“启发——创新”教育模式建构——教育建模的案例分析，本文主要内容关键词为：建模论文,案例分析论文,启发论文,模式论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
怎样建构教育模式，是广大教育工作者普遍关心的问题。笔者对此课题进行了长期研究。（注：查有梁：《教育模式》，教育科学出版社1993、1994、1996年版。）（注：查有梁：《论教育模式建构》，《教育研究》1997年第6期。）（注：查有梁：《教育建模》， 广西教育出版社1998年11月版。）本文以“启发—创新”教育模式的建构为例，具体说明怎样建构教育模式。
一、“启发—创新”教育模式提出的文化渊源
（一）对“悟”的领悟
经济合作与发展组织（OECD）将知识分为两大类：一类是编码化知识（Codified knowledge）；一类是隐含经验类知识（Tacit knowledge）。（注：经济合作与发展组织（OECD）编，杨宏进、薛澜译：《以知识为基础的经济》，机械工业出版社1998年修订版。）英语Codify的释义是：an ordered system;to reduce to code.其意思是：整理成系统，简化为代码。编码化知识，是指外显的、可言传、可编码的知识。英语Tacit的释义是：expressed or understood without being putinto words;not spoken or written.其意思是：不能用语言来表示或理解，说不出来，写不出来。隐含经验类知识，是指内隐的、意会的经验类知识。以上两大类知识是互补的，共同构成较为完整的知识。
经济合作与发展组织认为：“为了有利于经济分析，可以把各种不同的知识加以区分，这对知识经济是很重要的。知识可以分成：知道是什么的知识（Know-what），知道为什么的知识（Know-why）， 知道怎么样做的知识（Know-how）和知道是谁的知识（Know-who）。知识的概念比信息要宽广得多。信息一般是知识的（Know-what）和（Know- why）范畴。这些也是最接近市场商品和适合于经济生产函数中经济资源的知识类型。其他类型的知识特别是（Know-how）和（Know-who）方面的知识，是属于‘隐含经验类知识’（Tacit Knowledge）， 更难于编码化和度量。”（注：经济合作与发展组织（OECD）编，杨宏进、薛澜译：《以知识为基础的经济》，机械工业出版社1998年修订版，第6页。）
“学习的一个基本方面是将隐含经验类知识转化为编码化的知识并应用于实践，进而又发展出新的隐含经验类知识。”（注：经济合作与发展组织（OECD）编，杨宏进、薛澜译：《以知识为基础的经济》，机械工业出版社1998年修订版，第10页。）笔者以为，一个学习者能将隐含的经验类知识转化为外显的编码化知识，这就是“悟”；反之，能将外显的编码化知识转化为新的隐含的经验类知识，这也是“悟”。简言之，将不可言传的知识转化为可以言传的知识，这就是“悟”；反之亦然。“悟”包括领悟、渐悟、顿悟、觉悟等等。“顿悟”就是“灵感”，这是研究创造性思维的重要课题。可以这样说：没有“悟”，就没有创新；有了“悟”，才可能有创新。
（二）老子的“有无”
老子《道德经》第一章就阐发了“悟”的道理：“道可道，非常道；名可名，非常名。无名，天地之始；有名，万物之母。故常无，欲以观其妙；常有，欲以观其微。此两者，同出而异名，同谓之玄。玄之又玄：众妙之门。”（注：老子：《道德经·上编一章》。）
上述经典论述可以理解为：可以言传的规律，不是永恒的规律。可以命名的概念，不是永恒的概念。不可言传的“无”，是天地之始；（宇宙开始之时，没有人，那时没有什么可以言传的东西。）可以言传的“有”，是万物之母。（有了可言传的知识后，人们就可不断创造出新的东西。）从不可言传的“无”中，去体验道的奥妙；从可以言传的“有”中，去观照道的端倪。不可言传的“无”和可以言传的“有”，两者有同一来源而名称不同，都很幽深。从不可言传到可以言传，从可以言传到不可言传，是取得一切智慧总的门径。
在这里，老子告诉了我们有两大类知识，要学会“悟”。
（三）孔子的“愤悱”
孔子在《论语》中进一步指出了“悟”的边缘状态是“愤”“悱”。由此，孔子阐述了他的启发式教学的精髓：“不愤不启，不悱不发。”（注：《论语·述而篇第七》。）学习时，学生心求通而尚未通，谓之“愤”；口欲言而未能言，谓之“悱”。
