“数学方法论”光照千秋——写在希尔伯特《数学问题》发表百周年之际，本文主要内容关键词为：方法论论文,希尔伯特论文,数学论文,千秋论文,写在论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
在19世纪与20世纪之交的1900年8月8日，数学大师大卫·希尔伯特（David Hibert）在巴黎国际数学代表大会上，作了一个划时代的《数学问题》的报告。整整100年过去了，20世纪数学的发展， 证明了“23个未解决问题”的巨大价值。然而，人们往往“忘记”了其丰富的、多方面的数学方法论的深刻见解和数十个研究课题的更为巨大的价值，其独特的数学思想光辉，将永照数学史册。
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我们知道，在早期的数学历史上，关心数学（及科学）思想方法研究的数学家有帕普斯、笛卡儿、欧拉、庞卡勒等人，虽成就非凡，但比较零碎。在《数学问题》前言部分，希尔伯特对数学方法的基本重大问题，进行了全面、系统的概括。
比如，开宗明义，他断言，科学发展具有连续性，每个时代都有自己的问题，一个伟大时代的结束，必然把人们的思想引向未知的未来，他以一则烩炙人口的名言：
“问题对于一般数学进展的深远意义，以及它们在研究个人的工作中所起的重要作用是不可否认的，只要一门科学分支能提出大量问题，它就充满着生命力；而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡或中止。正如人类的每项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题，正是通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发现新方法和新观点，达到更为广阔自由的境界。”（八十年代以后，哈尔莫斯把它概括为一则简炼命题：问题是数学的心脏）
阐述了“问题推动数学发展”这一重要规律，这无疑是希氏对数学方法论的重大贡献。然后，它阐述了“好的数学问题”的鉴别准则：有一定难度，清晰易懂，可解。直言不讳地承认数学问题的两大源泉：外部经验世界和数学内部的逻辑组合，并阐明了数学真理性和预见性（与现实社会的协调一致）的根源在于数学问题归根结底产生于实践和思维与经验的反复相互作用。
当希尔伯特把几何图形也看作是符号时，他领悟了数学符号演化的历史过程，弄清了“直觉”不仅跟随图形进入几何思维，而且随着符号（文字化的图形）进入算术领域。公理当然是约束数学内容的，但为了正确，自由地使用符号，公理也必须约束符号：符号与内容的统一，就是数学。希尔伯特还揭示了算术与几何思维的一致性。
在一般人看来，无解的问题，也就是无意义无价值问题，希尔伯特则采取分析的态度，肯定反面解决也是问题的解决，而且高度评价了反面解决对数学发展的意义，承认“在以后的数学中，某些不可解问题起着重要的作用。”
希氏对数学历史经验的另一积极意义概括为他的“信心公理”：一方面坚信“每个确定的数学问题都应该得到明确解决”，另一方面也坚信“数学问题的宝藏是无穷无尽的，一个问题一旦解决，无数新的问题就会代之而起”。
分久必合，合久必分，理论实践，万事皆然。希尔伯特抓住数学分合变换中维系统一的生命线，大胆预言：“随着数学的发展，它有机的特性不会丧失，只会更清楚的呈现出来。”更为重要的是，“数学中每一步真正的进展，都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切地联系着。这些工具和方法，同时会有助于理解已有的理论，并把陈旧的、复杂的东西抛在一边。”
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十九与二十世纪之交，是数学大发展的时代，也是数学思潮迭起、争论活跃的时代，一批带根本性的问题，如“存在性”问题等，被凸显出来，在参与论战的过程中希尔伯特创造性地提出了一系列正确的见解，进一步丰富了“数学方法论”的内容。它们包括：
关于存在性的思想。如果一个概念具有矛盾的属性，那么就认为这概念在数学中是不存在的。倘能证明：这概念所赋有的属性在经历有限的逻辑过程后，不会导致矛盾，就认为这概念在数学中的存在得到了证明。
关于无限性。这种无限，在非常现实的意义下存在着，他感到，彻底弄清这概念的实质的研究，远远超过了特殊的科学兴趣，而是出于维护人类智力本身尊严的需要。
关于算术、几何公理相容性的思想。
关于数学基础问题的研究，永远是数学研究中，最重要的课题。
关于严格性的要求。对一个问题的解答，首先是要有可能通过以有限个前提为基础的有限步推理来证明解的正确性，而这些前提包含在问题的陈述之中，并且有确切的含义。
关于简单化与严格性的关系问题。把证明的严格性与简单化绝然对立起来是错误的。相反，可以通过大量的例子来证实，严格的方法，同时也是比较简单、比较容易的方法。正是追求严格化的努力，驱使我们去寻找比较简单的推理方法。
关于形式化和元数学的思想。面对集合论悖论的出现和直觉主义学派难以接受的主张，希尔伯特建议釜底抽薪，通过完全抽去其意义的方法，来反驳直觉主义者的主张，也就是把数学建成一个形式化系统。而他在“海德堡计划”中，破天荒第一次提出了应该把证明本身也作为数学研究对象（即元数学）的思想。
关于一般科学公理化思想。继1900年在《数学问题》中提出某些物理学科公理化之后，1917年9月在苏黎世又提出：“我们相信， 凡服从科学思想的一切知识，只要准备发展成一门理论，就必须受公理方法的支配，受数学的支配”。
这些数学与科学方法的课题的价值，以及它对数学的深远影响。应该说，至少并不亚于编了号的23个数学问题。
