小学数学探究教学中的哲学思考，本文主要内容关键词为：小学数学论文,哲学论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、一则小学数学教学案例的教育学反思
《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》指出，数学教学应从学生已有的生活经验出发，让学生通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程，使学生在获得数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.面对这一新的数学教学理念，数学教师开始改变接受学习、死记硬背、机械训练的传统教学方式，开展了许多基于学生探究、合作、创造的教学，但数学探究教学的进行并不是一帆风顺、一蹴而就的，数学探究教学中教师经常会遇到一些意想不到的尴尬和问题，现结合下面的案例作分析.
一位数学教师引导学生回忆了三角形的角、边、如何画三角形以及角的测量等知识后，让每个学生画出一个三角形，测量内角的度数并相加，然后汇报他们的计算结果.
师：好，请同学们停下来.谁能说说，你计算的结果是多少？
（学生回答有“179度”、“179度多一些”、“180度”、“180度不到”、“181度”……）
师：那么你们发现了什么？
生：每一个三角形的三个角加起来大小是不一样的.
师：实际上它们都是一样大小的，因为量角器量出的结果是不精确的，会出现什么情况？（数生附和：有误差.）对，量角器在度量的时候是有误差的，大家看看，它们都在一个什么数的周围啊？
：180度.
：不对，应该是179度.
师：为什么？
：大部分同学量出的都是179度左右.
师：你的“左右”用得很好.如果我们从整十整百数的角度看，它们都在一个什么数的左右呢？
（稍犹豫一下）：是180.
接着，教师向学生展示一张预先准备好的大白纸，上面画有一个三角形.教师先用一把剪刀将三角形剪了下来，高高举起，提示学生仔细观察.然后，教师先用手撕下三角形的一个角，并将整个“角”放在投影仪上面，再撕下三角形的另一个角，也放在投影仪上，并与第一个角拼了起来，最后撕下第三个角，放在投影仪上，与前面两个角拼好，拼成了一条线段，也就是平角，得出了三角形内角和是180度的结论.[1]
这是数学探究教学中经常会遇到的问题，而不是什么“偶然为之”的特例.从数学教育的角度，我们可以作如下反思.
反思1：学生在根据自己的计算得出三角形内角和不是180度后，教师没有引导学生找出误差过大的原因并想办法减少误差，而是很牵强地把学生引向自己所想要的答案，教学过渡不自然，同时也打击了学生的探究热情，属于牵强探究，这是本案例基本层面的问题.
反思2：教师没有给学生布置开放性任务，没有给学生提供开放的思维空间，提出猜想以及验证猜想的方案和路径都是教师提出来的，学生只是按照教师的指导按部就班地进行操作，属于机械探究，这是本案例深入层面的问题.
针对反思的问题我们可以进行如下重建.
重建1：针对反思1，加强教学探究的流畅自然性.教师先让学生各画两个三角形，然后问：“这两个三角形的三个角分别加起来后，它们的大小会是一样呢，还是不一样？”在学生经过计算、交流得出“所有的三角形，它们的三个内角加起来的大小是不一样的”的结论后，教师说：“大家通过度量角的大小的方法，发现了三角形的三个内角加起来后的大小是并不相同的.但是，假如我们再仔细地观察一下每个人求出的三角形的三个内角加起来的结果，你们可能会发现些什么呢？你们有没有想过，虽然每个人将自己画的三角形的三个内角加起来后结果是不一样的，但是它们却为什么这么接近？猜测一下，可能会是什么原因？”学生经过思考认为主要是误差引起的，然后教师引导学生思考：用什么办法可以减少误差呢？学生说减少测量的次数，那这就是先将三角形的三个角剪下来，拼在一起后再测量，结果学生发现三个角拼过后不用量了，因为它们拼成了一个平角，也就是180度.[1]
重建2：针对反思2提出更为开放的教学设计，在探究的自然流畅性上加大学生的探究空间.教师可让学生先提出猜想“三角形的内角和是否相等”，然后再让学生分组讨论应该如何验证猜想，看哪个小组想的办法多.在学生分组讨论提出几种验证方案后，教师再让学生根据验证方案动手操作，最后比较通过几种方案得出的结论，并进行总结.这种教学设计把重点放在验证方案的设计上，给学生提供了较为开放的问题，让学生在小组讨论中自己设计验证方案，有利于激发学生的思维，并给学生的创造提供了较大的空间.