孔子强调：不到学生心求通而尚未通之时，不启迪他；不到学生口欲言而未能言之时，不开导他。就是说，要先让学生达到“愤”“悱”这种边缘状态，然后启发、开导，才能促使学生“领悟”，即由不可言传达到可以言传；由可以言传达到新的不可言传。
通前人未通之理，言前人未言之言，悟前人未悟之悟——这才是创新。按照创新的过程进行教学，这也是创新。启发与创新是密切相关的。
学生将隐含的经验类知识转化为外显的编码化知识，这就是“悟”。通俗地说，从不可言传达到可以言传，即是“悟”。“悟”的边缘状态，即是“愤悱”——“不愤不启，不悱不发。”这是启发式的精髓。有人或许会说：从不可言传到可以言传，较易理解；从可以言传到不可言传，则较为费解。其实，两者是对称的。
（四）陶潜的“忘言”
陶渊明先生有一首诗，可以作为一个旁证。
《饮酒》之五
结庐在人境，而无车马喧。／问君何能尔，心远地自偏。／采菊东篱下，悠然见南山。／山气日夕佳，飞鸟相与还。／此中有真意，欲辨已忘言。
下面，将这首古诗译为现代诗：
盖座草庐在尘世间，却听不到车鸣马喧。／问他何能如此自然？心地开阔，自会感到偏远。／在东篱之下，采摘菊花，悠然间却看到了南山。／山气夕阳傍晚，真是佳妙，成群的飞鸟纷纷归还。／这里隐含自然的真谤，想要辨明却忘记了表达的语言。
笔者用一首短诗对陶渊明的诗，作一评论：“短短五句诗，奥妙已全然。人境随心转，天机不可言。”陶渊明是擅长语言的大师，他领会了自然的真谛，却“欲辨已忘言”。即是从可以言传的诗句，转化为不可言传的奥秘。这难道不是一种“悟”吗？而且是一种很深刻的“悟”。此时无言胜有言。
（五）玻尔的“互补”
偏爱中国道家阴阳太极图的、20世纪杰出的物理学家玻尔， 于1927年提出“互补原理”：“在描述自然时， 必须将互斥而又互补的概念结合在一起，才能形成对现象的完备描述。”（注：查有梁：《牛顿力学的横向研究》，四川教育出版社1987年版，第193页。 ）“阴阳互补”这是中国道家的一种重要的思维模式，有普遍的应用价值。
在教学中，往往十分重视外显的编码化知识，而常常忽视隐含的经验类知识；至于两大类知识间的相互转化，更是缺乏系统研究。其实，两大类知识是“互补”的。
从知识论看：康德在《纯粹理性批判》中指出：关于知识的起源，有理性论与经验论之争。在古代希腊，柏拉图是理性论的代表人物；亚里士多德则是经验论的代表人物。在近代西方，这两派的代表人物则分别是莱布尼兹和洛克。（注：〔德〕康德著，蓝公武译：《纯粹理性批判》，商务印书馆1997年版，第582页。）受其影响，在教育界的代表人物则分别是赫尔巴特和杜威。现在我们知道：理性论与经验论应该是互补的。
从教育史看：实质主义的教育论，将知识作为目的；形式主义的教育论，将知识作为手段。前者重视外显的编码化知识，后者则较重视隐含的经验类知识。其实，从系统科学的大教育观看，知识既是目的，又是手段。两大类知识是互补的，都是不可或缺的。
从教学论看：理性主义教学论，重视系统的书本知识；经验主义教学论，重视实用的经验知识。其实，从系统科学的大教育观看，应该既重视书本知识，又重视经验知识。因为两大类知识是互补的，是相互促进、相互转化的。
从智力论看：智力主义教育论，重视人的智商；非智力主义教育论，重视人的情商。前者重视外显的编码化知识，后者重视隐含的经验类知识。其实，从系统科学的大教育观看，应该既重视智商，又重视情商。因为两大类知识是互补的，缺一不可。
从文化论看：科学主义教育观，重视系统传授科学知识；人文主义教育观，重视陶冶发展个人情感。其实，从系统科学的大教育观看，科学主义教育观与人文主义教育观必须互补，两者需要融合。
从脑科学看：应将两大类知识互补起来，既要开发左脑，又要开发右脑。左脑主管逻辑思维，是语言、数学思维，是可以言传的思维；右脑主管形象思维，是非语言、非数学思维，是不可言传的思维。左脑、右脑是互补的。全脑开发，才能使人更具有创造性。
“启发—创新”教育模式必须将两大类知识互补起来。要将理性与经验、实质与形式、系统与实用、智力与非智力、科学与人文、左脑与右脑等等“互补”起来、联系起来。
二、“启发—创新”教育模式的建构与几个实例
（一）“启发——创新”的主要特征