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在20世纪的30—60年代，在中国，有数学教育家傅种孙，通过“扩张与因袭”等一系列讲演、文章和《高中平面几何教本》现身说法地论述。在西方，则有波利亚通过《怎样解题》、《数学发现》和《数学与合情推理》三部著作，归纳地研究。从而系统地开发了象观察、归纳、推广、限定、类比、联想、猜测等一套合情推理的方法，及其在数学研究与发现，在数学学习与教学中的应用，从而把它们提高到“数学方法论”的水平。
然而我们不能忘记，首先明确系统地提出几种合情推理方法的，正是希尔伯特，而傅氏和波氏的工作，是希尔伯特工作的基础上进行的。我们知道，作为“数学基础”研究的大师，希尔伯特十分重视数学以公理为基础的严格演绎系统的建立；但他同时也一再指出数学的另一个侧面，即它的开放的归纳的一面：它必须吸收各个领域的概念、原理、方法、原则，通过综合消化，使之“生长”成合乎严格标准的数学内容。在《数学问题》中，对于推广（一般化）、限定（特殊化）的作用，作了精彩的论述：
“在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题，不过是一连串有关问题中的一个环节，采取这样的观点之后，不仅我们所研究的问题容易得到解决，同时也获得一种能应用于有关问题的普遍方法…，这种寻求一般方法的途径，肯定是最行得通也是最为可靠的……”。
在解决数学问题时研究者心态是至关重要的。“想得广”是研究的一窍：盯住具体问题而想着一般方法，不仅会成功地解决当前的问题；而且可引向一般，获得一般方法；一般问题，一群问题，一般观点指导下的问题，比起孤立的单个问题，往往更易于下手寻求解法，全局指导下的局部，常常更易于理解。
“在讨论数学问题时，我们相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。可能在大多数场合，我们寻找一个问题解答未能成功的原因，是在于这样的事实，即有一些比手头问题更简单、更容易的问题没有完全解决或完全没有解决。这时，一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并使用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们，这种方法是克服数学困难最重要的杠杆之一”。
大处着眼，小处着手，胸怀全局，面对局部，想着一般，做着具体，这是数学中常见的事。在这里，希尔伯特早傅、波等40年阐明了这种特殊一般的辩证关系。
希尔伯特在自己的数学研究和论著中还大量地成功运用类比，阐述数学的“不同部分之间，也有大量的相似之处”，这正是在数学中应用类比的基础。《希尔伯特》作者瑞德夫人指出，“希尔伯特一直是通过猜测进行构思的”。由此可见，希尔伯特的研究，已涉及到合情推理的所有基本形式，而《数学问题》一文仍是研究合情推理的鼻祖，是研究宏观与微观数学方法的经典文献。
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由前三节的表述我们应当意识到，希尔伯特给数学方法论的研究留下了极为可观的理论成果和丰富的研究课题，傅种孙和波利亚只不过在“合情推理”方向进行了较为深入细微的开发，就获得了令世人瞩目的成就。我们无法想象和预测，如果把希尔伯特留下的其他课题也开发出来，将会是何等壮观？这也许是九泉之下的方法论大师希尔伯特，最为关心吧！
然而，我们这里要谈的如下三点，也足以使大师含笑九泉：
第一，由于有威望的数学家徐利治教授的大力倡导，身体力行和广大数学工作者的努力，八十年代以来的20年里，我国数学方法论的研究得到长足的发展。不仅开发着希尔伯特课题，而且对诸如“数学特点”、“初等数学发展问题”等提出了独特的见解。数学中全息现象，组合特征、数学思维规律的研究，日渐深入。同时，包括十余套方法论、思维丛书在内的数十本专著和普及读物的出版，系列的数学方法论学术会议的召开，高档次的理论研究和日益广泛的普及势头相映成趣，不能不说是形势大好！
第二，我国数学方法论的研究，一开始就没有陷入“空对空”的误区。首先是在“数学研究”中加以运用，越来越多的数学工作者，养成了对数学进行哲学思考和历史反思的习惯，提高了方法论的水平，增强了抵制数学研究中错误思潮（如盲目选攻著名难题企图一鸣惊人，由于缺乏起码逻辑常识而宣布“解决了××××”的数学专业户现象，靠传媒舆论“逼迫”数学界认可的权势思想等）的能力，养成了平等和独立的品格和敢于自己提问题，敢于承认中国人自己的课题和成果的民族自尊心，焕发了创新能力。一批达到第三境界（能提问题供他人研究）的初等数学专家脱颖而出。目前，正对不等式、数列和已见端倪的圆锥曲线初等性质研究的“过热现象”的成因、影响、对策等，从方法论高度进行反思。一支用数学方法论武装的高水平的初数队伍，正在成长、壮大。
第三，方兴未艾的数学方法论的数学应用。早在三、四十年代，傅种孙就从方法论观点思考数学教学，并进行了大量的初等数学基础研究，而波利亚则从“一般解题方法”的研究扩展开去，做了初步实验，并提出“数学教学主要是教常识”（即提高学生一般文化素质）的主张。到八十年代末，徐沥泉解决了“数学方法论基本原理”形成学生素质的途径的转化机制的问题，设计了MM实验（贯彻数学方法论的教育方式，全面提高学生素质的数学教育实验）。杨之、周春荔等积极参与实验研究，五年三轮实验获得成功，从而确立了“MM教育方式”，正迅速、稳定地向全国传播。该方式以素质教育为目标，并能以现代教育技术结合，说明它的未来教育特征。
在数学研究与教学上的成功应用，把数学方法论的研究推进到前所未有的广阔、深入、富有成效的新阶段，大师确实可含笑九泉了。