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第七届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动圆满结束，本文对此次活动中的共性问题，以及今后的课堂教学研究提几点思考。
一、如何理解3维目标
在参赛选手提供的教学设计中，教学目标的表达不尽一致。较多的教师采用了“3维目标”分别阐述的方式呈现目标。下面看几位参评教师给出的教学目标。
例1 “同位角、内错角、同旁内角”的教学目标。
知识与技能目标：
(1)理解同位角、内错角、同旁内角的概念；
(2)能在基本的图形中识别同位角、内错角、同旁内角。
过程与方法目标：
(1)经历由已知知识发展、推广到新知识的过程；
(2)经历从现实生活中抽象出数学问题，并进行探索、归纳的过程；
(3)体会分类、分步、化归等数学思维方法。
情感与发展目标：
(1)从实际情境引入新课，培养学生学习数学的兴趣；
(2)从两直线相交到两直线被第三条直线所截的变化过程，感受数学的发展与变化关系；
(3)培养学生独立思考、合作学习等能力。
例2 “三角形的有关概念”的教学目标。
(1)知道三角形的有关概念及三角形的分类，掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用。
(2)理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的3条中线、3条角平分线、3条高所在直线的交点情况。
(3)通过操作、观察、归纳和说理等过程初步体会分类思想，感受数学的美，逐步养成良好的数学思维习惯。
例3 “函数”的教学目标。
知识技能：
(1)经过回顾、思考，认识变量中的自变量与函数；
(2)进一步理解、掌握确定函数关系式的方法；
(3)会确定自变量取值范围。
数学思想：
对应思想。
情感态度：
通过学习函数概念，提高学生的分析、综合能力，渗透由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法，向学生渗透数形结合的思想，感受现实生活中函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约。
例4 “图形的旋转”的教学目标。
知识技能：
通过具体实例认识旋转，探索并理解它的概念和基本性质，能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
数学思考：
在发现、探究的过程中，完成对旋转这一图形变化从直观到抽象、从感性认识到理性认识的转变，体会类比和分类思想，发展学生的直观想象能力，以及观察、分析、抽象概括的思维能力。
解决问题：
在了解图形旋转的特征并进一步应用所掌握的这些特征进行旋转变化的学习过程中，让学生从数学的角度认识现实生活中的现象，增强数学的应用意识。
情感态度：
经历对生活中旋转图形的观察、讨论、实践操作，充分感知数学美，培养学习数学的兴趣和热爱生活的情感；通过小组合作交流活动，培养合作学习的意识和研究探索的精神。
上述几例，从积极的方面看，教师已经注意到教学目标必须反映教学内容的特点，关注到显性目标与隐性目标的不同。但这样的表述，除了目标分类混乱、不准确，表达不确切（如把“独立思考、合作学习能力”、“分析、综合能力”、“由特殊到一般、由具体到抽象的思考方法”、“数形结合的思想”不恰当地归入情感领域，把“从现实生活中抽象出数学问题”、“体会分类、分步、化归等数学思维方法”、“培养学生学习数学的兴趣”、“培养热爱生活的情感”、“充分感知数学美”、“培养合作学习的意识和研究探索的精神”这样的“放之四海而皆准”的目标作为一堂课的目标）等“技术性”问题外，最大的问题是混淆了课程目标与课堂教学目标的关系。