“启发—创新”教育模式的主要特征，是要通过问题思考，让学生达到“愤悱”状态，即“心求通而尚未通，口欲言而未能言”的状态。这就是孔子所强调的“不愤不启，不悱不发”。对于创新性的研究而言，“愤悱”状态是一个较长的过程。爱因斯坦16岁时思考这样一个问题：“如果我以速度C（真空中的光速）追随一条光线运动， 那么我应当看到什么？”“经过十年沉思以后”，爱因斯坦终于解决了上述问题及其引起的悖论，从而创立了狭义相对论。（注：许良英等编译：《爱因斯坦文集》第1卷，商务印书馆1977年版，第24页。）我们教学狭义相对论时，按照“启发—创新”教育模式，也应当让学生达到“愤悱”状态。当然，学生处于“愤悱”状态的时间，不可能像爱因斯坦创立狭义相对论那样长达10年。但是也应当有一段时间处于“愤悱”状态，其时间的长短，取决于提出怎样的问题，以及学生的实际水平。对于中学生、大学生、研究生，这些不同水平的教育对象，“问题的提法”与“愤悱”状态的长短，显然是有差别的，这需要具体情况具体处理。
[实例1]牛顿万有引力定律
开普勒行星运动三定律发现后，便有不少人猜想天体间存在引力作用。1645年法国天文学家布里阿尔德奥第一次提出了引力与距离的平方成反比的假设。根据类比，光的强度与光源的距离平方成反比，声音的强度同样与距声源的距离平方成反比。为什么引力就不会是这样呢？牛顿认为地球的引力应是向各个方向传播，球的表面积为4πR[2]， 重力加速度g实际上表征了引力的强度，如果引力的大小与R[2]成反比， 即g的大小必与R[2]成反比。牛顿首先根据月球的运动来验证上述想法。
在教学中，首先要让学生感受光的强度与光源的距离平方成反比，对于上述类比，有一定直接感受；然后思考和计算：月球运动的向心加速度，是否是地球引力提供的，用距离平方反比律加以比较。学生达到“愤悱”状态，反复尝试之后，再作如下讲解：（注：查有梁：《牛顿力学与星际航行》，四川科学技术出版社1991年版，第69～77页。）
假定月球轨道为圆形轨道。根据天文观测，从地心到地面的距离为R＝6350公里，从地心到月球的距离r＝384,000公里。换句话说， 月球到地球的距离约等于地球半径的60倍，即r＝60R。若用g表示地球表面处的重力加速度，用g′表示在月球那样的距离上地球的重力加速度。根据重力加速度的大小与距离平方成反比的假设，则有
gr[2] R[2]
──＝─── 即 g′＝───g
g′
R[2] r[2]
将r＝60R，以及g＝9.80米／秒[2]，代入上式得
g′＝0.273×10[-3]（米／秒[2]）
另一方面，根据月球绕地球运行的周期T＝27.3日， 和月球到地球
的距离r＝384,000千米，由惠更斯公式，可求出向心加速度w为w＝
4π[2]r
T[2]
。代入数字计算得
w＝0.273×10[-3]（米／秒[2]）
得g′＝w＝0.273×10[-3]米／秒[2]，这就回答了牛顿提出的问题：重力能够传递到月球。使地球上所有物体（例如苹果）落向地球中心的力，就是使月球作圆周运动的向心力。这就以一个具体的实例证明了万有引力定律。牛顿应用万有引力定律，对行星的运动等等一系列观测事实进行计算都证明了万有引力定律是正确的，从而归纳出万有引力定律是宇宙的一个普遍规律。
[实例2]优秀教师教学素质研究
从课堂教学看，什么样的教师是优秀教师？教师、学生、校长、家长的看法有共同点，也有不同点。就是在小学、中学、大学不同年级的学生中调查，看法也不尽相同。教师最重要的是要听取学生的意见。笔者设计了一份问卷，一共40条，请被调查者在40条中，选出他认为最重要的10条。问卷如下：
B01. 普通话讲得好
B02. 板书优美
B03. 讲课富有感情
B04. 语言幽默
B05. 逻辑性强
B06. 善于从形象到抽象
B07. 善于让学生走出困境
B08. 演示清楚明白
B09. 能很好地调节课堂气氛
B10. 讲课由浅入深，引人入胜
B11. 上课要求严格
B12. 善于因材施教
B13. 关怀后进学生
B14. 能诚恳接受学生意见
B15. 备课认真，教案清晰
B16. 讲课有艺术性
B17. 重视学科的交叉、渗透
B18. 讲课重视前后联系，形成整体
B19. 讲解有历史感
B20. 能适时变换教法
B21. 善于启发学生思考
B22. 重视学生参与
B23. 讲课生动活泼
B24. 态度和蔼可亲
B25. 能激发学生兴趣
B26. 善于应用各种教学媒体
B27. 善于将新知识充实到课堂中
B28. 指导学生不断改进学法
B29. 不夸耀自己，不贬低别人
B30. 让学生有议论的时间
B31. 能机智地处理偶发事件
B32. 能分层次指导学生
B33. 善于提出好的问题
B34. 能满意地回答学生的问题
B35. 讲课内容丰富、有针对性
B36. 能从学生实际出发，节奏适宜
B37. 开场白、结束语很有特色
