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在渺渺茫茫的数海中，蕴藏着许多迷人的数的珍珠，其中有一颗千古珍稀——完全数。
1 发现完全数的先驱
公元前3世纪以前，古希腊人在对数的因数分解中，发现了有的数其因数（除本身外）之和居然等于自身，他们称之为完全数。例如6 （除自身外）的因数为1、2、3，而其和1＋2＋3＝6，故6是完全数。据说毕达哥拉斯认为“6象征着完美的婚姻以及健康和美丽， 因为它的部分是完整的，并且其和等于自身”。后来又发现28、496、8128 共四个完全数。
在柏拉图（Plato，公元前427—前349 ）《共和国》一书中首见完全数的文字定义：“一个数等于它的全部因数（不含自身）之和，就叫做完全数。”
公元前300年左右， 欧几里得在《几何原本》中首次给出了寻找完全数的命题“如果n
公元1世纪古希腊尼科马霍斯（Nichomachus）在《算术入门》中复述了以上四个完全数和欧氏定理证明，书中赞道：“奇迹发生了，正如世间缺少完美的事物，而丑陋的东西却比比皆是一样，自然数中遍布着杂乱无章的盈数和亏数，完全数却以它特有的性质熠熠发光，珍奇而稀少。”这里的盈数、亏数和完全数指它们分别大于、小于和等于（除本身外的）各自的因数之和。
2 千年跨一步
人类发现四个完全数以后，吸引了许多数学家去探觅完全数珠宝。可是，自然数浩如烟海，完全数又如沧海一粟，在茫茫数海捞针，却难寻到这稀少的“数字之珠”，几代人过去了，第五个完全数还是没有露面。
千年之后，意大利数学家斐波那契（L.Fibonacci，1170？—1250）曾宣布他找到了一个寻找完全数的有效法则，可惜没有公布，成为过眼烟云的新闻。
直到1460年，人们偶然发现一位无名氏的手稿中，竟神秘地给出了第五个完全数33550336。在进行大数计算很艰辛的古代，无名氏是怎样得到它的乃是一个谜。
在当时的欧洲有一种风气，发现惊人的结果者不愿公布姓名，其原因大概除为了增加问题的神秘外，主要怕暴露身份招来是非。当时的许多发现不严密不成熟，极易找到攻击的漏洞。
无名氏千年跨出了重要一步，寻觅完全数又激起千层浪。
3 发现并非一帆风顺
15至19世纪是研究、发现完全数的不平凡的日子。
16世纪意大利的塔塔利亚（N.Tartaglia，1499？—1557）说， 当n＝2或是3至39间的奇数时，2[n－1]（2[n]－1）是“完全数”， 共有20个。
17世纪“神数术”大师庞格斯在《数的玄学》中，在塔氏20个的基础上列出了28个“完全数”。可惜这两位没有给出方法、证明或运算过程。
1603年，数学家克特迪证明无名氏找出的那第五个数符合欧氏定理。（n＝13，2[13－1]（2[13]－1）＝33550336）， 同时正确地证明第6个和第7个完全数是2[16]（2[17]－1）和2[18]（2[19]－1）；但又错误说2[22]（2[23]－1）、2[28]（2[29]－1）和2[36]（2[37]－1 ）也是完全数，后来费马（Fermat）和欧拉指出了他的错误。
1644年，法国神甫兼数学家梅森（M.Mersenne，1588—1648）指出：庞格斯给出的28个“完全数”，中， 只有8 个是正确的， 即当n 取2，3，5，7，13，17，19，31时，2[n－1]（2[n]－1）是完全数。同时他另给出了第9、10、11个完全数，即n取67、127和257。梅森在没有证明的情况下武断地说：当n≤257时，就只有这11个完全数了。这就是历史上著名的“梅森猜测”，而型如2[n]－1的数被称为“梅森数”， 其中的素数称为“梅森素数”。
人们后来发现， 欧氏定理只是一个偶数是完全数的充分条件。1730年， 欧拉证明了一个定理“每一个偶完全数都是形如2[n－1]（2[n]－1）的自然数，其中n是素数，2[n]－1也是素数”。这是欧氏定理的逆定理。