“3维目标”是课程目标而不是课堂教学目标，“3个维度”具有内在统一性，都指向人的发展，它们交融互进：“知识与技能”只有在学生独立思考、大胆批判和实践运用中，才能实现知识的意义建构；“情感、态度与价值观”只有伴随着学生对数学知识技能的反思、批判与运用，才能得以升华；“过程与方法”只有学生以积极的情感、态度为动力，以知识和技能目标为适用对象，才能体现它的存在价值。
“3维目标”是中学课程目标的整体设计思路，反映了一个学习过程中的3个心理维度，但不是教学目标的维度。在制定教学目标时简单地套用“3个维度”，将使课堂不堪重负。
教学目标取决于教学内容的特点，要在“3个维度”的指导下，综合考虑初中阶段的数学教学目的、内容特点和学生情况来确定。课堂教学不是为了体现课程目标的“3个维度”而存在的，而是要具体而扎实地把数学课程内容传递给学生，要以数学知识教学为载体来促进学生的发展，这样才能真正实现“数学育人”。
因此，一堂数学课的教学目标，应当聚焦在数学知识和技能、数学思维能力、理性精神上，以数学知识、技能为载体，在教学过程中开展数学思想、方法的教学，渗透情感、态度和价值观的教育。只有在正确理解教学内容、深入挖掘数学知识所蕴含的价值观资源的基础上，才能制定出恰当的教学目标。
例5 “3线8角”的内容理解和教学目标。
“3线8角”是“两条直线”被“第三条直线所截”而产生的几何图形，在这一图形结构中，“第三条直线”与“两条直线”有不同的“角色”。3条直线交成的8个角按是否“共顶点”分为两类，其中“共顶点”的对顶角、邻补角可归结为“相交线”中。
对顶角、邻补角、内错角，、同位角、同旁内角，都是关于一对角的位置关系。
定义内错角、同位角、同旁内角等，主要是为了研究平行线的性质与判定。
因此，正确识别内错角、同位角和同旁内角的前提，是能根据图形结构特征对角的关系进行分类。
“3线8角”的教学目标：
(1)能以“结构特征”为依据，对角的位置关系进行分类，从中体会分类思想；
(2)能正确地分析图形的结构特征，从中找到“两条直线”和“第三条直线”，并识别出同位角、内错角、同旁内角；
(3)在“3线8角”概念的引入过程中，体验研究几何图形的基本思路。例如，从“一条直线与另一条直线相交”到“一条直线与两条直线相交”，从“共顶点的角的位置关系”到“不共顶点的角的位置关系”，等等。
例6 对“三角形的有关概念”的教学目标的改进。
例1～例4中，例2的教学目标制定得最合理，需要改进的是要把“过程”、“方法”、“思想”、“习惯”等融合到知识中，特别是要把研究一个几何新对象的“基本套路”纳入教学目标，使之成为培养良好思维习惯的载体。
改进的“三角形的有关概念”的教学目标：
(1)知道三角形的有关概念及三角形的分类，从中体会分类思想；
(2)掌握“三角形的任意两边之和大于第三边”的性质并能初步运用；
(3)理解三角形的中线、角平分线、高的概念，并通过画图了解三角形的3条中线、3条角平分线、3条高所在直线的交点情况；
(4)通过三角形有关概念的讨论过程（三角形的定义—三角形的组成要素—符号表示—要素之间的基本关系—相关要素及其关系），初步体会研究一个几何对象的“基本套路”，培养良好的数学思维习惯。
二、大力搞好概念的教学
数学是思维的科学，概念是思维的细胞，教好概念是教好数学的内在要求。概念教学搞不好，数学课程目标的实现就失去了根基。
李邦河院士指出：“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧。技巧不足道也！”因此，我们必须重视数学概念的教学。
然而，当前不重视概念教学是一个比较普遍的现象。“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，在学生对概念还没有基本理解的时候就要求学生进行概念的综合应用，许多教师甚至认为教概念不如多讲几道题目更“实惠”。更令人担心的是，有些教师不知如何教概念。这一问题必须引起我们的充分重视。