B38. 重视将新技术应用到课堂中
B39. 课堂教学模式多种多样
B40. 教学有创新
在培训青年教师时，笔者首先出一题目：“设计一张问卷，要检查优秀教师在教学中应具备的素质。”让每一位青年教师处于“愤悱”状态，时间约40分钟。然后，再将笔者设计的问卷，让每个教师回答，具体感受一下怎样从40条中，选出相对重要的10条。下面是一次上课中，笔者的调查统计。
优秀学科教师素质调查之一
（1998年7月14日，成都市，优秀青年教师72人）
顺序 编号 项 目 百分比
1 B21 善于启发学生思考 88%
2 B22 重视学生参与 80%
3 B28 指导学生不断改进学法 78%
4 B12 善于因材施教 76%
5 B25 能激发学生兴趣
74%
6 B03 讲课富有感情 66%
7 B10 讲课由浅入深,引人入胜56%
8 B40 教学有创新
54%
9 B05 逻辑性强 48%
10 B09 能很好地调节课堂气氛 46%
上述结果，当堂统计出来后，请每一位青年教师将自己的看法与统计出来的“民意调查”结果相比较。这时，每一位青年教师可以从上述“可以言传”的条目中，体会到一些“不可言传”或“未能言传”的感受。将自己教的学生的“民意调查”结果，认真分析，同样可从“可以言传”的条目中，领悟一些“不可言传”或“未能言传”的体会。
显然，上述40条，条条都是需要的；但是，每位教师应当针对学生“民意调查”的结果，着重在大多数学生期望的项目上，努力提高自身的素质。这是提高教师素质的一种有效途径和方法。提高教师素质是一个动态过程，永无止境，需要不断启发和创新。
（二）“启发——创新”的基本过程
“启发——创新”教育模式有如下五个不可或缺的基本过程。
过程A：感性体验。让学生获得内隐的、意会的、经验的、 不可言传的知识。简言之，就是要获得感性认识。如果学生已具备有关知识的感性体验，则可缩短这一过程的时间。
过程B：问题思索。教师设计问题，合理安排时间， 激励学生思维；学生思考问题，查阅有关资料，尝试解决问题。这一过程中，必须选一个恰当的时间，让学生处于“愤悱”状态。目的不在于学生能否解决问题，而在于学生积极思考问题。处于“愤悱”状态的时间，既不能太长，也不能太短。时间长短由学生的实际和问题的深浅灵活确定。这一过程，简言之就是要让学生获得“问题认识”。
过程C：理性讲授。让学生获得外显的、文字的、编码的、 可以言传的知识。简言之就是获得理性认识。是否掌握了这一理性认识，尚需要让学生加以具体应用，教师给予反馈评价。
过程D：具体应用。应用获得的理性认识去解决问题， 以巩固理性认识，深化问题认识。问题思考与具体应用是同一类型的。
过程E：反馈评价。教师针对学生具体应用的结果， 及时给予反馈评价，使学生知道正确与否，从而深化理性认识。反馈评价与理性讲授是同一类型的。
上述五个过程整合起来，即是“启发—创新”教育模式的基本过程：
上述五个基本过程的顺序是可以“变换”的。其中A、B、C 是主要的过程，D、E是B、C的深化。在教学中若五个过程都有，且符合学生实际，就较好地体现了“启发—创新”教育模式的基本特征。相反，纯粹的A→A→A，就是经验式；B→B→B，就是问题式；C→C→C， 就是注入式，都不是“启发—创新”式。在具体实施“启发—创新”教育模式时，有更为具体的子模式群，例如：
1.感知→问题→讲授→练习→评价；
2.问题→发散→收敛→综合→创造；
3.渗透→模仿→内化→审美→创新；
4.激趣→讲解→问题→反馈→矫正；
5.质疑→思索→研讨→练习→改错；
6.框架→问题→启发→讨论→评价；
7.整体→分析→组合→结构→转换；
8.问题→假设→推演→论证→反馈；
9.调查→分析→问题→研讨→总结；
10.提问→思考→答疑→练习→评价；
11.讲授→理解→巩固→运用→检查；
12.自学→解疑→练习→自评→反馈；
13.诱导→学习→讨论→练习→评价；
14.问题→探索→报告→答辩→评价。
“启发—创新”教育模式，在具体实施时，应当非常灵活，体现出“教育的智慧”，富有创新精神。但是最基本的三个过程（A、B、C ）应是不可或缺的。
[实例3]高中生作文练习题：“树·人生”
要求学生以“树·人生”为题，写一篇散文或诗歌，内容应当将科学精神与人文精神融合起来。
过程A：让学生到森林中去感受； 视听有关树和人生的音乐与影片。
过程C：讲述什么是科学精神与人文精神的融合。 使学生认识到：没有科学精神的人文精神，不是现代的人文精神；没有人文精神的科学精神，不是真正的科学精神。
