内外兼顾，理解分式，本文主要内容关键词为：分式论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
分式是代数式的一部分，在有理式中出现在整式之后，其在化简、计算上常与整式内容有关，体现了分式与整式间的关联性；其在定义、性质、运算法则上常可类比分数，体现特殊与一般的关系；在方程、不等式部分与分式方程、分式不等式直接相关；在函数部分与反比例函数有关；在图形部分与线段比、相似相关.这体现了分式与数式、函数、方程、不等式、图形等方面的联系，其也就成为这些知识链条上的一环，对这些知识的学习也会起到一定影响.因此，对分式概念的理解与数学中其他的概念一样，必须同样重视.在教材中，分式大都采用形式性定义，形式给了我们直观，但我们在理解这个概念时，要能穿透形式，窥其本质，只有这样才能不犯“一叶障目，不见泰山”的错误，这就需要我们既观其“形”，又察其“里”，内外兼顾来对分式加以理解，从而全面理解分式的概念.在实际教学中，对分式概念的理解上，教师常会有些不同的看法，大有仁者见仁、智者见智的多家之言.由此也就有了许多引起争论的问题.学生在解决问题时也常会犯这样或那样的错误. 一、运用数学史观，了解分式背景 分式作为代数式的一部分，它的源头还是代数式，是代数式外延的一部分，所以要想很好地认识、理解分式，我们有必要来回顾一下代数式.在人类发展的历史长河中，具体的数量（简称量）是先出现的，如2个人、5头猪等.经过漫长的发展阶段，人们才离开了具体的量，第一次抽象出一般的数.例如，1，2，3，
等.量是具体的，数是抽象的，从量到数的第一次抽象意义重大，由此产生了算术的理论，用处比量更大.随着生产的发展、实际的需要，第一次抽象出来的数不够用了.例如，要表示数量关系的一般规律，用数就难以表达，像加法交换律、乘法交换律等，用数来表示这些一般的规律就无能为力了，于是这必然引起数学史上的第二次抽象，即字母表示数.法国数学家韦达在积累前人经验的基础上，有意识地、系统地使用字母表示数.1591年，在他的《美妙的代数》一书中，他用字母符号表示未知数和已知数进行运算，从而把算术和代数加以区别.他在代数中建立了抽象的符号，从而使代数不仅用数也用字母计算，推进了代数问题的一般性讨论.有了字母表示数，可以使数与字母都参与运算，这样就产生了代数式.用运算符号（指加、减、乘、除、乘方、开方）把数及表示数的字母连接而成的式子叫做代数式.由此可见代数式就是一个算式. 早在人类文化发展的初期，由于度量和均分的实际需要，分数应运而生.当两数不能整除时，我们用分数来表示其商.但凡概念，都是对其内容的概括、提炼，这就像我们语文学习中的缩句，叙述概念有时就是扩句.“分数”中的“分”就是来源于“均分”.由分数到分式，除了形式上类比之外，还有将分数的分子、分母由具体数向一般的字母表示数的推广.例如，我们要表示
……的一般规律，那就要用字母表示，分式也就出现了.另外，整式的运算也会出现两个整式相除的情况，这样也有必要引入分式.从形式上看，分式与分数类似，故而称为分式.现行的义务教育教材中，对分式的定义都是采用形式性定义.苏科版教材八年级下册第98页中，对分式的定义是这样描述的：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式
叫做分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母. 二、利用代数思想，理解分式内涵 分式内涵可以理解为是字母表示数的一个具体案例，是对分数的代数化结果，是对分数一般属性的描述，具有分数的特点.同时由于代数式本身的抽象性，其又会出现一些与分数不同的属性. 1.分式与分数的类比 分式是建立在学生熟悉的分数基础之上的一个新概念.通过字母表示数，沟通分式和分数的横向联系，渗透具体与抽象、特殊与一般的辩证思想.分数是分式的特例，分式是分数的普遍形式.分式与分数的形式相同、性质相通.因此，在分式的学习中要注意其与分数的类比、转化，既要注意表面形式，又要深入揭示由形式引起的内涵变化.我们在将分式的基本性质、分式的加减、分式的乘除与分数的对应部分进行类比时，要注意它们的异同点，特别是不同的地方，否则会产生负迁移，产生一些错误. 2.从分数到分式的变化 （1）分母可能为0了. 分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，那么在分式的定义中，为什么不加B≠0的条件呢？这是因为有了除法运算，就隐含了除数不能为0的条件，若加上B≠0就显得画蛇添足了，同时容易使人感到应是分母恒不为0，而实际上是要求分母的值不能取到0.这样我们在学习分式时，就出现了分式有无意义的讨论.在讨论分式的值为0时，就不能只注意分子的值取0，而忽视分母的取值不能为0.反比例函数
（k为常数，且k≠0）中，自变量x的取值范围是x≠0，是由分式的分母不为0决定的，其实只要函数关系式中含有除法运算，都要求其分母不能为0. （2）没有带分数、假分数等类似概念了.
