分形之父芒德勃罗，本文主要内容关键词为：之父论文,分形论文,芒德勃罗论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
芒德勃罗（Benoit B.Mandelbrot）不是传统意义上的数学家、科学家，1973年以前，他一直不被各领域的科学家所认同，“分形理论”诞生后他的“政治”地位（他自己愿意用这样的词汇）剧变，成为世界上最有名气的科学家之一（通过因特网（Internet），可以很好地检验一个人的知名度）。
科学界曾两次为他举行国际范围的祝寿活动，并相应出版了祝寿科学论文集。一次是1989年在其65岁生日时，纪念文集以《物理学D 》（Physica D）杂志专号出版（1989年第38卷）， 刊登了他的大幅照片及详细学术经历。另一次是1994年他70大寿（会议拖到1995年举行），纪念文集由新加坡的《分形》（Fratals）杂志专号出版（1995年第3卷第3期）。对一位科学工作者而言，这是很不容易享受到的荣誉。 这位在多种学科“流浪”了20余年才得到学界广泛承认的分形之父，近些年来不断得到各种荣誉和奖励，但也到处与同行发生争执。
1.家庭背景与成长经历
波努瓦·芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。波努瓦的父亲是成衣商，母亲是牙科医生。 1936 年在芒德勃罗11周岁时举家迁往巴黎， 这也部分是受其叔父佐列姆·芒德勃罗伊（Szolem Mandelbrojt,1899—1983）的吸引，当时佐列姆是法国的一位数学家。
1944年，芒德勃罗以班级第一名的身份通过了法国著名的“高等师范学院”与“综合工科学校”入学考试。当时他的代数与分析基础并不好，但几何直觉不错，考试时他总是设法将代数与分析问题化成几何问题，巧妙地将它们解决，他称此为合法性“作弊”（cheating）。芒德勃罗与其叔叔佐列姆对数学有完全不同的口味。叔叔佐列姆是一位非常经典的分析学家，而波努瓦·芒德勃罗更倾向于几何，他称自己为几何学家。叔叔佐列姆认为几何是已死掉的学科，只对小孩子学数学还有一些意义，人们只有超越它才能取得天才的学术贡献。但是芒德勃罗不相信这种观念，也不喜欢分析学派的那种“高雅”风格。
由于不喜欢布尔巴基学派的数学，芒德勃罗在高等师范学校念了没几天，就转到了综合工科学校。1947年芒德勃罗从法国综合工科学校毕业。1948年获美国加州理工大学硕士学位；1952年获巴黎大学博士学位。随后几年他不断在几个学科中游荡，先后“闯入”过物理学、经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科。他喜欢用“知识流浪汉”、“游荡”等字眼描写自己的学术生涯和人生经历。
到美国后，他最先是作为麻省理工学院的一名研究助理，1958年成为IBM约克郡高地沃森研究中心物理部研究人员。
芒德勃罗因创造了原来根本不存在的分形学科而一举成名。1975年以法文出版《分形对象：形、机遇与维数》，1977年以英文出版该书增补版，1982年出版《大自然的分形几何学》。最后一部影响最大，它是分形学科的宣言书，包罗万象，显示了将分形用于自然现象描述的重要性。他对自己的专著的描述用词是：“普及性的”、 “随笔”（Essay）、“宣言书”、“从头到尾都是序言”。据初步统计，到1989年底他已经发表了123篇论文，内容极其庞杂，涉及语言学、概率论、 通讯工程、水利学、经济理论、金融分析、布朗运动、湍流、复迭代、宇宙学、临界现象与相变等等。
芒德勃罗现为美国艺术与科学院院士，美国国家科学院外籍院士，欧洲艺术、科学与人文学院院士。他曾荣获巴纳奖章（F.Barnard Medal,1985）、富兰克林奖章（Franklin Medal,1986）和物理学沃尔夫奖（Wolf Prize,1991），还有其他若干奖励。
芒德勃罗开创的分形理论近年来十分红火，据阿哈罗尼（A.Ahar-ony）和费德（J.Feder）1989年对INSPE数据库统计，公开发表的分形论文累计数量符合指数规律exp｛（t－1974）／1.74｝，其中t代表年份，这表明每年论文数量以1.8的因子增加。
2.现代“博物学家”
进入20世纪，各门科学早已扬弃了博物学的传统，现在很难找到某人因采用博物学方法而取得重大成功，但芒德勃罗是个极大的例外，他是现代科学界最大的博物学家（naturalist）。他十分推崇《论生长与形式》（On Growth and Form）的作者达西·汤普森，这也间接表明他的博物学倾向。
他的思维方式很特别，喜欢几何是一个特征，此外他更关心数学史和物理学史。多数研究人员总是找最新的学术期刊来阅读，以便能跟上科学技术日新月异的形势。而他专门找一些破旧的、没人翻看的期刊，并且时常注意一些不起眼的非核心刊物。
芒氏特别重视那些当时非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的”、“反直觉的”东西。因此诸如现在人们熟悉的康托尔三分集、外尔斯特拉斯不可微曲线、可充满正方形区域的皮亚诺曲线、谢尔宾斯基（W.Sierpinski，1882—1969）地毯与海绵、柯赫（H.von Koch,1870—1924）雪花曲线等等，都被他视为珍宝。 而这些一直被正统科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶而提到。在分形如此流行的今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些“怪物”（芒氏视其为“宝贝”）的具体性质，从任何一本关于分形的书中都可以容易找到一些例子。