过程B：让学生写一篇具有创新之意的散文或诗歌。 让学生处于“愤悱”状态，时间1～2小时。
过程C：以笔者自己写的《树·人生》为例，具体讲解。 达尔文在《物种起源》中，论述生物进化过程是一系列的“性状分歧”，从而画出进化过程像一棵“进化树”。（注：达尔文著，谢蕴贞译：《物种起源》，科学出版社1955年版，第78～80页。）于是使我产生“灵感”，写出以下这首诗：
树·人生（注：查有梁：《教育诗：童心》，教育科学出版社1996年版，第28～29页。）
我看见树
就看见进化；
我看见树
就看见人生！
我看见树
就看见进化，
在临界点要分叉。
树枝向上伸展，
冒出新芽；
根须向下延串，
对称触发。
来自土地，又保护土地；
吸收空气，又净化空气；
聚集能量，又转化能量；
遗传信息，又变异信息。
我看见树
就看见人生，
在关节处要更新。
双手向上用劲，
敢于攀登；
双脚向下踏地，
基础打稳。
来自他人，又服务他人；
倾听声音，又发出声音；
提出问题，又解决问题；
学习作品，又写出作品。
我看见树
就看见进化；
我看见树
就看见人生！
这首诗以“进化”这一科学概念，将“树”与“人生”联系起来，体现了科学精神与人文精神的融合。这首诗的创新之处在于：看到树，即看到“生物的进化”和“人生的发展”。说出了别人可能想到，但不曾说出的诗句，这就是创新。从写出的诗句中，读者不难领悟出一些未能直接写出的思想。这就是从可以言传的诗句中，“悟”出不可言传的感受。
过程E：对学生的作文进行评价。让学生在听讲解后， 再修改作文。
[实例4] 祖冲之“缀术求π”
过程A：祖冲之的《缀术》是中国古代的一部杰出的数学著作， 可惜早已失传。在《隋书·律历志》上，记载了祖冲之应用“缀术”求出
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了圆周率π的约率为──，密率为───，求出了圆周率π的盈朒二
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限，朒数为3.1415926，盈数为3.1415927。祖冲之是怎样得到约率、密率、朒数、盈数，至今仍有不少令人迷惑不解之处。李约瑟写道：“关于这部失传的著作，还有一些没有揭开的谜。”“我们甚至不知道《缀术》这个书名的确切意义。”（注：李约瑟：《中国科学技术史》第3卷，科学出版社1978年版。）
许多数学家和数学史家认为，祖冲之是应用刘徽的“割圆术”求π的。在单位圆中（r＝1），从圆内接正六边形开始， 一直“割”到12288和24576边形，（注：钱宝琮主编：《中国数学史》，科学出版社1964年版。）（注：华罗庚：《从祖冲之的圆周率谈起》，人民教育出版社1964年版。）（注：Akira Kobori,Tsu Chung-Chih,Dictionary of Scientific Biography Vol.XⅢ,pp484～485.）（注：Ozawa Yasumi,Shimotsuma Yorikazu,A Study on the Accuracy of the Number π,ThirdInternational
Conference on the History of ChineseScience.）（注：梅荣照：《刘徽与祖冲之》，《科学史集刊》，地质出版社1984年版。）得到圆面积
S[,12288]=3.14159251
和 S[,24576]=3.14159262
应用刘徽不等式
S[,2n]〈π〈S[,2n]+(S[,2n]-S[,n]) （1）
令△S=S[,2n]-S[,n]，则有
S[,2n]〈π〈S[,2n]+△S （2）
则得3.1415926〈π〈3.1415927
过程B：上述解释有如下四点困难，由此提出四大问题。
1.计算量相当巨大。华罗庚指出：“至少要对9位数反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内。”历代《九章算术》注中最多只记载了应用“割圆术”割到3072边形，没有割到24576边形的记载。 上述方法未能表明：祖冲之“缀术”之法何在？祖冲之有什么新贡献？
2.沈括在《梦溪笔谈》中指出，“缀术”与历法计算有关。在中国古代历法的计算中，发展了连分数一渐近分数、“调日法”、内插法等多种数学方法。仅仅用“割圆术”求π不能说明：“缀术”与历法计算有何联系？