从表面上看，通过两个重建，上述教学案例中所反映出来的问题得到了“圆满”解决，但仔细推敲就会发现远非如此.因为“撕、拼方法”并没有减少误差，只是我们用眼睛“看”不出误差了而已.退一步说，即使别的实物操作的方法能够减少误差，也不可能消灭误差，运用实物操作进行探究的方法并没有真正帮助学生得出三角形内角和的准确结论.假如课堂上有学生提出来“撕、拼”或其他减少误差的方法依然有误差，只是我们“看”不出来，三角形内角和不是180度，那教师又该如何呢？粗暴制止显然不合理，因为学生说的是正确的，顺应学生思路则没法完成教学探究的任务.即使没有学生提出异议，我们也很难说教师引导学生探究出了正确的结论.因为这种探究结论的顺利得出是建立在学生数学知识贫乏或数学思维不健全基础上的，用这种方法与其说是探究出了结论，不如说是“蒙”过了学生.试想，如果三角形的内角和真的是179.999度或180度周围的任意其他度数，通过这种“撕拼”或其他减少误差的方法还能够“蒙”过学生吗？看来，这则教学案例的问题不仅仅在于缺少探究空间、机械引导等数学教学方面的问题，更在于对数学本质、数学方法论“数学知识是由先天概念推导出来的还是数学经验的概括总结”理解上的偏差.
二、数学哲学视角的再审视
由于上述教学案例所折射出来的问题已经超出数学教育领域，我们必须进入数学哲学领域作进一步的思考才能更好地解决这个问题.为了对数学本质、数学方法论有更好的理解，我们需要先对理性主义数学观与经验主义数学观进行一番辨析.
（一）理性主义数学观
理性主义数学观认为数学的本质是自明的、逻辑的，与经验事实无关，而且经验事实还会成为通向理性认识的障碍.数学是由公理系统进行演绎推理得出来的形式系统.因此，数学公理与概念是第一位的，而经验只是理念的摹像，概念的真实性并不因为与经验不一致而受到影响.在西方哲学史上，数学演绎的思想道路始于毕达哥拉斯，柏拉图对其作了进一步的发展.“数学，在证明式的演绎推论意义上的数学，是从毕达哥拉斯开始的……而柏拉图主义若加以细分，在本质上不过是毕达哥拉斯主义罢了.”[2]康德认为数学可以被看成是先验主体意识以先天直观形式为基础的概念构造体系.“康德认为数学是已经得到证明的知识，具有完全无可置疑的确定性与必然性，是知识的楷模.数学命题首先是先天命题.因为数学命题的普遍必然性不是从经验中能够得出的，它在任何时候都符合矛盾律.”[3]笛卡儿也认为数学知识与经验事实无关，数学知识是从不证自明的、先天固有的公理中推演出来的.
根据理性主义数学观，数学认识的方法是由上而下、由一般到特殊的演绎法.三角形内角和是180度存在于我们的理念世界中，必须通过形式系统中的演绎推理才能获得，而不是来自于我们感性经验的抽象和提炼.通过我们的实践操作，从经验世界中得出的结论总是有误差的，通过动手操作、归纳推理得出三角形内角和是180度只是一个美好的幻想，但反过来，通过理性世界中的演绎推理得出三角形内角和是180度则是确定严密的结论，它不因我们动手操作、测量误差得出别的度数而影响到它的确定性.“我相信，数学是我们信仰永恒的、严格的真理的主要根源，也是信仰有一个超感的可知的世界的主要根源.几何学讨论严格的圆，但是没有一个可感觉的对象是严格的圆形的；无论我们多么小心谨慎地使用我们的圆规，总会有某些不完备和不规则的.这就提示了一种观点，即一切严格的推理只能应用于与可感觉的对象相对立的理想对象；很自然地可以再进一步论证说，思想要比感官更高贵而思想的对象要比感官知觉的对象更真实.”[2]
（二）经验主义数学观
