摘 要：在“学为中心”教学理念下，小学数学教学引导学生进行数学建模是十分重要的，这样才能有效地促进他们数学核心素养的提升。数学模型是小学数学知识体系中大部分知识的物化形式，对小学生而言具有重要意义。数学探究是建立数学模型的必经之路，基于此背景，对“乘法分配律”一课的教学进行了探究。通过基于生活问题，引入“分配律”；基于几何直观，感知“分配律”；引导数学概括，抽象“分配律”；借助变式练习，内化“分配律”的教学策略，能够有效地促进学生对“乘法分配律”这一模型的建构。
关键词：数学探究 数学建模 “乘法分配律”
数学模型是小学数学知识体系中大部分知识的物化形式，对小学生而言具有重要意义。在《数学课程标准》中，针对数学模型提出这样的要求：“学生的学习应注重对实际问题到数学模型的转化，并从中体验相应地解释和应用。”对于数学建模，更需要小学生的自主化分析，而从实际调查来看，部分教师没有对自主探究采取足够的重视，这就导致学生对知识仅有表面的学习，无法深入知识本质实现数学模式的构建。那么，在小学数学教学中应该如何引导学生建立数学模型呢？以下，我以“乘法分配律”的教学为例来谈一谈引导学生在数学探究中建立“乘法分配律”这一数学模型的策略。
一、基于生活问题，引入“分配律”
《数学课程标准》要求教师“充分了解学生的认知经验，并以此设计相应的教学方法帮助学生对实际问题进行抽象，得到其数学模型。”故而在引入有关数学模型时，就必须从日常生活出发。在教学中，可以以如下的生活情境来引入“乘法分配律”的教学：王老师需要购买两套衣服，衣服的价格为60元，裤子的价格为35元，王老师需要花多少钱？生1：可列式60×2+35×2，计算得到需要190元。生2：可通过（60+35）×2计算得到需要190元。师：请你说说括号中算出来的值表示什么含义，为什么后面要乘以2？生2：括号里面表示一套校服的价格，再乘上2，就相当于两套校服的价格相加，得到的结果就是两套校服的钱。师：请大家观察这两位同学的求解式子，说说看发现了什么？生3：对比可得60×2+35×2与（60+35）×2相等。师：那假如没有计算出这两个式子的结果，你能从其他途径证明他们相等吗？生4：第一个式子的含义是两个60加两个35，也就是两个95相加，而第二个式子也表示相同的含义。
由于学生已经掌握了乘法的意义，所以他们就能体会到乘法也就是对一系列相同的加数进行相加。而教学乘法分配律离不开建立数学模型，所以唤醒学生对乘法知识的记忆就为新课的学习打好了基础。而在引入新课的探究时，就可抓住新旧知识的关联之处展开，推动学生拓展思维，在已有知识的帮助下学习新知，这样一来，也就实现了新旧知识的对接，搭建起更为系统的知识体系。
二、基于几何直观，感知“分配律”
鉴于“乘法分配律”的难度，在学习这一知识时，以学生熟悉的生活问题能增添学生的亲近感。而教学也应注意不光对其现实意义进行理解，还应从中挖掘出数学内涵。故而对于“乘法分配律”的理解，就可通过引入直观的几何图形来降低理解难度，提升学习效果。
教学中，可将将课本里的相关图片展示于ppt中，并设计问题情境：现要把厨房的左右两面墙壁贴上瓷砖，一直左边需要贴四排，每排5块；右边需要贴六排，每排5块。问需要多少瓷砖才能贴满？当学生读完题目后，教师让学生画图示意题意，在此基础上进行求解。于是学生得到的计算过程如下：第一种为（6+4）×5=50（块）；第二种为6×5+4×5=50（块）。
师：同学们，这两个式子得到的结果是相等的，请大家观察屏幕上的图片，对这两个式子结果相等的原因在组内进行交流。
生：从图形来看，左边有10个5，右边分别有6个5和4个5，那么也就相当于10个5，所以两边是相等的。