3.秦九韶在《数书九章》中有“缀术推星”之法，他也是把“缀术”理解为一种内插法，中国古代数学中称之为招差术。上述方法也不能说明：“缀术”与内插法有什么关系？
4.约率、密率皆为圆周率π的渐近分数，这绝非偶然，如果祖冲之在计算约率、密率时应用了连分数一渐近分数，那么在计算朒数、盈数时为何仅仅用“割圆术”呢？
给学生讲课时，提出上述四个问题，让学生思考，并要求学生尝试对“缀术求π”给出一个新解。对不同年级的学生，留给的“愤悱”时间不等。作为数学活动课，可给一周时间。
过程C：应用刘徽的“割圆术”求π需五个产生式：勾股定理、 三角形面积公式、圆面积公式、开平方、刘徽不等式（或面积递推公式）。《隋书》上关于祖冲之的《缀术》写道：“指要精密，算式之最者也。所著书，名为缀术，学官莫能究其深奥，是故废而不理。”（注：《隋书·律历志》。）如果祖冲之应用“割圆术”求π，仅仅是多做了计算，对9位数字反复进行130次以上的各种计算，包括开方在内，这并非深奥。笔者认为，祖冲之的“缀术求π”一定有新的产生式。笔者还分析了上述求π的方法，在科学史上有一系列不能自圆其说的困难。（注：查有梁：《缀术求π新解》，《大自然探索》1986年第4期，第133 ～140页。）笔者认为，祖冲之的“缀术求π”， 除了包括刘徽“割圆术”的五个产生式外，还发展和应用了五个产生式：辗转相除法、连分数计算、渐近分数、弓形近似公式、祖冲之不等式（逼近公式）。祖冲之不等式表示为：
1
6
S[,2n]+──△S〈π〈S[,2n]+──△S （3）
3
17
4 1 23 6
即──S[,2n]－──S[,n]〈π〈──S[,2n]－──S[,n]
（4）
3 3 17 17
S[,3072]＝3.14159046
S[,1536]＝3.14158389
1
S[,3072]+──(S[,3072]-S[,1536])=3.1415926（朒率）
3
6
S[,3072]+──(S[,3072]-S[,1536])=3.1415927（盈率）
17
可见，完全用不着计算到圆内接正24576边形， 只需应用“割圆术”计算到圆内接正3072边形，并应用“缀术”即可求出朒率和盈率。在《九章算术》注中又恰恰提到过3072边形，这是对笔者新解释的强有力的支持。（注：笔者在美国加州大学圣迭戈分校“中国科学史报告会”（1985.8.）上报告了论文：《祖冲之“缀术求π”的新研究》（英文），收入程贞一主编：《中华科技史文集》（英文），新加坡世界科学出版社1986年版，第77～85页。）（注：查有梁：《牛顿力学的横向研究》，四川教育出版社1987年版，第234～254页。）上述教学过程，体现了“启发—创新”教育模式的基本精神：既要启发，又要创新。通过启发去创新，通过创新去启发。
（三）“启发—创新”的简要表述
“启发—创新”教育模式的目的，是要生动、主动地给予学生比较完全的知识。在教育过程中，一定要使学生达到“愤悱”状态，从而启发之；要按照知识创新的过程，提出问题，使学生去尝试创新、感受创新、从而理解创新。没有启发，就没有创新；没有创新，就没有启发。启发与创新，不可分割地联系在一起。没有启发的创新和没有创新的启发都是不可想像的。启发和创新的方式是多种多样的，因而“启发—创新”教育模式的具体实施过程也多种多样。“启发—创新”没有一个一成不变的刻板模式，它是变化的、丰富的、多样的；但是，变化中又有其“不变性”，那就是它总要或长或短、或隐或现地包含三个基本过程：感性体验过程、问题思索过程、理性讲授过程。灵活应用“启发—创新”教育模式的关键在于，要将历史与逻辑统一起来，要将系统与实例统一起来，要将理性与经验统一起来。从微观上说，既要开发左脑，又要开发右脑。评价教学中是否体现“启发—创新”，其判断依据是：
1.教师的教案：逻辑简明，贯穿历史，前后联系，形成整体。
2.教师的讲课：问题鲜明，启发思考，要言不繁，促进创造。
3.教师的教法：恰当变换，富有情感，充满智慧，体现发展。
4.学生的状态：主动思考，感受愤悱，积极议论，热情创新。
5.学生的学法：独立思考，认真领悟，勇于质疑，参与操作。
6.学生的作业：思路清晰，掌握要领，勇于尝试，有错即改。
[实例5] 优秀教师素质研究
1998年3月6日，我为“成都市骨干教师研修班”的一百多名教师讲课，题目是“优秀教师素质研究”。我首先提出以下20个问题，要求每一位教师一一作出回答。我首先让每位教师处于“愤悱”状态，然后，再针对他们的回答进行讲述。
教师水平的调查问题
01.对您影响很大的教育论著有哪三本?(教材除外,写出作者、书名.)
