、b、c，判断△ABC的形状.

      例2 （苏教版《数学5》（必修）第14页例2）见上文.

      教师：题目中要求精确到1m，那么在计算AB长时，中间计算过程要保留到小数点后第几位？由于用余弦定理，首先计算的是

，那么中间计算过程要保留到小数点后第几位？

      （学生讨论后）教师总结：计算

时，中间计算过程要保留到小数点后第2位.

      课堂练习：在△ABC中，（1）已知A=60°，求a.（2）已知a=7，b=5，c=3，求A.

      5.回顾反思

      学生讨论，教师总结.本节课学习了一个（余弦）定理、（余弦定理的）两种形式和（余弦定理的）三种用法.

      课后思考：

      （1）请完善用勾股定理证明余弦定理的过程.

      （2）三角形的一边亦表示两点间的距离，依此想法尝试用坐标法证明余弦定理.

      （3）试运用正弦、余弦定理求

-sin70°sin50°的值.

      五、教学感悟

      荷兰著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔指出：应注重培养和发展学生从客观现象中找出数学问题的能力，用再创造的方法去进行数学教学.同时弗莱登塔尔还批评那种过于注重逻辑严密性、没有丝毫历史感的教材是“把火热的发明变成了冰冷的美丽”.运用余弦定理的有关历史来进行教学，不仅使学生了解了余弦定理的产生与发展过程，更体验了“冰冷的美丽”和“火热的思考”的交融过程，充分展示了数学的文化价值和应用价值，加深了学生对数学的认识与理解，使学生形成良好的数学观.

      HPM教学模式就是借鉴历史、重演历史和重构历史，通过再创造的方式，使学生获得数学知识，提升学生的数学素养.HPM教学模式对历史素材的呈现是含而不露的，通过问题情境的创设，融历史于我们的课堂教学，使学生通过自身的探索，去发现知识和创造知识，让学生了解在不同文化背景下的数学思考方式，其目的在于培养学生的数学洞察力，加深学生对数学的理解，提升学生的数学思维能力，让学生在数学历史文化与数学思维的双重熏陶下，获得数学认知活动的文化意义.

      数学家在解决问题时的常用策略，就是尽量追求问题的普遍化，最大可能地把问题推广到一般情形.换言之，数学家解题不是以问题的解决作为终点，而是通过问题的解决以获得更大的收获.如果我们在教学中也能渗透这样的思想，那么学生就会在潜移默化中，提高自己的思维能力和解题能力，洞察问题的本质，做到触类旁通、举一反三.当然，这需要与数学史知识产生联系，我们在教学时可适当引入数学史料，理解并欣赏数学家解决问题的策略.

      数学家解题时，另外一个特点就是擅长运用合情推理对命题进行猜想.所以教师要允许和鼓励学生进行猜想，在课堂教学中渗透“猜想+证明”这一科学思维方法，揭示知识发生、发展的过程，改变以往“满堂灌”的教学方式，留出一定的时空让学生主动去探索.学生在学习过程中重演数学家当时的探索历程，自己去探索规律、发现结论.当然，这需要教师有帮助学生猜想和推动学生猜想的行动，需要教师在教学中站在数学史的高度上，来创设相应的问题情境（背景），提供一定的猜想平台.可以说，猜想是一个师生合作、生生合作的创新活动.

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