陕西省汉中市教研室 723000
摘 要：本文给出了先进行三角形三个角的平分线的性质教学，再用类比法进行三条边的垂直平分线的学习，谈谈呈现三角形内、外心教学内容的基本思路与基本方案。
关键词： 三角形 内、外心的教学 对比研究
一、 设计方案的一些想法与依据
1.本着课标的基本要求，要体现出“探索——发现——猜想——证明”的全过程。
2.从学生可接受性和公理化思想方法的要求出发，证明三角形内、外心性质的具体方法应选择：先解释说明三角形两角的(两边的垂直)平分线相交于一点，再说(证)明第三个角的(第三条边的垂直)平分线过这个交点；从学习知识应先易后难的角度上讲：应先学习三角形三个角的平分线相交于一点，再学习三角形三条边的垂直平分线相交于一点；从处理知识方法的相似程度上讲：当学了三角形的内心知识后，就应用类比法来学习三角形的外心知识；当学习与掌握了证明文字语言叙述的命题的一般方法后，为降低学生理解知识的难度宜采用探索式方式来呈现这两个知识点。在写已知时，应写全，但在证明时，要适当引导学生体会，为什么不直接去证明“三线共点”的理由。这样做形成的方法与知识才全面，也才能达到知其然更知其所以然的目的。
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二、 呈现三角形内、外心知识的基本做法
1.在证明三角形内、外心性质前，应安排通过作图、折纸等来探索三角形三个角的（三条边的垂直）平分线相交于一点，宜采用北师大版教材编写的作法，但要注意渗透证明时所用的方法。
2.呈现三角形内心知识的程序。
预备知识：
（1）同学们前面通过作图、折纸等方法均发现:三角形三个角的平分线相交于一点，你能证明这个结论吗？
（2）从已学过的基本事实、定义和已证明了的定理出发，有说明或证明三条直线相交于一点的内容吗？(无)
（3）若BM、CN分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的平分线。它们相交于一点吗？为什么？(说理参见前面内容)
引导性分析:
∠BAC的平分线若与BM、CN能相交于一点,只要能说明BM与CN的交点在∠BAC的平分线上即可。设BM、CN相交于一点P,根据角平分线的判定定理可知，要证P点到BA、CA的距离相等，于是过P点作PD⊥BA、PF⊥AC，垂足分别为D、F，只要能证明PD=PF即可，那么图中还有或隐含有与PD与PF相等的线段吗？
性质的证明：
设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过点P分别作BC、AC、AB的垂线，垂足分别是E、F、D。∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE，同理PE=PF，∴PD=PE=PF，∴点P在∠BAC的平分线上。根据上面可得：三角形的三个角的平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等。
证明的基本方法：
先说明两个角的平分线相交于一点，再判定这个点在第三个角的平分线上。
三、类比呈现三角形内心知识的方法与做法来呈现三角形外心的知识
1.同学们已通过作图、折纸等方法得到了三角形三条边的垂直平分线相交于一点，你能仿照证明三角形三个角的平分线相交于一点的方法来给出证明吗？
2.三角形两条边的垂直平分线相交于一点，可用反证法证明，请同学们课后想一想，试给出证明。
3.在△ABC中，设边AC、边BC的垂直平分线相交于一点P，连接AP、BP、CP。
∵点P在线段BC的垂直平分线上，∴PB=PC，同理PC=PA，∴PB=PC=PA，∴点P在边AB的垂直平分线上。
根据上面可得：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
证明问题的基本方法也是：先说明两边的垂直平分线相交于一点，再判定这一点在第三边的垂直平分线上。
说明：当以文字语言叙述三角形三个角的(三条边的垂直)平分线的性质，让学生去证明时,先应引导学生明白无法直接去证明“三线共点”，或三个交点是同一个点(三线中，两两可相交)，再诱导学生用类似于探索式的方式来给出证明(参见前面的做法)。
参考文献
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[6]朱德祥 《初等几何研究》[M].高等教育出版社，1985年，2月，第1版，P68-69。
论文作者:梁燕芬
论文发表刊物:《教育学》2017年1月总第113期
论文发表时间:2017/4/1
标签：角形论文; 垂直平分线论文; 外心论文; 平分线论文; 方法论文; 知识论文; 三条论文; 《教育学》2017年1月总第113期论文;