02.在您所教学科中，对您影响很大的专业论著有哪三本?(教材除外,
写出作者、书名.)
03.您认为教师最重要的师德有哪三点?
04.您喜欢的教育名言是哪三句?
05.您认为学生最不喜欢的教师有哪三项缺点?
06.您最喜欢的老师对您影响很深的有哪三条?
07.您给学生的鼓励性的赠言有哪三句?
08.您最满意的论文或论著是哪三篇(本)?
09.您在教学中好的经验有哪三点?
10.您经常采用的教学艺术有哪三项?
11.您经常采用的教学技术有哪三项?
12.您经常采用的教学模式有哪三种?
13.您认为优秀教师最重要的素质有哪三条?
14.您认为优秀校长最重要的素质有哪三条?
15.您认为优秀家长最重要的素质有哪三条?
16.您认为优秀学生最重要的素质有哪三条?
17.您对品德不良的学生常常采用的教育策略有哪三点?
18.您对成绩很差的学生常常采用的教学策略有哪三点?
19.您对心理素质差的学生常采用的教育策略有哪三点?
20.您认为理想的学校至少应具备哪三个条件?
40分钟后，收了答卷68份，有的未交卷，有的答卷只回答了部分问题。显然，这40分钟内，几乎全体教师都处于“愤悱”状态：心求通而尚未通，口欲言而未能言。收上答卷后，念了几份，边念边评，借题发挥。其中有一份答卷答得很好，当堂念后，复印给每位教师参考。我预先印了自己的答卷，课后才发给教师们参考。启发—创新，要贯穿始终。
上述五个实例都说明：要按照启发的过程去创新，要按照创新的过程去启发。只有理解启发过程，才能理解创新过程；只有把握创新过程，才能把握启发过程。将“启发”与“创新”紧密结合起来，这是启发式教学的深化。从而建构起“启发—创新”教育模式。这是一种普适性较大的、行之有效的教育模式之一。
三、“启发—创新”教育模式的认识论根据
（一）一般认识论的根据
实践论、矛盾论、过程论三者是统一的，统一为一般认识论。从过程论的观点来分析认识论，如图1所示：
图1 一般认识论的过程论
从图1可知，人类的认识来源于实践， 通过实践人们首先认识事物的个性（或特殊性），进而才由浅入深地认识事物的共性（或一般性）。人们在认识事物的个性与共性的基础上，建立理论。在理论的指导下进行新的实践。（这里的实践是在理论指导下达到的更高层次，不是简单的、没有新意的回复。）新的实践又产生新的理论，从而又指导更新的实践。如此循环往复，不断进化，这便是一般认识论的整个过程。
这一完整的认识论过程，充分表现出唯物论、辩证法、进化论三者是不可分割的整体，是统一的。图中每一方框都可以用一组“状态”量来描述，每一箭头都表示某一过程，过程与状态是对立统一的一对范畴。事物特性的量度或描述，则表征状态；事物状态的变化，即是过程。从状态与过程的深化来看过程论，可以认为过程论即认识论的进化论。
一般认识论表明：理性认识依赖于感性认识，感性认识有待于发展到理性认识。从感性认识到理性认识是一次“飞跃”；从理性认识到具体实践又是一次“飞跃”。这就是辩证唯物论的认识论。也即是“启发—创新”过程的认识论根据。两次“飞跃”，都伴随着“悟”；从“不可言传”到“可以言传”，从“可以言传”到更深的“不可言传”。对教育建模而言，十分重视两大类知识的转化过程：要让学生达到“愤悱”状态。这是“启发—创新”教育模式的关键所在。如果受教育者在教育过程中，不曾经历“愤悱”状态，就谈不上是“启发—创新”教育模式。启发过程是创新过程不可缺少的阶段，两者是一致的。由此可见，一般认识论是“启发—创新”教育模式的认识论根据之一。
（二）发生认识论的根据
皮亚杰的“发生认识论”，（注：〔瑞士〕J.皮亚杰著，王宪钿等译：《发生认识论原理》，商务印书馆1987年版，第26页。）从过程论的观点来分析，如图2所示：
图2 发生认识论的过程论