这一过程就充分利用了学生对于长方形面积计算的知识经验，以数形结合的方式，帮助学生实现了有效地理解。而在探究与思考中，教师也应有意识地引导学生进行恰当地描述和表达，从而有效地归纳出乘法分配律的定义。
三、引导数学概括，抽象“分配律”
当得到有关的数学模型后，教师还应引入与知识相关的大量素材供学生思考，以推动他们深刻领会模型内涵，并根据不同的例子，总结出相应的数学规律，并做出对应语言表述，实现从实例到模型的有效过渡。
1.引导数学观察，探究算式规律。通过前述学习过程，学生理解了（60+35）×2=60×2+35×2；（6+4）×5=6×5+4×5相等的原因。为了强化对数学模型的理解，教师引导学生观察上述等式，并对其特征进行总结。通过细致观察，学生从运算特征入手得到：等号左边为两个数的和与一个数的乘积；等号右边为两个数的积相加，而且两个乘法计算中有一个相同的因数；等号左右两边计算结果相等。
2.引导举例验证，归纳算式规律。师：那不管在什么情况下，这种规律都成立吗？请大家举例说明，并和同桌进行交流。生1：通过计算可知（3+9）×15和3×15+9×15是相等的。师：请说说这两个式子的含义。生1：前者表示12个15相加，后者表示3个15与9个15相加的和。生2：我举的例为（2+7）×5=2×5+7×5。师：你也给大家解释下这个等式的含义吧。生2：等号左边表示9个5相加，右边表示2个5相加，再加上7个5相加的和。生3：还可以是（9+27）×3和9×5+27×3，它们也是相等的。师：请你做出说明。生3：前者表示36个3相加，后者第一个乘号表示9个3相加，第二个称号表示27个3相加，再加起来就是36个3的和。师：从大家举的诸多例子来看，前面总结的数学规律是正确的。这也就是我们今天将学习的“乘法分配律”。假如要你说说其具体含义，你能说出来吗？请用自己的话总结出来。生5：两个数的和与一个数的乘积等于这两个数分别与那个数相乘后再相加。师：“那个数”表述不太准确，需要用“这个数”代替。有了这些实践经验，教师再出示“（▲+█）×●=？”。最终构建出（▲+█）×●=▲×●+█×●的数学模型。待学生思考与交流后，教师再得出标准的表述：两个数的和与另一个数的乘积，可以先分别将它们乘上这个数，然后将乘积相加。
3.引导交流总结，抽象数学模型。师：对于数学规律，从以往的学习中可以知道，都能用数学符号进行表示，我们这里的“乘法分配律”就可以用（a+b）×c=a×c+b×c进行表示。（边说边板书：（a+b）×c=a×c+b×c） 数学表象是从结构或形式等角度来概括对应的客观事物得到的，具有一定的观念性，图式表象也属于其范畴。如前所述，（▲+█）×●=▲×●+█×●就是乘法分配律的图式表象。从整个探究过程来看，当学生理解了计算规律后，再对其计算进行反复观察，在对比中得到相应的数学规律，并从自己的理解角度来归纳成文字语言，并由此进行抽象，这是具有一定的难度的，对后期数学模型的建立而言也至关重要。而要帮助学生突破这一难度大关，就需要教师针对数学功底扎实的学生进行针对引导，鼓励他们在构建数学模型时几何数学符号来完成。
四、借助变式练习，内化“分配律”
当有了深刻的理解后，就需要将这一计算规律运用到实际问题中，而部分学生会a×c+b×c=（a + b）×c，却无法将等式反过来进行应用，也就是说在他们的思维中，乘法分配律就是a个c加b个c等于（a + b）个c，而无法就能行逆向思维。为此需要借助有效的方式来实现正反应用的有效过渡。只有通过不断地练习，并结合对乘法内涵的理解，才能消化乘法分配律的模型，进而在正反模型的建立中都能得心应手。
