谈“排列组合”教学中培养学生的思维品质，本文主要内容关键词为：培养学生论文,思维论文,品质论文,排列组合论文,教学中论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
“排列组合”是中学数学中较为独特的部分，内容独特、解题方法灵活多样，是培养学生思维品质的好教材。下面结合本人的教学实践，谈谈在这部分内容的教学中，如何培养学生的思维品质。
1 一题多解，培养思维的广阔性
一个问题，若能引导、鼓励学生从不同角度出发，多方探求，将会使学生思维宽广，促进思维横向拓宽。
例1 从6名运动员中选出4人参加接力比赛，其中甲、 乙都不跑第一棒，共有多少种参赛方案？
解一：从特殊元素出发，分成三类。
第一类，甲、乙都不参加，有P[4][,4]种方案。
第二类，甲、乙中有一人参加，跑第二、三、四棒的某一棒，其余由甲、乙以外的4人中选出3人完成，有C[1][,2]P[1][,3]P[3][,4]种方案。
第三类：甲、乙都参加，跑第二、三、四棒的某两棒，剩下两棒由甲、乙以外的4人中选出2人完成，有P[2][,3]P[2][,4]种方案。
由加法原理，所求方案有P[4][,4]＋C[1][,2]P[1][,3]P[3][,4]＋P[2][,3]P[2][,4]＝240（种）。
解二：从特殊位置出发，第一棒由甲、乙以外的4人中选出1人，有P[1][,4]种方法；其余三棒由剩下的5人中选出3人来完成，有P[3][,5]种方法，由乘法原理，所求方案有
P[1][,4]P[3][,5]＝240（种）。
解三：间接法。从没有附加条件的方案P[4][,6]种中，减去甲、乙跑第一棒的方法2P[3][,5]得P[4][,6]－2P[3][,5]＝240（种）。
2 一题多变，培养思维的灵活性
对一些典型的问题，在学生已掌握其解题思路、方法后，还应有目的地研究问题的变式，克服思维定势的消极影响，根据新的条件、结论，寻求新的思路、方法，增强思维的灵活性，培养应变能力。
例2 书架上有4本不同的数学书，5本不同的物理书，3本不同的化学书，全部排成一排，如果不使同类书分开，共有几种不同的排法。（高中《代数》下册，P257第11题）
本题是典型的利用捆绑法解题的题目，在学生掌握了这种解法后进行如下的变式训练。
上面这些书，在下列的情形下，各有几种不同的排法？
（1）全部排成一排，不使同类书分开， 且数学书在物理书的左边；
（2）每类书各取2本排成一排，且不使同类书分开；
（3）每类书各取2本排成一排，且数学书之间恰有一本物理书（不能有化学书）。
通过变式，把问题加深一步，然后启发学生根据新的条件得出答案分别为
（1）P[3][,3]P[4][,4]P[5][,5]P[3][,3]/2＝51840；
（2）P[2][,4]P[2][,3]P[2][,5]P[3][,3]＝8640；
（3）C[2][,4]C[2][,5]C[2][,3]P[2][,2]P[1][,2]P[4][ ,4] ＝15780。
3 剖析错误，培养思维的批判性
排列组合的问题，由于分析方面的疏忽，解答时容易重复或遗漏。对各种典型错误，一定要引导学生剖析，培养学生思维的批判性，提高学生的纠错能力。
例3 若100件产品中有2件次品，从中抽取3件进行检查， 抽取的3件产品中至少有1件是次品的抽法有几种？（高中《代数》下册， P242例4）。
错解：先从2件次品中抽取1件，有C[1][,2] 种方法， 再从剩下的99件中抽取2件，有C[2][,99]种方法，这时可能抽到正品，也可能抽到次品，但已经至少有1件次品了，由乘法原理得所求方法有C[1][,2]C[2][,99]＝9702（种）。
为了帮助学生弄清错误的原因，在不改变问题性质的情况下，引导学生采取复杂问题简单化的方法。把问题改为：4件产品中有2件次品，任意抽取2件，至少有1件次品的抽法有几种？若按上面的解法， 应为C[1][,2]C[1][,3]＝6（种），即设4件产品为A、B、C、D，其中A、B 为次品，按照上面的思考方法，第一步在A、B中任取一种，第二步在剩下的3件中任取一种，得到如下6件抽取的方法：｛A、B｝、｛A、C｝、｛A、D｝、｛B、A｝、｛B、C｝、｛B、D｝。
通过以上分析，出现错误的原因就很明显了。第一步取A、 第二步取B与第一步取B、第二步取A是同一组合， 但在前面计算中被当作不同的组合，重复计算了，于是例3的错误在于抽取的3件中，两次都是次品的抽法C[2][,2]C[1][,98]重复计算了，故正确答案应为
C[1][,2]C[2][,99]－C[2][,2]C[1][,98]＝9604（种）。
4 注重联想，培养思维的创造性
联想是思维的翅膀，丰富多彩的联想孕育着创新的智慧、创造的楔机，引导学生积极、广泛地联想，从新知识联想到旧知识，从特殊联想到一般、由此及彼，有利于培养学生思维的创造性，提高学生分析问题解决问题的能力。
例4 空间n个点，其中n－1个点在同一个圆上，另一个点在这个圆所在的平面外，连结任意两点，共有多少对异面直线？
联想到这些线段组成的图形可以看成n－1棱锥的棱和底面对角线，问题转化为如何计算这个棱锥中棱和底面对角线成异面直线的对数。
分析一：由一般联想到特殊，最简单的三棱锥的六条棱中有3 对异面直线，再想到这n个点可组成多少个三棱锥， 这些三棱锥之间的异面直线不重复，于是得到所求异面直线的对数为3C[3][,n－1]。
分析二：联想到异面直线的判定方法：过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。启发学生从这n－1棱锥的一条侧棱出发，在圆所在平面内找到和这条侧棱成异面直线的有C[2][,n－2]条（包括棱锥底面多边形的对角线），而侧棱共有n－1条，于是共有异面直线对数为
（n－1）C[2][,n－1]＝3C[3][,n－1]。
分析三：再启发学生从棱锥底面的一条直线（底面的棱或对角线所在直线）出发，找出与该直线异面的侧棱有n－3条，从而得到所求的异面直线对数为
（n－3）C[2][,n－1]＝3C[3][,n－1]。
另一方面，还可从题目的拓广展开联想：把问题中的圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否一样？由上面分析不难得出答案是肯定的。
5 题组类比，培养思维的深刻性
排列组合的问题，不少表面相似，解法相似，学生容易出错，且常常不知错在何处。为此，可通过选编题组，使用类比的方法引导学生学会从问题之间的联系和区别来理解、思考问题，把握问题的本质，培养学生思维的深刻性。
例5 4个男同学和4个女同学站成一排，下列情形各有几种排法？
（1）女同学不相邻；（2）男女相间；
（3）女同学从左到右必须由低到高。
通过这组问题的类比，分清男女相间是女同学不相邻的特殊情形，前两题中女同学之间的排列顺序可交换，最后一题女同学之间的排列顺序不能交换，从而得到答案分别为（1）P[4][,4]P[4][,5]；（2）2P[4][,4]P[4][,4]；（3）P[8][,8]/P[4][,4]。
培养学生的思维品质，是中学数学教学重要目的，思维的广阔性、灵活性、批判性、创造性深刻性等品质，虽有区别，但也互相联系、互相渗透，在平常教学中要有机地结合进行，更重要的是要采用启发式教学，让学生多想、多练、引导学生探究，充分发挥学生的主观能动作用，发展学生的思维能力。