从图2可知，从认识的发生来看，儿童认识来源于活动， 活动是一种广义的实践。如果我们把实践仅仅理解为“生产斗争”“阶级斗争”“科学实验”，这就难以解释儿童认识的来源。因此，广义的实践理应包括人的一切活动。在活动的基础上，建立起认识的图式。人们总是用自己已经具有的图式去认识事物。如果一个事物能纳入已有的图式，这就是同化；反之，如果一个事物不能纳入已有的图式，就得调整改造已有的图式，这就是顺应（又译为调节）。主体能再建客体，客体符合主体结构，这种状态，即是同化与顺应的平衡。笔者根据现代系统科学所揭示的远离平衡状态才可能有序（进化）的原理，提出从平衡到远离平衡，从新的活动到建立新的图式，这样又达到新的平衡。如此循环往复，不断进化，这便是发生认识论的整个过程。
儿童认识的发展，显然是由“不可言传”发展到“可以言传”。儿童通过活动从感知中学习的知识，大多是只能意会，不能言传，或至少在当时儿童是“不可言传”的。所以，儿童通过活动建立起认知的“图式”是“不可言传”的，通过长期的语言学习，才逐渐由“不可言传”达到“可以言传”。“同化”“顺应”的过程也是由“不可言传”逐渐发展到“可以言传”，以及从“可以言传”中，又领悟更深的“不可言传”的感受。
儿童在学习过程中，通过感知、游戏，尝试去解决各种问题——这其中皆有“愤悱”状态。教师要自觉地应用“启发—创新”教育模式去引导、开悟。儿童的学习过程是从活动、感知入手，经过尝试，不断“同化”“顺应”，由“不可言传”逐渐达到“可以言传”。由此可见，发生认识论是“启发—创新”教育模式的认识论根据之一。
（三）发展认识论的根据
实践论、矛盾论、过程论三者统一为一般认识论。这是从哲学的高度概括了人类的认识规律，具有普遍性。一般认识论能包容特殊认识论；特殊认识论能丰富一般认识论。皮亚杰的发生认识论，着重在心理学的水平上概括儿童认识发生的规律，具有启发性，是认识论的深化。笔者在上述理论的基础上，提出发展认识论，着重在创造学的水平上，概括科学工作者进行创造性思维中的认识发展规律。从过程论的观点来分析发展认识论，如图3所示：
从图3可知，从认识的发展来看， 特别是从进行创造性思维的过程看，从解决未知的复杂问题的过程看，认识的基础是“经验”——这个经验有丰富的内容，而且其特点是整体的，而非个别的。这个“经验”既包括个体早期的各种活动所建立的图式，又包括个体在后期的各种社会实践中所获得的各种直接经验和间接经验。直接经验包括各种感觉、知觉及动作内化；间接经验包括各种形式的概念及理论结构。总之，经验应当理解为广义的、整体的。在解决问题的创造性思维过程中，一开始就得在经验的基础上应用直觉思维——其特点是整体的、跳跃的、猜测的、非逻辑的，是以知识的整体结构为根据的直接而迅速的认识。直觉思维与逻辑思维总是相互联系、相互补充的。直觉思维在创造性地解决问题中，关键的一环便是要认识学科的“结构”——就是该学科的基本概念、基本原理及它们之间的相互联系。没有掌握某一学科的结构，就难以解决该学科的未知问题。而各个学科的交叉、渗透，在分析基础上形成综合。这是解决较大问题所不可缺少的。可以说，没有综合就没有创造。在经验基础上，经过直觉、结构、综合，这是认识的深化过程，同时也伴随着创造的过程。在新的问题激励下，又经过“经验
直觉结构综合”过程，从而有新的创造。如此循环往复，不断进化，这便是发展认识论的整个过程。
图3 发展认识论的过程论
发展认识论揭示了“创新”的认识论过程。其中“经验”大多属于“隐含的经验类知识”。“直觉”阶段，正是处于“愤悱”状态之中：不断在进行跳跃、猜测、尝试的思维。形成“结构”和进行“综合”，表现为由“不可言传”已达到“可以言传”的飞跃，其结果表现出创新。科学家、文学家等创造的过程，都是在经验的基础上，经直觉、结构、综合，达到创新。由此可见，发展认识论，是“启发—创新”教育模式的认识论根据之一。
“启发—创新”教育模式，以“相似”和“压缩”的形式，展现了发展认识论的过程。说它“相似”，即教育过程与真实的发现、发明、创造过程不完全一样；说它是“压缩”，即真实的发现、发明、创造过程的“愤悱”状态很长，而教育过程中的“愤悱”状态较短——这正是人类进步的源泉。