从教育与发展心理学的观点出发，概念教学的核心就是“概括”：将凝结在数学概念中的数学家的思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念。数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程。由于“数学能力就是以数学概括为基础的能力”，重视数学概念的概括过程对发展学生的数学能力具有重要的意义。
一般而言，概念教学应经历以下7个基本环节：
(1)背景引入；
(2)通过典型、丰富的具体例证（必要时要让学生自己举例），引导学生开展分析、比较、综合的活动；
(3)概括共同本质特征，得到概念的本质属性；
(4)下定义（用准确的数学语言表达，可以通过看教科书完成）；
(5)概念的辨析，即以实例（正例、反例）为载体，引导学生分析关键词的含义，包括对概念特例的考查；
(6)用概念做判断的具体事例，这里要用有代表性的简单例子，其目的是形成用概念做判断的具体步骤；
(7)概念的“精致”，主要是建立与相关概念的联系，形成功能良好的数学认知结构。
概念教学要尽量采用归纳式，给学生提供概括的机会。
例7 “轴对称”概念的教学。
本课安排在人教版课标教材八年级上册第12章。根据《数学课程标准》的要求，主要任务是通过具体实例认识轴对称。由于没有“对应点”概念，还不能以“对应点连线段的垂直平分线”定义对称轴，学生只能凭观察、操作找出对称轴，因此本课的“数学味”较淡。如何才能将这样的内容讲出“数学味”？关键是要注意在学生现有认知水平基础上提供概括机会，让学生经历从具体实例中归纳共同特征的过程，并让学生从概念出发解释自己操作的合理性。主要过程如下：
第1步，列举生活中的对称实例，抽象出轴对称图形，说明通过“沿某条直线对折”可使直线两旁的部分相互重合，这里要注意例子的典型性、丰富性；
第2步，以问题“你能举出与老师所举例子具有相同结构的生活实例吗”，引导学生举出具有轴对称形象的实例；
第3步，概括所举例子的共同特征——有在一条直线l，沿l对折，两边的图形能够重合；
第4步，下定义；
第5步，辨析概念的关键词，即以正例、反例为载体，用变式推动概念的理解，如让学生举出常见的轴对称图形的例子并指出对称轴，讨论对称轴可能有多少条等；
第6步，让学生制作一个轴对称图形，并要求学生说出每一步骤的目的和依据，特别要问学生“为什么要先折叠”，让学生知道折痕就是对称轴。
这样，围绕轴对称概念的核心——对称轴，给学生更多的观察、操作、用概念说理等机会，使学生形成“轴对称图形”和“对称轴”的直观感受，为后续探索轴对称图形的性质提供基础。当然，这样的内容不必用太多的课时，实际上，学生完全有能力更快地进入轴对称图形性质的讨论。
三、如何安排探究活动
为了使学生学会思考，培养学生的创新精神和实践能力，数学教学中必须重视学生的探究活动，给学生提供独立思考、自主探索的机会。但在安排学生的探究活动时，必须注意学习内容的需要，做到恰时恰点。既要防止“假探究”，又要防止不顾已有学习基础而“从头做起”，一切从动手操作开
始是不必要的。本次活动有较多的平面几何课，许多教师不顾教学内容而普遍采用了“操作感知—观察—认知—归纳猜想—实验验证—推理论证”的教学过程，有的甚至没有“推理论证”环节。这样的教学严重损害了平面几何的教育功能。
我们认为，在平面几何教学中，该试验时要试验，该操作时要操作。例如，为了获得“三角形内角和为180°”的证明思路，先让学生动手将3个内角拼接在一起，并观察角的移动过程，而得到添加辅助线的启发，这样的操作是必要的。但有的内容，该推理时要推理，不能总是让学生从动手操作开始。推理包括合情推理和逻辑推理，类比、归纳、猜想等合情推理活动实际上是一种“头脑中的实验活动”，培养学生的类比、归纳、猜想、证明等推理能力是数学教学的基本任务。
例8 “矩形的判定”的教学设计。
