时间趋势平稳性检验的带宽选择及其影响，本文主要内容关键词为：平稳论文,带宽论文,趋势论文,时间论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一、引言
我国季度实际国内生产总值（GDP）对数序列（LNGDP）①数据具有明显的时间趋势，而其差分序列D（LNGDP）数据则不存在明显的时间趋势。并且，通过图形可直观看出D（LNGDP）是由平稳过程生成，却不易直观看出LNGDP是由带漂移的单位根过程还是时间趋势平稳过程所生成。因此，对LNGDP序列的时间趋势平稳性检验就成为对LNGDP进一步研究的基础。
时间序列数据是由时间趋势平稳过程还是带漂移的单位根过程所生成，不仅是建立不同时序模型的前提，也是最容易混淆的两个特征。从Kwiatkowski等人（1992）[1]提出时间序列平稳性检验（KPSS）以来，该方法就成为一种普遍应用的方法，但是，近期的研究表明，这一方法存在着长期方差估计中带宽选择的问题，带宽选择是对其进行深入研究的前提和基础。在最初的研究中，Kwiatkowski等人（1992）采用了Bartlett核函数来得到长期方差的一致估计，核函数的带宽取为样本容量1/4次方的同阶无穷大量。最近的研究发现，带宽过大，长期方差就会被高估，检验统计量就会变小，导致检验的势变小；带宽过小并且序列高度自相关时，长期方差则会被低估且检验统计量会变大，检验的实际水平因此会大于名义水平，出现大于零的水平扭曲[2]。可见，带宽过大或过小，都可能产生不同的检验结论。因此，如何选择合适的带宽就成了KPSS检验结论是否正确的关键，这一问题的研究得到了研究者的广泛关注[1，2]。
Hobijn，Franses和Ooms（2004）采用了Bartlett核函数和Quadratic Spectral（QS）核函数，并应用Andrews（1991）[3]以及Newey和West（1994）[4]的方法，基于最小化均方误差（MSE）选择带宽，并给出了基于数据选择带宽的方法。该文作者通过仿真发现，基于最小化MSE选择带宽的检验比Kwiatkowski等人（1992）的检验有更好的有限样本性质。在目前常用的计量软件中，KPSS检验大多都是采用最小化MSE的方法选择带宽。
关于长期方差估计中核函数的带宽选择问题，还有学者将核函数的带宽设定为样本容量[5-9]。尽管该方法得不到长期方差的一致估计，但在原假设下却能得到渐近有效的检验。仿真结果表明，有限样本下，基于带宽与样本量相等的检验比基于长期方差一致估计的检验具有更小的水平扭曲，但检验的势却很小[5-9]。另外，Phillips、Sun和Jin（2005）[10]以稳健回归中的t检验为例，提出了一种基于最小化两类错误的概率来选择带宽的方法，并得到了无截断幂核函数（Power Kernel）的幂参数。Sun、Phillips和Jin（2008）[11]也通过最小化两类错误概率的方法得到了Bartlett和QS核函数的带宽。这种选择带宽的方法充分考虑了最小化两类错误的概率，即考虑了带宽选择对检验结果的影响，从检验角度优于基于最小化MSE的情形。
本文拟将基于最小化两类错误的概率选择带宽的思想引入KPSS检验；通过蒙特卡罗仿真实验，对基于最小化两类错误概率和基于最小化MSE选择带宽两种情况下KPSS检验的有限样本性质进行比较分析；最后，采用上述两种方法对中国季度实际GDP对数序列（LNGDP）的时间趋势平稳性进行检验，并分析带宽选择对检验结果的影响。
二、KPSS检验
Sun、Phillips和Jin（2008）以稳健回归中的t检验为例，提出了一种基于两类错误的概率来选择带宽的新方法，即利用两类错误概率的加权平均构造一个损失函数，然后通过最小化损失函数来选择带宽。由该方法得到的Bartlett和QS核函数的带宽分别是O（
）和O（
