提前引入“一元二次不等式解法”的实验研究，本文主要内容关键词为：不等式论文,解法论文,实验研究论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、问题提出
在实施新课程的过程中，广大教师经历了一次重大的教学尝试，评价新课程、探讨新教法、处理新教材成为教育改革研究的热点话题.与以往大纲版教材相比，新课程下的教材有了较大调整.如注重问题情境的引入，注重概念的发生、发展过程，加强与实际背景的联系，强调几何内容的直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等认知过程的展开等.就内容的呈现看，新教材调整了部分内容的编排顺序，采取模块化设置.如不等式内容，旧教材安排在必修部分，学生在学习集合后接着学习一元二次不等式、绝对值不等式与分式不等式，而简单线性规划问题被安排在“直线与圆的方程”这一章节.新教材将不等式内容分别安排在必修5与选修4-5，在内容编排上删去了分式不等式的解法，绝对值不等式安排在选修4-5中，一元二次不等式与简单线性规划、基本不等式等集中安排在必修5第三章.
有关不等式内容调整的原因，王方汉认为是为了培养学生的数学应用意识，恢复数学的本来面目及来源，他还认为新教材注意数学题的训练功能及难度控制，注意教材的整体结构及各章所担负的任务.章建跃则认为《普通高中数学课程标准（实验）》（简称《标准》）对不等式设计了一个螺旋上升的过程，主要是把不等式看成是刻画不等关系的数学模型，介绍不等式的初步知识的目的是在不等式的代数、推理上降低要求.有关调整后存在的问题是教师们认为教材不好教了，比如必修1需要研究函数的定义域、单调性、单调区间等问题，解决问题需要用到不等式，但不等式又安排在必修5中学习，需要花费时间进行铺垫，“一元二次不等式解法”的编排存在争议.
尽管《标准》制订者希望将不等式作为综合性内容出现在必修5，并且和数学应用，如线性规划等问题联系，但就一线教学实际看，很多教师对新课程理念理解不到位，教师一时难以适应教学，如反映课时紧张，课程结构不合理，模块之间知识连贯性差，等等.为进一步了解实际教学情况，笔者曾于2009年底做了一次问卷调查.问卷设计18道题，主要调查：教师是否了解《标准》对一元二次不等式的教学要求？是否有必要在必修1补充一元二次不等式解法等？调查选取广东、山东、安徽、江西、湖南、北京、河南、浙江等省份有过新课程教学经验的部分高中数学教师为调查对象，共发放问卷100份，有效问卷89份.调查得到的主要结论是：（1）尽管约50%的教师认为比较了解《标准》的教学要求，但非常了解的不到15%；（2）约50%的教师认为一元二次不等式应该安排在必修1，其中约22%的教师明确表示应该安排在集合部分，约8%的教师认为安排在必修1的函数部分，只有13.5%的教师支持教材的安排；（3）80%以上的教师会在必修1的教学中系统或零星补充“一元二次不等式解法”，认为学生应该知道这些知识.
尽管是两年前的一次调研，但因为《标准》和新教材至今没有修订，实际教学中存在的这些问题和研究结论至今仍有现实意义.针对调研中的主要结论：只有极少数教师支持现有教材对“一元二次不等式解法”的安排，绝大多数教师认为“一元二次不等式解法”应该安排在必修1，大部分教师会在必修1的教学中或多或少补充解一元二次不等式.笔者于2010年下学期做了一次教学实验，旨在了解实际教学中有没有必要提前引入“一元二次不等式解法”.
二、实验设计及实验结果
1.实验设计
（1）实验目的
实验目的在于了解必修1模块教学中有没有必要提前引入“一元二次不等式解法”.
（2）实验设计
论证有没有必要提前引入的最直接体现是学生的数学学习成绩，为此，实验通过两个对照班的教学，说明提前引入“一元二次不等式解法”对学生总体模块成绩的影响进行说明.在笔者任教的学校选取高一年级两个平行班，一个班为实验班，一个班为对照班.实验班提前渗透“一元二次不等式解法”的内容，对照班按照教材的原有安排，不提前教学.为不影响正常教学，实验班不照搬必修5的“一元二次不等式解法”内容，只在课堂上渗透如何解一元二次不等式，在以下六个内容中渗透：二次函数与不等式，集合基本运算，函数及其表示法，函数的基本性质，基本初等函数，函数与方程.
（3）实验过程
①前测：首先进行高一数学入学摸底考试.
②进行实验：在摸底考试后，学习必修1前在实验班利用自习课教学二次函数与不等式内容，对照班不补充相关内容.之后分别在对照班和实验班教学集合基本运算，函数及其表示法，函数的基本性质，基本初等函数，函数与方程内容.两个班的教学环节、课堂设计一致，只在例题的选取上有区别.在实验班的课堂教学中补充与解一元二次不等式有关的例题，对照班相关例题只采用一元一次不等式求解.
两个班由同一个教师任教，实验过程中保证实验班与对照班的教学课时一致，尽量消除无关变量的影响，实验时间是2010年9月～2010年11月.
③后测：必修1模块考试，针对实验班的小测试.
2.实验结果
（1）课堂实验的结果
从课堂教学效果看，同样有关集合或函数的例题教学，实验班因为涉及“一元二次不等式解法”，学生花大量时间在计算上，解题过程凌乱，部分学生由于算不出最后结果，产生挫败感，产生不耐烦情绪.而对照班的计算只涉及解一元一次不等式，学生相对轻松很多，解题过程清晰，课堂气氛活跃，学生有更多时间来理解集合与函数的概念.
（2）测试成绩
①摸底考试成绩与模块考试成绩.
