有思想才能激活能力——对《等差数列的概念》一课两次教学的比较与分析，本文主要内容关键词为：等差数列论文,两次论文,一课论文,概念论文,能力论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
一位老师要上公开课——等差数列的概念.正式上公开课之前，先试讲了一次，之后针对存在的问题进行了再设计.对比两次课的教学，有一个强烈的感受：从平淡无味到生动有趣，教学中有思想才有活力.本文对这节课的两次教学作一个比较与分析.
一、课题引入环节的比较与分析
试讲课
问题情景及问题设置：
师：这是一张台历，现从中抽出两列数：
①4，5，6，7，8，9，10；
②1，8，15，22，29.
它们都构成了数列.请问：这两个数列有什么共同特征？
学生的活动：
学生回答：它们都是等差数列.
学生事先已预习过教材上这一块内容.
比较分析：这个问题相对比较呆板，缺少思维含量，缺少趣味性.大多数学生不作任何思考就给出“它们都是等差数列”这一结论.这样的问题既不能激发学生的学习热情，也不能培养学生的数学能力.问题的设置必须激起学生的求知欲望，要让学生在辨析、比较中发现这一类特殊的数列，并在发现过程中抽象概括出等差数列的定义.
正式公开课
师：这是一张台历，你能从中挑出一些数，构成一个你认为有意思的数列吗？并说明理由.
学生的活动：
生：①1，2，3，4，5，6；
②1，3，5，7，9；
③2，4，6，8，10；
④1，8，15，22，29；
⑤1，4，9，16，25；
⑥2，4，8，16；
⑦1，3，9，27；
⑧1，2，3，5，8，13，21；
⑨1，2，1，2，1，2.
比较分析：这是一个既开放又具有思想性的问题.问题简单，每个学生都能给出自己的答案，对学生很有吸引力.从教学的实际来看，学生的求知欲很强，课堂气氛非常热烈，每个学生都在变着法子说出自己与众不同的答案，以显示自己的才能，从而极大地激发了学生的学习热情，调动了学生学习的积极性.
二、等差数列定义学习环节的比较与分析
试讲课
问题设置：什么是等差数列？
学生活动：学生看着教材，讲出了等差数列的定义.
教师活动：老师强调了定义中的三个关键点：从第二项起；同一个常数；“公差”是等差数列中后项与前项的差.
请同学们再举出几个等差数列的例子.
提出问题：能否用数学符号语言来表述等差数列的定义？
比较分析：等差数列定义的学习，学生都是依赖于教材而进行的，少了自己的感受，少了从具体到一般进行抽象、概括的过程，也就缺少了自己对概念的深刻认识.用数学符号语言来表述等差数列定义不符合学生的认知规律，因为学生对等差数列的认识才开始，认识很肤浅，没有经验积累.
正式公开课
问题设置：上面①，②，③，④四个数列有什么共同的特点？
学生活动：学生尝试着给出了等差数列的定义.
教师活动：老师结合学生的叙述，不断完善定义，并强调了定义中的三个关键点：从第二项起；同一个常数；“公差”是等差数列中后项与前项的差.
请同学们再举出几个等差数列的例子.
比较分析：学生通过丰富的、典型的例子，抽象概括出等差数列的定义，体现了从具体到一般的认知过程.学生积极主动参与数学知识的构建过程，在过程中融进了自己的思想，在过程中抓住了等差数列的本质，进一步加深了对等差数列的认识，从中也培养了学生的数学能力.
三、等差数列定义应用环节的比较与分析
试讲课
例题讲解：
例1 判断下列数列是否为等差数列：
（1）1，1，1，1，1；
（2）4，7，10，13，16；
（3）-3，-2，-1，1，2，3；
学生活动：学生以口答的方式解决.
老师总结：（1）如何判断一个数列是等差数列？
学生：利用等差数列的定义.