）。虽然该方法在估计角度可能不是最优的，但却充分考虑了最小化两类错误的概率，从检验的角度优于基于最小化MSE的情形。
由Andrews（1991）以及Kiefer和Vogelsang（2002a）的分析可知，当带宽为样本量的低阶无穷大量时，基于核函数估计的长期方差是一致估计。因此，当带宽分别为O（）和O（）时，基于Bartlett和QS核函数估计的长期方差都是一致估计。可见，基于最小化两类错误概率与基于最小化MSE选择带宽对长期方差进行估计的KPSS检验在原假设下的渐近分布相同[1，2]。
三、最优带宽及其有限样本性质
从以上分析中不难看出，时间趋势平稳性的KPSS检验是否能产生正确结论并且统计量具有良好的有限样本性质的关键是如何选择式（3）中的带宽。Sun、Phillips和Jin（2008）提出的基于最小化两类错误概率选择带宽的检验方法则充分考虑了带宽选择对检验结果的影响。本文采用Sun、Phillips和Jin（2008）的研究结论，并仿照Kwiatkowski等人（1992）的做法，将基于最小化两类错误概率选择的带宽取为样本量T的确定函数，具体将Bartlett和QS核函数的带宽分别取为
和
。
本节通过蒙特卡罗仿真实验比较基于最小化MSE和基于最小化两类错误概率选择带宽对长期方差进行估计两种情况下KPSS检验的有限样本性质。
（一）基于不同带宽选择的KPSS检验的经验临界值
检验的临界值采用有限样本下经验分布的临界值。对于不同的样本量T，分别用以下数据生成过程
通过50000次蒙特卡罗仿真，得到的样本量为T=25、50、100、200、300和500时，5%显著性水平下的经验临界值如表1所示。
由表1中的经验临界值可见，当样本量较大时，基于最小化两类错误概率的检验与基于最小化MSE的检验的经验临界值相近；而当样本量较小时，经验临界值出现扭曲。
（二）基于不同带宽选择的KPSS检验的有限样本性质
基于检验的经验临界值，应用蒙特卡罗仿真实验比较基于最小化MSE和基于最小化两类错误概率选择带宽对长期方差进行估计两种情况下KPSS检验的有限样本性质。
用于得到检验水平的数据生成过程设定为：
通过5000次蒙特卡罗仿真，得到的样本量为T=25、50、100、200、300、500时5%显著性水平下的检验水平和检验势如表2所示。为便于从整体上分析检验的有限样本性质，本文将检验水平和检验势放在同一表格中。
（三）不同带宽选择的KPSS检验有限样本性质的比较结果
由蒙特卡罗仿真结果可以得到以下结论：
首先，基于最小化两类错误概率的检验大多比基于最小化MSE的检验有更好的有限样本性质。此时，虽然基于最小化两类错误概率的检验的水平扭曲略大于基于最小化MSE的情形，但其却有更大的检验势。例如，当a=1，b=0并且ρ=0.9和T=50、200时，QS_l和B_l分别比QS和B有更大的水平扭曲和更大的检验势等等。并且，在ρ≤0.5的大多数情形下，基于最小化两类错误概率比基于最小化MSE的检验有更好的有限样本性质，即具有更小的水平扭曲和更大的检验势。例如，当a=0，b=0并且ρ=0、-0.5、-0.9和T=50、300、500时，QS_l和B_l分别比QS和B有更好的有限样本性质等等。
其次，在基于最小化MSE和最小化两类错误概率的检验中，采用Bartlett核函数的检验大多比采用QS核函数的检验有更好的有限样本性质。此时，虽然采用QS核函数比采用Bartlett核函数的检验具有更小的水平扭曲，但其检验势却更小。例如，当a=1，b=1并且ρ=0.9和T=50、200时，QS_l和QS分别比B_l和B有更小的水平扭曲和更小的检验势等等。并且，除T=500的基于最小化两类错误概率的情形之外，在ρ＜0.5的多数情形下，采用Bartlett核函数比采用QS核函数的检验有更好的有限样本性质。例如，当a=1，b=1并且ρ=-0.9和T=50、100、200时，B_l和B分别比QS_l和QS有更好的有限样本性质等等。