参赛选手在本课的设计中，安排了复习平行四边形的“性质定理”和“判定定理”、矩形的定义和矩形的性质，以“情境”引出“如何判定一个四边形是矩形”，接着安排了“有一个角是直角的四边形一定是矩形吗”、“有两个角是直角的四边形一定是矩形吗”、“有三个角是直角的四边形一定是矩形吗”以及“对角线相等的四边形是矩形吗”、“对角线相等的平行四边形是矩形吗”5个探究。这样的探究活动，没有把“矩形是特殊的平行四边形”以及平行四边形的研究经验作为认知基础，而是采用了“另起炉灶”的做法，不但导致教学效率降低、探究活动不自然等问题，而且破坏了数学的内在逻辑，降低了本课的教育功能。
本课正确的教学设计思路，应当是根据数学知识的内在逻辑发展安排探究活动。
在平行四边形的研究中，学生已经积累了平行四边形的“判定”的研究经验，知道了“性质”与“判定”的互逆关系，因此，在已学“矩形的性质”的基础上，要引导学生通过类比平行四边形的“判定”的研究过程，得出“矩形的性质”的研究思路。主要过程如下。
复习：
(1)矩形与平行四边形的关系是什么？
(2)平行四边形的“判定”与“性质”有什么关系？
(3)我们是如何研究平行四边形的“判定”的？
(4)矩形有哪些性质？
探索新知：
类比平行四边形的“判定”的研究过程，你能提出矩形的“判定”的猜想吗？你能证明自己的猜想吗？
四、怎样进行“思维的教学”
人们常说：“数学是思维的体操。”数学教学的核心任务之一，是要培养学生的思维能力，使学生在掌握数学基础知识的过程中，学会感知、观察、归纳、类比、想象、抽象、概括、推理、证明和反思等逻辑思考的基本方法。从课堂教学现状看，许多教师还没有掌握“思维的教学”的基本方法，不能有效地抓住“思维的教学”的时机。本次活动也暴露出这一问题。
思维发展心理学的研究表明：概括是人们掌握概念的直接前提；概括是思维的速度、灵活迁移程度、广度和深度、创造程度等思维品质的基础；概括是科学研究的关键机制；学习和应用知识的过程也是概括的过程；数学概括能力是数学学科能力的基础，概括能力的训练是数学思维能力训练的基础；概括与归纳、类比等直接相关，是培养创造力的基础。因此，“思维的教学”的基本方法是以数学知识的发生发展过程为载体，为学生的概括活动搭建平台，千方百计地给学生提供概括的机会，锻炼学生的概括能力，使学生学会概括。特别要注意在概括的关键环节上放手让学生自主活动。为了提高概括活动的效率，教师应当在提供“先行组织者”上多下功夫。
一般地，教师都让学生直接进入“平行四边形性质”的讨论。这样的教学，学生可以很快知道知识点，也能解题，但弊端是“见木不见林”，被动思维的局面不可避免，学生独立思考、自主探究的机会也大大减少。
下面给出一种利用先行组织者，引导学生开展“类比—探究”的教学设计思路，意在让学生体会几何研究中理性思维的基本过程。
例9 “平行四边形”的先行组织者。
开场白：我们今天开始学习四边形的有关知识。在研究三角形时，我们类比了直线及其位置关系的研究思路。类似地，在具体研究四边形之前，我们先概括一下三角形研究的问题、线索和基本方法，以便为我们找到学习本章内容的大方向。
问题1：你能总结一下“三角形”一章研究的问题、过程与方法吗？
【设计意图】让学生明确一个类比对象，使他们逐步养成用几何研究的“基本套路”思考问题的习惯。
通过归纳，得到：
三角形的定义（概念，组成要素，角平分线、高、中线等相关元素）。
进而得到：
三角形的分类（按边的相等关系分类、按内角的大小分类）；
三角形的基本性质（边的大小关系、内角和、外角和等）；
三角形的全等（确定三角形的条件，判定）；
特殊三角形的研究，按角的特殊（直角三角形）、边的特殊（等腰三角形）分类，从性质、判定、大小度量等方面展开研究；
相似三角形（主要研究性质、判定等）。