经验主义数学观认为数学的本质是经验性的，数学知识是从人们的观察、实践经验中获得的，不存在不言自明的“天赋概念”，数学认识最有效的方法是建立在观察、实验基础上的归纳法.值得一提的是，并不是所有的经验主义哲学家都坚持数学知识的经验性.许多经验主义哲学家在论述一般知识的本质时都持有坚定的经验主义观点，但在论述数学的特征时却往往偏离经验主义立场.如经验主义的始祖洛克在“强调数学知识来源于经验的同时，又认为属于论证知识的数学不如直觉知识清楚和可靠”.[2]而罗素在其著名的《西方哲学史》中对经验主义的定义则直接排除了数学，“所谓经验主义即这样一种学说：我们的全部知识（逻辑和数学或许除外）都是由经验而来的”.[4]当然，也有一些极端的经验主义哲学家认为数学也来源于经验，如J.S.穆勒认为，逻辑和数学的命题也是从经验中来的，其所以为真理也只是因为它们在经验中总被发现是这样的，因而它们并不是严格意义上的必然的真理，甚而有可能为将来的经验所修正.英国哲学家密尔则是从心理学的角度来论述数学的经验性的.他认为数学知识的形成经历了这样一个心理过程：人们根据物质对象的属性归纳出一定的概念，再由概念的重组和排列使其进一步抽象化，最后形成远离经验的规则系统和真理.“我们在学习数学的过程中会涉及一组有关物质对象之诸属性和行为的经验，这些经验会历史化渐变成一定的概念范畴，而这些概念范畴则会构成各种各样的经验科学.对物质对象的经验属性进行的安排和重组使之形成一些抽象的影像模式，模式经过重组或者分类或者排列后就形成了远离经验的规则系统或者真理，这些真理从而构成了数学的基础.”[5]密尔的经验主义数学观提出了数学知识形成的心理过程，因此，他的观点虽然为理性主义者所不屑，但却与我们新一轮课程改革中关注学生数学探究体验的理念存在着很大的契合之处，指出了数学内容的形式性与数学发现的经验性之间的关系.
从以上论述可以看出，数学是以演绎性、抽象性为主的一门学科，但数学的发现和理解却常常要依赖于人们的经验与归纳.从人类数学认识的历史来看，数学的产生源于人们日常生活实践的需要，如丈量、计算等，从个体数学认识的心理发展过程看，个体对数学最初的认识也是来自于生活中的数学经验，只是数学知识发展到一定程度后，才开始脱离客观事物而具有抽象、独立的特征.因此，从逻辑的角度看，数学是抽象性、演绎性最强的一门学科，但从心理和历史的角度看，人们的数学认识需要借助于一定的数学经验.由于小学生的认识特点，小学数学探究教学对数学经验的依赖性尤其突出.在数学经验与数学形式不发生矛盾时，我们的教学探究会进行得比较顺利，但在二者发生矛盾时，我们就需要以数学的形式性为准，兼顾数学的经验性.在三角形内角和的案例中，我们面对的就是数学内容的形式性、演绎性与数学发现的经验性、归纳性发生矛盾的情况.
找出了问题的症结所在，我们就可以尝试提出解决矛盾的方案：由于实践操作必然存在着误差，所以，“由经验到概念”的归纳思路无法推导出三角形内角和的精确结论.因为在“由经验到概念”的思路中，数学经验是第一位的，在数学概念与数学经验发生冲突的时候，数学概念要符合数学经验.三角形内角和的准确证明应通过“从概念到概念”的演绎才能得出结论，然而，对于小学生来说，几何演绎推理远远超出了他们的接受能力和认知水平.因此，我们需要改变一下角度，采取“由概念到经验”、演绎与归纳相结合的思路（即把前人演绎推导得出的结论与学生归纳验证相结合），从让学生推导未知的结论转为让学生验证已知理论：即直接告诉学生前人已经得出结论，三角形的内角和是180度，我们能用什么办法进行验证呢？这时学生可用多种办法进行验证，同样可以培养学生的探究能力和创造性.同时学生经过操作验证后，得出来的结论虽然不一定是180度，而是180度周围的什么度数，学生不会认为是定理错了，而是我们的操作经验存在误差.因为在“由概念到经验”的思路中，前人运用演绎法推导出来的概念是第一位的，而经验归纳主要起到辅助验证、培养学生数学理解力及多元思维的作用，并且数学概念与数学经验发生冲突的时候，数学经验要符合数学概念.