欧拉还对“梅森猜测”提出他的看法：“我冒险断言，每一个小于50的素数，甚至小于100的素数，使2[n－1]（2[n]－1 ）是完全数的仅有n取2，3，5，7，13，19，31，41，47。 我从一个优美的定理出发得到了这些结果，我自信它们具有真实性。”
42年后的1772年，欧拉在双目失明的情况下，仍在研究完全数，他写信给瑞士数学家丹尼尔·贝努利（Daniel Bemoulli，1700— 1782）说：“我已心算证明，当n＝31时，2[30]（2[31]－1）是第8个完全数。”同时还纠正自己过去说n取41、47是完全数的错误。
1876年，法国数论专家吕卡（F.lucas）另辟蹊径， 创立了一种检验素数的新方法，证明n＝127时确实是一个完全数。
数学家借助吕卡的新方法发现“梅森猜测”说n取67和257可得到完全数的说法是错误的，并且发现在n＝257范围内，梅森漏掉了n取61，89，107时的三个完全数。这时，人类花200多年才辨明“梅森猜测”的真伪。
至此，人类前仆后继，利用繁杂的笔算，在计算机诞生前，耗时二千多年，一共只找到了12个完全数，即n取2，3，5，7，13，17，19，31，61，89，107，127时，2[n－1]（2[n]－1）是完全数。
1946年电子计算机产生，结束了笔算纸录寻觅完全数的漫长历史。
4 迷人的性质
17世纪，法国数学家笛卡尔曾寻找过偶完全数，经努力而失败了，他感到要多找出一个完全数实非易事，并公开预言：“能找出的完全数是不会多的，好比人类一样，要找出完美的人亦非易事！”
从1946年以后，人们开始用计算机发现完全数。
我们容易看到：前面所讲的完全数都是偶数，后人称之为“偶完全数”。
根据欧几里得与欧拉两个互逆定理，找到一个2[n]－1型素数， 即找到一个偶完全数，而2[n]－1型素数恰好为梅森素数。 至此人们终于发现：偶完全数与梅森素数一一对应着。这就是说，发现一个梅森素数，即相当于找到一个偶完全数，反之成立。
由此，人们至1998年1月止，至少已找到37个梅森素数， 如此一来，至少也已找到37 个偶完全数。 第37个完全数是n ＝3021377 时2[3021376]（2[3021377]－1），它有909526位，是由美国加州大学学生罗兰·克拉克森在Internet上公布的。这是90年代初，世界掀起上网热潮中，有人提议利用Internet上极为丰富的个人电脑资源来寻找新的更大的梅森素数的结果。
综上所述，从公元前到1946年的二千多年间，用笔算找到12个完全数，约平均200年找到1个；1952年至1998年用计算机与数学方法，历时46年，共找到25个，约平均二年找到1个。 充分显示计算机与新方法的优越。的确，完全数太稀少了，至今还有人在继续工作。
完全数有许多性质被发现，例如
1.每一个完全数都可以写成连续自然数之和，如1652年数学家发现：
6＝1＋2＋3；
28＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7；
496＝1＋2＋3＋……＋31；
8128＝1＋2＋3＋……＋127。
2.除6外，完全数可以表示成连续奇数之立方和，如
5 等待揭穿之谜
迄1998年为止，发现的37个完全数，统统是偶数，于是，数学家提出如下问题：存不存在奇完全数。
经过若干名家好手的研究，至今没有发现一个奇完全数。于是，人们猜测，若存在的话，它一定是非常大的。
有多大？当代数学家奥尔（Ore）用计算机检查过10[8]以下的自然数，没有发现一个奇完全数。
1967年，塔克曼研究后宣布，若有奇完全数，它必须大于10[36]。1972年有人证明它必须大于10[50]。1982年又有人证明它必须大于10[120]，……。这种难于捉摸的奇完全数，即使有，但它实在太大，以至超出了目前人们能够用计算机计算的范围了。