黄如耀 广东省梅州市五华田家炳中学 514400
中图分类号：G623.8文献标识码：A文章编号：ISSN1001-2982 （2018）08-088-02
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，体现了高考在“知识的交汇处”命题的原则，能有效地考查学生综合运用所学知识分析与解决问题的能力。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题,利用函数的性质或不等式 等知识通过观图、设参、转化、替换等途径来解决。圆锥曲线的最值问题频繁出现在高考试题当中，如距离、弦长、面积、截距等等，最值问题的解题方法较为灵活，同学们常感觉无从下手，为了有效突破难点，本文以近几年高考试题中的圆锥曲线最值问题为例分析其求解策略。
一、定义法 数量关系更明了
解决圆锥曲线最值问题中，回归圆锥曲线定义，并结合平面几何相关定理，体现数量关系明了，可以使求解过程显得自然流畅。
例 1：F1、F2分别是椭圆=1的左右焦点，A（2，2）为定点，M为椭圆上任意一点，求|MA|+|MF2|的最小值。
分析：如图，连结MF1、AF1，则|MF1|+|MF2|=10，
|MA|+|AF1|≥|MF1|（当且仅当F1，A，M三点共线时取等号），
|MA|+|AF1|+|MF2|≥|MF1|+|MF2|=10，
|MA|+|MF2|≥10－|AF1|(当且仅当F1，A，M三点共线时取等号);
由a=5,b=4c=3F1(－3,0)|AF1|=
|MA|+|MF2|≥10－ (当且仅当F1，A，M三点共线时取等号)。
点评：有些问题先利用圆锥曲线定义或性质给出关系式，再利用几何或代数法求最值，可使题目中数量关系更直观，解法更简捷。
二、参数法 转化化归更直接
解题时恰当地引入参数，转化化归更加直接，可以简化繁琐的计算过程，并提供进一步利用函数性质的可能性。
例2：求椭圆上到直线l: x－2y－12=0距离最短的点M及相应的距离。
分析：设椭圆上任意点M（4cosθ，2sinθ），该点到直线l的距离
点评：利用椭圆的参数方程转化为三角函数时，以一次式为主，对于二次式若可转化为二次函数的题型，建议采用设点法求最值。
三、函数法 目标函数更实用
在解题过程中将求圆锥曲线最值转化为讨论二次函数最值，这样，转化成的目标函数更加实用，在解题时能够更加游刃有余。此时应注意其定义域受题设条件限制时，要避免简单地认为一定在抛物线顶点处取得最值。
例3：求抛物线y2=2x上与点A（，0）距离最近的点P及相应的距离|PA|。
分析：设M（x,y）是曲线上任意一点，即y2=2x,
此关于x的函数在[0，+∞）上单调递增，
其最小值在x=0时取得，此时
故所求P（0,0），相应的距离。
期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆
点评：函数法求最值其核心是函数思想。我们要结合题目条件，灵活选取设点方式，把要求的条件转化为我们熟悉的二次函数，三角函数或较简单的复合函数，利用已熟知的函数知识解决最值问题。该类题涉及的知识点多，题型多样，这就要求学生熟练掌握各类初等函数及复合函数求值域的方法，具备较强的解题的综合能力。这类题属于圆锥曲线最值中的最为常见的一种，涉猎点很多，难度较大。
四、几何法 数形结合更直观
有些最值问题具有相应的几何意义，如求分数最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等。若能通过图象直观明了地利用其几何意义，便有助于最值问题的解决。
。
分析：求最小值，即求的最大值。
如图，而看作两点A（x，y）与B（－1，0）的斜率。
故等价于在椭圆上找一点A，使它与B连线斜率最大。
设AB方程为y=k（x+1）
( 4k2+1)x2+(8k2－8k－4)x+(4k2－8k+4)=0
由△=(8k2－8k－4) 2－4(4k2+1)(4k2－8k+4)=0，得
（舍）或，
。
点评：数形结合的思想方法是解析几何中最重要的思想方法之一。在解决求最值问题时，我们应先从几何的直观图形出发，根据图形的几何性质洞察最值出现的位置，再从代数运算入手，建立某种几何量的代数表达式，然后利用解决代数问题的最值方法解决问题。
五、不等式 避繁就简更有效
有些圆锥曲线最值问题运用常规解法非常繁琐，如果利用均值不等式性质定理来解就能够很好地简化过程，有效地完成求解目标。但在运用不等式时要先将目标函数配凑成积（或和）为定值的形式，这种恒等变形是使用最值定理的重要前提。
例5：如图所示，A、F分别是椭圆
长轴顶点和对应焦点，位于x轴正半轴上的动点T(t,0)与F的连线交射线OA于Q，求（1）点A、F的坐标和直线TQ的方程；
（2）△OTQ的面积S关于t的函数S=f(t)及其最小值。
分析：（1）椭圆中心(1,－1)，a=4，b=2
c=2，点A(1,3)、F(1,1)；直线TQ即直线TF，
所求l:x=1(t=1)或。
（2）当t=1时，；
当t≠1时，由
当且仅当时等号成立。
即所求S=f(t)=，
利用均值不等式求最值，有时要用“配凑法”，这种方法是一种技巧。在利用均值不等式时，要注意满足三个条件：（1）每一项要取正值；（2）不等式的一边为常数；（3）等号能够成立。其中正确应用 “等号成立”的条件是这种方法关键。
综上所述，解决圆锥曲线中的最值问题，要注意联系圆锥曲线的定义和性质，重视运用数形结合，将问题转化为一定的函数关系或不等式进行讨论。概括来说：先根据题设条件，恰当选择某个与目标密切相关的自变量，并确定目标函数的解析式；在充分考虑函数的定义域、不等式的最值条件等前提下，运用函数的单调性、均值不等式定理及其推论等进行分类讨论。
论文作者:黄如耀
论文发表刊物:《中小学教育》2018年8月
论文发表时间:2018/7/11
标签：函数论文; 圆锥曲线论文; 不等式论文; 椭圆论文; 几何论文; 等号论文; 距离论文; 《中小学教育》2018年8月论文;