（2）如何说明一个数列不是等差数列？
学生：只要在数列中找到一个不符合等差数列定义的项，也就是找到一个反例.
比较分析：本例的前3问是教材中例1的内容，第（4）问是老师补充的，这个数列是学生常见的数列，又恰是学生容易出错的问题.
由于问题比较简单，没能引起学生的重视，在解决问题的过程中，没有多高的积极性，在他们看来问题太简单了，不需要动脑筋，学生对它有点不屑一顾，教学中学生的注意力不集中，课堂纪律有点散漫.
问题的设置必须在注重基础的同时进行分层设置，逐步增加思维的层次与水平，符合学生“跳一跳”能够得着的原则，这样就能有效激发学生学习的欲望，提高教学的效率，使不同层次的学生得到不同程度的发展.
例题讲解：
例2 求出下列等差数列中的未知项：
（1）3，a，5；
（2）3，b，c，-9.
变式：b，3，c，-9.
问题的解决是先由学生上黑板书写，教师边讲评边完善、规范书写.
比较分析：这个例题的讲解，突出了等差数列定义的应用，完整、规范的书写是给下面例3的证明打下基础.
解：（1）由等差数列的定义，得a-3=5-a，
所以
.
将a完整写成这种形式，目的是让学生看到等差数列的一个中间项等于它前后两项和的一半.
在解决（2）问的过程中，不少学生列出方程组
之后不会解，由于是书上的例题，学生抄抄书上的解答（或猜猜答案）就结束了.
教师总结：应用等差数列的定义，列出关于未知项的方程进行求解.
例题讲解：
例4 已知a，b，c成等差数列.
求证：b+c，c+a，a+b成等差数列.
本题是等差数列定义（或例3）的应用，突出了解题思路的分析、强调书写格式.
证明：因为a，b，c成等差数列，
所以b-a=c-b，即a-b=b-c.
又因为（c+a）-（b+c）=a-b，
（a+b）-（c+a）=b-c.
所以（c+a）-（b+c）=（a+b）-（c+a），即b+c，c+a，a+b成等差数列.
比较分析：由于例题的内容都是老师直接抛出的，缺少了学生对命题的直观感受和亲自参与发现，学习中少了一些主动性、积极性、探索性和趣味性，学生的学习多了一些被动性，被强迫性.
对（2）问的解决由于是教材上的例子，学生在似懂非懂的状态下，看着书上的解答过程，在黑板上给出了本题的证明过程.但对“等差数列定义”与等式“
”之间的关系，学生是否真正弄清楚了，这就要打上一个大大的问号了，这恰恰是本节课的一个难点.之后，老师引导学生对问题进行了反思，对解题的思路作了分析与整理，突出了等差数列定义的应用.接着又让学生去比较、辨析这两个问题：一个是等差数列的性质，另一个是等差数列的判定方法.
正式公开课
例题讲解：
例1 判断下列数列是否为等差数列：
（1）1，1，1，1，1；
（2）4，7，10，13，16；
（3）-3，-2，-1，1，2，3；
比较分析：在教材例1的基础上增加了用通项公式给出的数列（4）、（5），提高了问题的思维层次，激活了学生的思维，使问题具有了更丰富的数学思想内涵.渗透了学习方法的指导：化抽象为具体，再从特殊抽象为一般，实现了有限与无限的相互转化.沟通了新旧知识之间的联系，培养了学生的化归能力，抽象概括能力，使知识与思维得到拓展.
在解决第（5）问之后，提出问题：请用数学符号语言来表述等差数列的定义.
学生有了认知的基础，有了操作的体验，此时提出这个问题就显得水到渠成，很是自然.学生很快给出了正确答案：
.
例题讲解：
例2 求出下列等差数列中的未知项：
（1）2，a，6；
（2）8，b，c，-4；
（3）8，b，-4，c.
问题的解决是先由学生上黑板书写，教师边讲评边完善、规范书写.