教师总结：通过“定义”，我们获得了研究对象，认识了它的组成要素和相关元素。分类的目的是对三角形进行分门别类的研究，为研究提供方便。三角形的基本性质的研究，是对图形本身的性质的研究，其中三角形内角和定理是平面几何中最重要的定理之一。“全等形”是定性平面几何研究的主要内容之一，由此可知确定三角形的基本条件。对特殊三角形的研究，体现了考查“特例”的重要性，这是数学研究的“基本套路”。“特殊性”可以从角的特殊和边的特殊两个角度入手，由此得到等腰三角形和直角三角形这两个研究对象。“性质”和“判定”是对特殊三角形的两大研究主题。
值得注意的是，等腰三角形是轴对称图形，它的特征性质是研究平面几何对称性的种种表现与推论的基本工具；而直角三角形的性质，特别是勾股定理，则是研究定量几何的基本工具。
问题2：类比三角形的研究，你能勾画一下“四边形”研究的问题、过程和方法吗？
［设计意图］通过类比，先让学生对本章内容有一个整体认识，在后续研究中能“见木见林”，给学生提供基本思想方法，从而增强学习主动性。
通过归纳得到：
四边形的定义（概念，组成要素，对角线等相关元素）。
进而得到：
四边形的基本性质（内角和、外角和等）；
四边形的全等（暂时不研究）；
特殊四边形的研究，也可以按角的特殊、边的特殊分类，研究的基本内容也是性质、判定、大小度量等；
相似四边形（暂时不研究）。
师生总结：边的特殊性，可以从“大小关系”和“位置关系”两个角度入手。如果两组对边分别相等，从直观上就可以发现，这样的四边形具有中心对称性，对称中心就是对角线的交点，而且由全等三角形易得两组对角分别相等，再结合平行线的性质，容易得到它的两组对边分别平行。这就是我们要研究的平行四边形，研究的基本内容也是性质和判定。研究“性质”，就是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；研究“判定”，就是考查具备什么条件的四边形才是平行四边形。
在平行四边形中，还可以进一步研究特殊的平行四边形：角的特殊——矩形；边的特殊——菱形；边角都特殊——正方形。都要研究性质和判定。
值得注意的是，平行四边形的特征性质是平面几何中研究平行性的主要工具，它在研究平行性问题中所扮演的角色就像等腰三角形在研究对称性中所扮演的角色一样，是基本且重要的工具。
［说明］上述设计的立意是使学生明确几何研究的“基本套路”，是对思想方法的追溯，而起点则是学生已经学过的“三角形”。在一个章节、一个单元的起始阶段，引导学生先从整体上概括地思考一下研究的内容和方法，不仅对学生领悟数学思想方法有作用，而且对培养学生的创新精神和实践能力也有积极意义。这里，“先行组织者”的作用是：搭建研究框架，引导思维方向，增强思维的逻辑性、条理性，它对提高课堂教学效益是大有好处的。
下面再举一例说明如何安排学生的概括活动。
例10 “正比例函数的性质”的教学设计。
开场白：对于正比例函数y=kx(k≠0)，给定一个k值，就给定了一个正比例函数；不同的k值确定了不同的正比例函数。例如，y=x,y=-x,y=2x,y=-2x就是k分别取1,-1,2,-2时得到的函数，研究正比例函数的性质就是要研究这些函数的共性。
［设计意图］让学生明确“什么叫研究正比例函数的性质”。
问题1：因为正比例函数有无数个，为了获得“共性”，先看几个具体例子所具有的共性，可以得到关于正比例函数性质的启发。另外，函数的图象直观地反映了函数的特征，观察图象可以帮助我们获得函数性质的猜想。
在同一坐标系内画出y=0.5x,y=x,y=2x,y=3x的图象，观察它们有什么共性？
追问：你是从哪些角度观察的？
［设计意图］“引导语”是关于数学思想方法的引导；“追问”是为了把学生内隐的思维显性化，并概括出方法。通过“追问”得出：k的共性(k＞0)；图象经过的象限（一、三）；图象从左到右是“上升”的；等等。
问题2：你能利用函数解析式说明它们为什么只经过一、三象限吗？
（x＞0时，y＞0；x＜0时，y＜0.）
［设计意图］从形到数，学习从代数角度研究性质。
问题3：如何利用函数解析式解释“函数y=x的图象从左到右是‘上升’的”？其他几个函数呢？
【设计意图】利用解析式，说明随着x的增大，y也增大。