这些都反映了由数到式带来的一些变化.另外将来还会给出繁分式等概念. 三、利用空间观念，理解分式形式 分式形式可以理解为具有
形式的代数式，尽管定义是形式定义，不够严谨，但是对于一类代数式的命名还是可以满足数学活动实际需要的. 1.对表达式
中A，B的理解
2.对分数线的理解 用横线“—”或分数线表示除号，是1175年阿尔·哈萨创用的，线括号“—”的创用人是法国数学家韦达.这样我们看到用横线“—”表示除号，再表示两个整式相除就非常简洁，使分式的表达方式简单明了，易于识别，且易于与分数类比，给学习分式的性质、运算带来方便. 将（m+n）÷（a+b）写成分式的形式，就可省略括号，使式子简洁明了.这说明分数线也就具有了括号的功能.这也是为什么在解分式方程时，去分母之后要加括号的原因. 3.分数线与除法的关系 同分数中分数线和除法的关系一样，分式中的分数线也具有类似的作用.可以说除号仅是运算，分式却可以是运算结果.正如加号与正号的差别一样. 毫无疑问分式是属于代数式的.从代数式的定义出发，我们应将代数式理解为一个算式，这样分式就是表示两个整式相除的算式.另外，我们还可以把分式看成是两个整式的比值，看成是除法的商.在代数式变形或列方程时需要有目的地转换对待分式的思维角度，这样才能全面理解分式在不同场合中的意义和作用. 例2 当m取何值时，分式
的值是正整数. 解此题的关键了解是4被哪些整数除后，商是正整数，即分母m-1要是4的正约数. 例3 当x取何值时，分式
的值大于0. 解此题的关键是什么样的两个数相除商为正数，即x-1与2+x同号. 例2、例3是讨论分式值的问题，分式中含有的除法运算就凸显出来，分子、分母所代表的数就体现出来了，体现了分式向分数的回归. 例4 有两块地，每块地有桃树x棵，共收获桃子5000千克，问平均每棵树产多少千克桃子？ 将“平均每棵桃树结桃子”的代数式列成5000÷2x，还是列成5000÷（2x）存在一定的争议.为了避免这个问题，可以写成分式形式，就能保证先算2x的积，再算除法. 4.分式计算典型错误分析
分数通分时关键是找最小公倍数，分式通分时关键是找最简公分母，然后利用分式的基本性质将异分母化为同分母，而最简公分母中的因式有时会出现多项式，这样在用分式基本性质时，就需要注意添加括号.
由于分式的分子、分母可以是多项式，在进行分式运算时，要适时添加括号.
分式约分约去的应是分子、分母的公因式，而分数约分只考虑分子、分母上的两个数的影响，受此影响看到分式中的分子、分母中有一些项的系数含有公因数，就进行约分变形，从而产生错误. 例5、例6、例7的错误的主要原因就是分数中的分子、分母仅涉及两个数，是单项的，而在分式中，分子、分母中的整式可以是多项式，这样把单与多进行了错误的类比，产生负迁移.
错解：方程两边同时乘以3（x-2），得 3·5x-4=4x+10-3x-6. 在去掉分母后，分数线要自动变为括号，而在分数中的分子、分母都是具体的数，分数线的括号作用不明显. 可见，分式的本质还是应理解为一个特殊的代数式，这个代数式的特殊之处就在于能够写成两个整式比的形式，这样分式的本质属性有三个方面：（1）有除法运算；（2）涉及两个整式；（3）分母中含有字母. 5.分式识别的争议 对于某些代数式是否为分式，常在教师间产生一些争议，常见的有以下几种：
对代数式
来说，对照定义应该是分式，因为算式仅表示运算而非运算的结果，否则也就没有最简分式的概念了.对于求解类似“当x取何值时，分式
有意义”的问题时，要注意不能约分后讨论x的取值范围，应对原分式的分母讨论x的取值范围，所以问题的答案应为x≠4，且x≠-4，而不是x≠4. 对（2）、（3）、（4）依教材定义，就不属于分式了.（2）、（4）应该是含有分式的代数式，（3）应该是两个整式的除法. 我们知道整式和分式统称为有理式，这是在教材的小结与思考部分出现的.其实代数式是按照对字母进行的运算进行分类的.整式中，对字母只实施加法、减法、乘法和乘方运算；分式中，表述的是以对字母实施除法运算（形式上表现为分母含有字母）为主要特征. 概念既是人们认识客观事物的小结，又是人们思维的基本单位.在思维过程中，还有判断和推理.推理是由判断构成的；判断又是由概念构成的.没有概念，判断和推理是不可能做出来的.所以概念中的形式符号要有助于判断与推理，像分式的基本性质、分式的运算法则，用定义中的形式就非常容易表示，所以没必要过分辨别它们是否属于分式，这样的问题讨论意义不大.“分式”一章的核心是运算，培养学生的运算能力是本章的一个教学目标.
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