比较分析：本例换了一个与教材例2类同的问题，是给学生创设一个真实的思维过程，能真正暴露出学生学习中存在的问题.在讲解过程中重点突出了等差数列的定义，完整、规范的书写是给学生后面的猜想创造条件.从教学的实际情况看，不少学生对第（2）问中列出的方程组不会解，反映了现在高一学生的数学基础及运算能力都存在问题，提醒我们老师在教学中一定要了解学情，要能充分估计到学生学习中存在的问题，使教学更有针对性，以提高课堂教学的有效性.增设的第（3）问，既是第（2）问的一个变式，也为学生后面的自主探究发现创设更丰富的情境.
例题讲解：
师：通过前面对等差数列的学习，你能发现一些有关等差数列的结论吗？
学生独立思考、相互交流猜想出结论：
比较分析：让学生在解决问题有了一定的活动经验基础上进行自主探索和合作交流，然后进行数学猜想，融进了探究与发现的元素.激发了学生的学习热情，活跃了课堂气氛，提升了学生的思维品质，提高了学生学习知识的参与度.
四、随堂练习、课堂小结环节的比较与分析
试讲课
随堂练习：已知下列数列是等差数列，试在括号里填上适当的数：
（1）（ ），5，10；
（2）1，
，（ ）；
（3）31，（ ），（ ），10.
课堂小结：师：本节课学习了等差数列的定义，并运用定义解决了一些简单问题.
比较分析：本节课学生从知识层面是学习了等差数列的定义以及定义的一些简单应用，但学生的数学能力及数学思维方式、数学研究方法、学生学习数学的美好情感都没有得到应有的发展.
正式公开课
随堂练习：已知下列数列是等差数列，试在括号里填上适当的数：
（1）（ ），5，10；
（2）1，，（ ）；
（3）31，（ ），（ ），10.
课堂小结：
师：请同学们从（1）知识能力层面；（2）思想方法层面进行归纳总结.
比较分析：学生在学习数学知识的同时，学习数学的积极情感、数学的能力（抽象、概括、推理、猜想、比较分析等）都得到了很好的发展与提高，还让学生学会数学的思考，教会学生思维.
五、感受与思考
1.试讲课留给我的感受是：
（1）平淡，没有味道，学生上课积极性不高，学习兴趣不浓.在他们看来这个内容太简单，很容易学，所以学习起来漫不经心，学生没有真正投入到自主构建数学概念的过程中.
（2）学生对等差数列的认识是浅薄的，没有深入领悟等差数列的本质，并没有真正懂得等差数列定义的符号语言表述，对例3第（2）问的证明也没有真正的理解，为什么证出了
，就能说明该数列是等差数列.
（3）学生的数学能力、数学思维方式、数学研究方法没有得到应有的发展，整堂课思想性不强，数学思想方法没能在教学中很好的体现，课堂缺少活力、缺少思维的深度.
2.试讲后对本节课再设计的理念是：立足数学本质，提高课堂教学的思想性，有思想的课才会有活力，才能达到发展学生数学能力的目的.通过讨论达成了以下几点共识：
（1）不能今天学习等差数列，就给出等差数列，要让学生在辨析、比较中自己发现这一类特殊的数列，并在发现过程中抽象、概括出等差数列的定义，突出学生的自主建构，强调让学生经历概念的概括过程.
（2）教学要揭示数学的本质，等差数列作为一类特殊的数列，一定要突出数列是特殊的函数，体现函数思想，感受动态数学.
（3）通过从特殊到一般归纳猜想出有关等差数列项的性质，然后再给予逻辑证明，这样做的目的就是“既讲逻辑，又讲思想”，提高教学的思想性.
（4）通过教学要让学生深刻领悟到数列学习的方法，正确处理好特殊与一般的辩证关系，注重培养学生的观察、分析比较、归纳猜想、抽象概括等数学能力，让学生在学习数学知识的同时发展自己的数学能力，提高自身的数学综合素养.