对摸底考试成绩进行双总体Z检验，计算得
②小测试情况
小测试共设计5道题，前4道为选择题，第5道为解答题，全部涉及解一元二次不等式，目的是检测实验班学生对“一元二次不等式解法”的掌握情况，了解必修1模块教学中有没有必要提前引入“一元二次不等式解法”.统计答题情况，各题答对人数占总人数的百分比依次为72%，78%，80%，61%和16.7%.显然学生掌握情况不乐观，尤其是第5题只有16.7%的学生完整解答出来，部分学生能根据判别式写出m满足的一元二次不等式，但没有解出最后答案.抽查几位学生的答案如下：
三、实验结果的讨论与思考
1.实验结果的讨论与分析
其次，小测试的数据显示在必修1引入“一元二次不等式解法”可能对部分学生学习数学有促进作用.当前许多课外资料在集合与函数部分会涉及解一元二次不等式，提前引入可能对解决一元二次不等式的相关题目起到一定作用.但实验结果也发现，提前引入存在的问题如下.
第二，冲淡学生对应掌握概念本质的认识，转移了学习重心.如，教学中冲淡了集合与函数概念的本质，转移了学生学习重心.小测试的第1题考查的是两个集合的并运算，第5题考查二次函数零点存在的判定，都是集合与函数的基础知识，却因为结合解一元二次不等式的运算，导致学生答题失误.总之，实验结果表明，提前引入“一元二次不等式解法”尽管一定程度提高了学生的模块1成绩，但没有显著提高.由此带来教学课时紧张、学生认识肤浅、冲淡教学和学习重心、影响学生对内容本质的理解等，这些都说明提前引入尽管暂时性可能提高一点数学成绩，但从长远看，对学生的数学学习是不利的，故教学中不宜提前引入.
2.思考和建议
（1）了解新课程，把握“一元二次不等式解法”的教学定位
与以往课程对一元二次不等式内容的定位比较，新课程有了非常大的变化.以往课程一开始就强调一元二次不等式的求解，将一元二次不等式作为一种解题工具.新课程强调的是把一元二次不等式作为刻画和描述现实世界中事物不等关系的一种工具、作为描述与刻画优化问题的一种数学模型.按照《标准》的建议，“一元二次不等式”教学应注重使学生了解一元二次不等式的实际背景，教学中要鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图，加强算法思想.所以在“一元二次不等式”的教学中，首先要让学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，还要让学生通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，注重用数形结合的思想解决问题.设计求解一元二次不等式的程序框图既是算法思想的应用，又有助于学生更好地掌握解一元二次不等式的过程和结构，教学中应当给予充分的重视.根据上述定位的变化，教学中不应该再将一元二次不等式作为一种解题工具，在必修1的教学中提前引入“一元二次不等式解法”不仅冲淡了集合与函数概念的本质，而且会增加学生的负担.
此外，把握教学内容定位既要认真钻研《标准》与教材，又要认真钻研高考考试大纲与高考真题.新课程实施以来，各课标区的高考试题都紧扣《标准》，注重基础知识和基本技能的考查.集合部分主要涉及交集、并集，内容涉及函数的定义域及解简单的不等式，不等式部分主要在于不等式的应用，即使在集合试题中出现不等式的运算，也以解一元一次不等式居多.所以在集合部分的教学避开解一元二次不等式，到必修5的教学中再讲解这些高考题绝对不可能耽误学生的高考.如此既减轻学生负担，又减轻教师负担，有利于缓解课时紧张和加深学生对集合概念的理解.
（2）理解教材编写意图
①“一元二次不等式解法”编排意图解读
新教材将“一元二次不等式解法”安排在模块5中，编排意图主要有以下几个方面.
第一，为了防止教师在集合运算与函数概念的教学中，在求解定义域、值域等问题上掺杂解一元二次不等式，对学生进行大量人为的、烦琐的训练.
第二，为了整编不等式内容.以往教材中，不等式的内容分散在不同的章节中.课标教材将原来分散的不等式内容集中起来，有利于学生集中学习.
第三，为了降低解不等式的要求.《标准》关注不等式的背景和实际应用，对一元二次不等式的解集的讨论，强调在函数思想、数形结合思想上下工夫，教学中要避免解含参数的不等式，以及高次不等式.
第四，受到各模块课时的限制.新课程必修部分共有5个模块，每个模块只安排36个课时，不等式与解三角形、数列这三章刚好凑够36个课时，故将这三章内容编排在必修5.
按照新课程的编排，模块1的课时有限，“一元二次不等式的解法”的教学课时被编排在模块5，故在模块5有充足的时间讲解如何解一元二次不等式，此时再渗透二次方程、二次函数与二次不等式的联系是完全可行的，不必急着提前引入.
②教学中要理解教材编写意图
教师在教学中要认真阅读整个高中教材，尤其是必修5不等式部分，理解新教材的编写意图，做到心中有数，教学中遵循教材编排意图，不随意增添或删减教学内容.下面以《大纲》人教A版与《标准》人教A版教材几个习题为例.
《大纲》将一元二次不等式作为集合交并运算的一种重要模型，所以在集合部分出现如下习题需要解一元二次不等式：
而《标准》教材在必修1不再出现涉及解一元二次不等式的例题与习题，只在必修5的习题中出现下面相关习题.
（I）求下列函数的定义域：
新教材在必修1中不再涉及一元二次不等式的解法，有关习题在必修5学完一元二次不等式解法后再呈现给学生.教材这样编写既可以减轻学生在高一的学习负担，又可以在后续学习中巩固集合与函数知识，更好地实现知识螺旋上升的目的.