问题4：上述结论能推广到一般情形吗？
（得到k＞0时的性质。）
问题5：你能类比上述研究过程，讨论一下k＜0的情形吗？
问题6：还有其他什么共性吗？
五、学会观摩，学会交流
本项活动的宗旨是：重在参与，重在过程，重在交流，重在研究，促进初中青年数学教师业务素质的提高，促进课堂教学质量的提高，推动初中数学教学改革。经过各地的层层选拔，绝大部分参赛选手都是具有较高水平的。这里更加注重的是观摩与交流，参加活动的所有代表都应本着相互学习、共同提高的精神，评委也不例外。因此，学会观摩、学会交流是必须的。
什么叫观摩？《礼记·学记》云：“相观而善之谓摩。”郑玄注：“摩，相切磋也。”这样，“观摩”就是观察彼此的长处，并相互学习。常言道：“外行看热闹，内行看门道。”要达到“观摩”的效果，就必须学会“看门道”。
一般而言，观察一堂课，首先要关注整体结构，关注教学主线，关注核心。例如，概念课是否遵循了概念教学的基本原则？学生有没有获得实质性思维参与机会？是否让学生经历了概念的概括过程？学生是否充分理解了概念的关键词？用概念做判断的具体步骤是否得到落实？等等。在此基础上再看细节。俗话说：“细节决定成败。”课堂中常常有一些稍纵即逝的东西，它们往往成为推动学生深入思考的契机，是成功教学的关键。这种课堂即时“生成”的教学资源，需要教师有较深厚的功底才能及时捕捉到，这是优秀教师应具备的特质。对这种“细节”，就要抓住不放。但要注意，细节不是“细枝末节”。例如，有的教师在听完“平均数与众数”一课后，提出问题：“如果有学生问‘3,3,3,4,4,4,5,5,5这组数据的众数是什么’，你会如何做答？”我认为这个问题关注的就是细枝末节。实际上，这不是一个好问题，甚至是一个不值得研究的问题。因为从概念出发，一组数据中出现次数最多的数叫做众数。什么叫“最多”？在“3,3,3,4,4,4,5,5,5”这组数据中，并没有出现次数最多的，所以可以认为没有众数；但也可以认为3,4,5出现次数都是最多的，所以它们都是众数。因此，这样的问题不是统计所关注的。
在观摩中，我们要思考如何提问题。要学会“提—好问题”和“提好—问题”，就是要善于提问题，并要善意地提问。
结束语：把教研作为一种生活方式
教师专业化发展是一个没有止境的过程，要求广大教师把教学研究作为自己的生活常态甚至是一种生活方式，这是为人师表需要的一种态度，也是教师应具备的一种职业精神。做教研要有“默而识之，学而不厌，诲人不倦”的态度和精神：教研不是为了表演、作秀，要静下心来，心无旁骛，要默然领会在心，也就是要“默而识之”；教研还要有“学而不厌”的精神，因为它不能让你升官发财，更多的是“枯燥乏味”，甚至“费九牛二虎之力而难入其门”，很多教师也因此而放弃，但这正是进步的开端，因此做教研要有“面壁十年”的准备；当教师必须有“诲人不倦”的态度，当今的教育，受功利化社会环境的污染，已经忘记了自己“教书育人”的根本职责，家长、社会、行政部门以“教育GDP”（升学率）论英雄，这种社会氛围十分令人生厌。数学教学也不能置身事外，教师为了分数而不得不让学生进行大量机械重复训练，而数学的育人本分（培养思维能力、发展理性精神）则被抛到九霄云外，这种没有思想、没有灵魂的教育已经“造就”了大批只会解题不会读书的学生。在这样的环境下，一个真正的数学教师，必须怀有一种菩萨心肠，无私地热爱学生；还要有普度众生的学识、精神、耐心、耐力，不厌其烦地把自己所掌握的数学知识和领悟到的思想、精神传递给学生。唯有坚持“诲人不倦”的精神，我们才能在尽教书育人职责的同时，实现自己的人生价值，找到人生的乐趣。
愿广大数学教师真心诚意地热爱教研，专心致志地研究教学，在教学过程中，随时随地思考，随时随地发现，随时随地实践，随时随地体验，随时随地领悟，随时随地反省。这是教研的真谛，也是教好书、做好人的真谛。
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