四、中国GDP的平稳性
本节对我国季度实际GDP对数序列（LNGDP）的时间趋势平稳性进行检验。运用1992年第一季度至2010年第四季度的居民消费价格指数（1992年第一季度为100）进行调整，得到季度实际GDP数据，再对该序列进行X12季节调整，然后对调整后的序列取自然对数，在此基础上进行检验。数据来源于中经网统计数据库。
由LNGDP序列及其一阶差分序列D（LNGDP）的图形可以看出，LNGDP序列存在时间趋势，D（LNGDP）序列存在截距但不存在时间趋势。因此，本文对LNGDP序列采用带截距项和趋势项的KPSS检验，对D（LNGDP）序列采用带截距项的KPSS检验。
对LNGDP和D（LNGDP）序列进行KPSS检验。基于最小化MSE的KPSS检验表明LNGDP和D（LNGDP）都服从平稳过程，即LNGDP服从趋势平稳过程；而基于最小化两类错误概率的KPSS检验表明LNGDP服从带漂移的单位根过程，D（LNGDP）服从平稳过程，即认为LNGDP服从带漂移的I（1）过程。因此，基于最小化MSE和最小化两类错误概率的KPSS检验对LNGDP序列的时间平稳性检验得到的结论截然相反。
鉴于此，本文又采用常用的ADF检验和PP检验对LNGDP和D（LNGDP）序列的平稳性分别进行检验。ADF和PP检验对LNGDP检验统计量的值分别为-2.94和-3.01，临界值都是-3.47，两种检验都认为LNGDP服从带漂移的单位根过程；对D（LNGDP）检验统计量的值分别为-6.69和-6.67，临界值都是-2.90，两种检验都认为D（LNGDP）序列服从平稳过程。因此，ADF检验和PP检验对LNGDP和D（LNG-DP）序列平稳性检验的结果与基于最小化两类错误概率的KPSS检验的结果一致，即认为LNGDP服从带漂移的I（1）过程。
为加强检验结论的准确性，基于对LNGDP和D（LNGDP）序列进行KPSS检验的估计结果（略）设定如下生成带漂移的I（1）序列yt的数据生成过程（DGP）：
采用上述方法分别对Y和D（Y）的平稳性进行检验。ADF检验、PP检验以及基于最小化两类错误概率的KPSS检验对数据Y和D（Y）的检验结果认为Y服从带漂移的I（1）过程。另外，与LNGDP的检验结果相似，基于最小化MSE的KPSS检验的结果则认为Y服从趋势平稳过程。
综合上述分析，得出的结论是LNGDP服从带漂移的I（1）过程。并且，在对LNGDP的检验中，基于最小化MSE的KPSS检验犯了接受错误原假设的第二类错误；而基于最小化两类错误概率的KPSS检验则拒绝了错误的原假设。这正好与基于最小化MSE的KPSS检验具有较小检验势的仿真结论相一致。
五、结论
本文将基于最小化两类错误概率选择带宽的思想引入KPSS检验。通过蒙特卡罗仿真对基于最小化两类错误概率和基于最小化MSE选择带宽两种情况下KPSS检验的有限样本性质进行了比较分析；并且采用该方法对中国季度实际GDP对数序列的趋势平稳性进行了检验。得到的主要结论如下：
第一，在非平稳的样本条件下，基于最小化两类错误概率选择带宽的KPSS检验导致错误结论的概率较小。
第二，在自相关较强的平稳样本条件下，基于最小化MSE选择带宽的KPSS检验产生正确结论的概率较大。
第三，在自相关较弱的平稳样本条件下，基于最小化两类错误概率选择带宽的KPSS检验产生正确结论的概率较大。
第四，我国季度实际GDP对数序列为带漂移的I（1）过程。
注释：
①季度实际GDP数据通过运用1992年第一季度2010年第四季度的居民消费价格指数（1992年第一季度为100）进行调整得到，再对该序列进行X12季节调整，然后对季节调整后的序列取自然对数，得到季度实际GDP对数序列LNGDP。数据来源于中经网统计数据库。
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