1.借助对比练习，强化模型认知。在刚开始学过乘法分配律后，学生常会错误地对不适合乘法分配律的式子进行乘法分配律的变换计算。比如对于由两个积的和变换到两个数的和与一个数相乘的转换，常常忽略掉两个乘法中必须有相同的因数这一前提条件。一位教师为了解决这样的错误，让学生对35×72+65×72和35×72+65×73进行计算。教师鼓励学生先对这两个算式进行观察，找出二者的异同，并将自己观察的结果在组内和同学讨论。由此就让学生发现，这两个算式虽然都是两个积的和，但前者的两个乘法中有相同的因数，而后者不具备这一规律。有了这样的前期观察，再让学生进行计算，他们通过与乘法分配律的对比，就能明白这两个算式只有前一个能进行乘法分配律的简化计算。从而以这种对比训练方式让学生对乘法分配律产生更深刻的理解，明白其使用的前提条件，就是必须满足有相同的因数。
由于在学习乘法分配律之前，学生学了乘法结合律，而分配律表示的是两数之和与一个数的积或两个积之和，结合律表示多个数相乘，在初次学完后学生常会对二者产生混淆。为了让学生进行有效区分，教师可以对比训练的方式来帮学生攻克难关。如设计（20+2）×50与（20×2）×50、10×125×10×75和10×125+10×75这类习题，并在学生计算过程中以问促思：“以上计算题分别有什么特点？计算时可以运用我们学过的运算律吗？如果能，那能进行简化计算吗？请说说你的原因。”有了这样的对比练习题，学生就能有效地将乘法分配律和结合律用于实际计算中，进而掌握到两种运算律是用的前提条件。即在有乘与和的计算中才能考虑乘法分配律，在只有乘的算是中只能考虑乘法结合律。也正是通过对比学习，才让学生强化了对乘法分配律的理解和记忆。
2.借助逆向练习，内化数学模型。为了强化学生对乘法分配律的掌握效果，一位教师通过设计99×27+27与46×27+54×26的习题，来推动学生在对比中进行有顺序和目的地观察，进而让学生按教学目的进行训练与学习。学生拿到这两道题，首先可能会觉得与所学运算律没有关系，只能按计算顺序计算。而教师则鼓励学生认真观察，由此就能发现可以对这两个式子进行变换，从而创造适用乘法分配律的条件。对于第一个算式，运用“一个数与1相乘为原数”，可写作99×27+27×1，这其实就是让学生在新知识中借助旧知识互为补充，从而在联系中提高解题能力。初看第二个式子，不满足乘法分配律的使用条件，而可以看到46+54=100这一特殊条件，为此学生在深入观察后就会思考用乘法分配律来就能行简化，但另一个因数却不相等。通过分析，27与26仅相差1，于是将27分解为“26+1”，就创造出了使用乘法分配律进行简便运算的条件。也就是对乘法分配律进行正向运用和逆向运用。也正是在实战训练中，学生才得以掌握乘法分配律的运用技巧，训练了他们思维的灵活性。并且，对于这些不能直接使用运算律的题目，学生在掌握变换技巧进行解决后，定能收获学习数学的自信，进而培养他们的数学兴趣。
综上所述，对于“乘法分配律”的数学模型构建，可通过唤醒学生对乘法知识的记忆，结合他们熟悉的生活情境，总结相应的数学规律，在此基础上利用数形结合的思想强化学生的理解效果。这不仅是对学生牢固掌握知识有极大的好处，更是提高教学效率的重要方法。
参考文献
[1]王林华 数学建模——小学生数学核心素养的提升之路[J].中小学教育，2016，（11）。
[2]白真丽 “乘法分配律”一课教学探究[J].小学教学参考，2017，（03）。
论文作者:潘俏
论文发表刊物:《教育学文摘》2019年45总第301期
论文发表时间:2019/4/22
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