卢英
武警警官学院 数学与物理系 四川 成都 610000
摘要：本文通过对2012年重庆的一道高考题进行详细分析，分析了其中考察和运用的数形结合与分类讨论的思想，并追溯它的来源以及解决此类问题的方法和技巧
关键词：数形结合、分类讨论、对称
集合和不等式章节的试题在高考中以容易、中档难度为主，而学生只要掌握章节中的概念、基本性质并能综合运用一些解题方法和技巧就可以了。然而，将集合与不等式融合于几何背景中，不凡具有新意。2012年重庆数学（理）高考题选择题第十题便是一道关于集合与不等式综合运用的面积问题，题干如下：
1.问题分析
本题的实质是求解平面几何图形的面积问题，其中几何图形并非直观图形，而是通过集合的形式表示，集合通过解析式表达，集合A、B的表达式均为不等式。可见，该问题融合了几何、集合、不等式三大部分。解决代数、几何问题离不开“数形结合”的思想，解决点集交集的面积问题的关键便是理解点集的几何意义。对于该题中的集合B，比较容易知其表示的是以（1,1）为圆心，1为半径的圆的内部且包括边界，解决此题关键是弄清集合A的几何意义。因此我们有必要对集合A中的点所满足的表达式进行分析，画出集合A所表示的区域。参考解法如下：
或
图2中阴影部分的面积分为两部分，并不能直接求出二者在求和，需要通过观察，借助于“图形对称”来进一步解决问题。显然，图2中的第一象限、双曲线、圆均关于直线对称，易有区域F与区域E关于直线对称，区域C与区域D关于直线对称，即区域F与区域E、区域C与区域D分别全等且面积相等，故等价于F、C或E、D，易得的面积为圆面积的一半，即。
2.题型溯源
该种高考题型来源于发表在2007年第18期《数学通讯》上的一篇名为《一道值得探索的面积问题》，该文从高三复习中遇到一道的面积问题进行分析解答，进一步变式，最终揭示了该类问题的本质以及其性质。
那么的面积为。
3.解决方法与技巧
该类面积问题，说难也难，说不难也不难，但在高考中，学生却总是会出错，其原因是，不能确定集合A所表示区域。解决此类题，关键是弄清集合Ａ的几何意义，即集合Ａ中的等价不等式。通过分类讨论的方法将复杂的不等式转化成简单、常见的不等式就要进行不等式的变形，变成几个简单的不等式组，运用数形结合的思想再来确定集合A所表示的区域。
数形结合与分类讨论的思想是解决集合与不等式问题中的主要思想，灵活运用它们是解题的关键。解决这道高考题首先我们先要弄清楚集合A所表示的集合意义，因此对集合A中元素满足的不等关系运用分类讨论的思想进行讨论，集合Ａ可以等价为或。
然而我们最终的目的是要求的面积，现在的问题就是转化成找出所包含的元素，因此就运用数形结合的思想，将满足的元素表示出来是图2中F和D的面积。而F和D的面积是不规则图形的面积，问题又出现了。我们再次回到图2中观察，可以看出圆关于y=x对称，由此F与D，C与E的面积相等，所以的面积就是圆面积的一半。
透过该高考题可以看出，数形结合、分类讨论的思想以及对称是集合与不等式中乃至数学中的重要思想。
论文作者:卢英
论文发表刊物:《文化研究》2016年2月
论文发表时间:2016/7/25
标签：不等式论文; 面积论文; 区域论文; 对称论文; 思想论文; 几何论文; 意义论文; 《文化研究》2016年2月论文;