三、对小学数学探究教学的启示
（一）小学数学探究教学需要教师具有数学哲学思维
从上面的案例可以看出，小学数学探究教学不仅涉及数学教育方面的知识，而且涉及数学哲学方面的知识.因此，作为数学教师，不仅要熟知数学规律及数学教法，也要学习数学哲学方面的知识，了解数学的本质及其方法论，才能在教学时有开阔的视野和深刻的思维，不仅知其然，而且知其所以然，不仅能把某一知识点与整个数学知识相互联系、融会贯通，而且能从数学哲学的角度对其进行根本的认识和反思.“几何之务，不在知其然，而在知其所以然；不在知其所以然，而在何由已知其所以然.”[6]只有这样，数学教师才能处理好数学内容的形式化与数学发现的经验性之间的关系，恰如其分地选择数学探究的思路，知道哪些数学知识可以运用经验归纳进行探究，哪些数学教学是经验归纳力所不能及的；才能在课堂教学中游刃有余地驾驭学生的探究活动，而不是在教学探究中遇到相关问题时无所适从、陷入混乱，或者即便学生以一种不严密的方式得到了所谓的“正确”结论，教师也能明白这种探究方式的漏洞或缺陷在哪里，虽然这个漏洞并没有被学生当场看破.
（二）归纳推理在小学数学探究教学中具有不可替代的作用
2001年，我国颁布了《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》，提出让学生在数学教学中“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”，在小学阶段要求学生“能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发展初步的合情推理能力”，在初中阶段则提出“发展学生初步的演绎推理能力”，指出了初中与小学阶段教学探究的区别以及合情推理在小学数学探究教学中的重要性.
合情推理是美籍匈牙利数学家波利亚提出的一个推理模式，是指运用观察、归纳、类比、联想等方法进行的推理.合情推理主要包括归纳推理和类比推理，归纳推理是从特殊到一般的推理，类比推理是从特殊到特殊的推理.在合情推理中，前提和结论之间的联系不是必然的，而是或然的，重在合乎情理.合情推理主要有猜测结论、提出猜想的作用，却不能保证推理结论的正确性，数学结论的正确性必须通过演绎推理来保证.合情推理虽不是一种严密的推理形式，却是数学探究发现中必不可少的一种推理能力.按照波利亚的观点，演绎推理是一种纯“形式”的思维过程，它主要依赖在理念世界的严密推导，而合情推理是一种“非形式”的思维过程，它包含着从具体的经验世界辨认或抽取出数学的概念或原理.
在小学阶段，由于学生的思维水平还处在具体形象时期，逻辑抽象思维的发展还相当有限，因此，小学数学教学探究主要通过合情推理而不是演绎推理来进行，这有利于小学生亲身经历科学发现和科学探究的过程，培养学生的想象能力和探究能力，提高学生学习的兴趣，这对我国传统数学教学中主要采取演绎的方式给学生直接讲解数学概念的做法也是一种纠正.正是在这个意义上荷兰数学教育家弗赖登塔尔批评演绎法是“教学法的颠倒”，它剥夺了学生创造定义的机会，而波利亚也呼吁：“让我们教猜想吧！”著名教育家杜威也曾提出传统教学混淆了学科知识的“逻辑性”与儿童知识学习的“心理性”之间的关系，片面地按照学科逻辑性进行讲解，忽视了儿童的心理特征、认知经验与认识过程，影响了儿童抽象和归纳能力的发展，并且厌恶智力的运用.“因此，一开始就用定义、规则、普遍的原则、分类以及类似的东西，这是最常见的错误.从逻辑上讲，这种方法的错误是由于在引导学生进行演绎思考时，没有首先让学生熟知定义和概括所需要的种种个别事实.”[7]
（三）小学数学探究教学需要区分不同的探究思路
由于数学是一门以形式性、演绎性为主的学科，而小学数学主要运用归纳推理进行教学探究，这就需要教师处理好数学内容的形式性与数学探究的经验性之间的关系.在探究不那么精确的概念或结论以及不涉及误差问题时，数学的经验性与形式性不会发生矛盾，运用“由经验到概念”常见思路则会比较顺利.但在操作实物进行归纳推理遇到误差问题时，数学内容的形式性与数学发现的经验性的矛盾便会产生.这时运用操作实物进行归纳探究，“由经验到概念”的方法往往难以得出结论，而需要改用“由概念到经验”的思路，以前人演绎得出的概念告知学生，再让学生通过经验验证增强数学理解和探究体验.当然，教师也应该明白，即使在教学中通过归纳探究得出了结论，这种结论仍然具有猜想和假设的性质，并不是科学严密的结论.只有这样，数学探究教学才能在关注学生探究体验的同时，顾及到数学的基本规律，使数学探究教学的生活味与数学味相得益彰，经验性与演绎性各得其所.