长期的观察、收集与总结，使芒德勃罗获得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何（广义的，泛指分形几何以外的标准几何）以外，应该还有一种不光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。
巴塞罗斯（Anthony Barcellos）采访芒德勃罗时问他：“分形实例中你最喜欢哪一个？”芒氏脱口而出：“当然是海岸线例子”。[4]随即他又补充说还有“血管分形结构”以及“自平方龙”（复迭代中的一个例子）等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子都为这个分形之家添了光彩。“一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真正绝对的偏爱。”
不管怎么说，海岸线例子还是最容易说清楚的分形实例，芒氏到处演讲，也总是提起它，在两部专著中也把海岸线问题放在前头讲述。
3.通过“莱维稳定分布”走向分形
除了创立分形几何学这样一个总的题目，芒氏的主要科学成就具体说来主要包括什么？如果去掉“主要”两字，罗列一长串也就齐了，但是限制列出几项，考虑起来可不容易。有些现在看起来重要，可能不久后随着科学的发展又不算什么了，有的现在一般，但也许以后会变得重要。无论怎样，作者还是根据自己的粗浅理解初步列出几项。
1）发现莱维（Paul Levy,1886—1971）稳定分布的重要性；2）用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；3）[重新]发现M集合；4 ）在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；5 ）提出“分形”概念和“多分形”（multifractal）思想；6 ）促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。
在一般人看来，芒德勃罗的最主要贡献是发明了一种新的几何学。但是仔细研究他曲折的学术生涯会发现，他首先进入的并不是基础数理科学，而是“工程技术”（做广义的理解）。他在工程技术中（或者用中国话来说，在生产实践中）发现问题，总结出带有规律性的东西，进而将它们上升为一般理论，最终创立“分形几何学”。这与当前物理学家、数学家改行的顺序似乎正好相反，现在通常是由基础数理科学转向经济学、社会学和哲学等。
直到最近人们对芒氏的理解还局限于确定论范式，90年代以后才有一些人注意到芒氏那里还有随机论范式，并且在芒氏那里两者本来是有机地结合在一起的。
芒氏本人曾明确说过，如果将来写关于分形方面的专著或者教科书，倒是可以直接从随机变量、随机函数讲起，而他之所以没有这么做，主要是考虑：首次进入能够极大地吸引读者的话题，应让读者立即产生几何直觉。
芒德勃罗从事的第一个科研实践（实际上仍然理论气十足）是研究通讯中的噪声和词频的分布，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性。这个线索沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值远未开发完毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动（FBM）的兴趣， 对莱维飞行（Levy flights）的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。
那么这个线索是什么呢？就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布”（Levy's stable distributions）。 莱维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几乎不知道这个伟大人物了。当年在法国综合工科学院，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学习基本的数学分析。
在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想象得出的好性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了人们对这种完美分布的向往。
数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一切物理现象，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里（甚至到现在仍然如此），数理统计工作者言必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流行观念是错误的。
4.进出经济学
现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文（也许会有几篇的出入），发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心的经济问题——收入分布以及与之有关的价格问题。据他本人讲，他对经济学中的帕累托（Vilfredo Pareto,1848—1923）分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开始了，然后在法国里尔大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非正统观点，但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。
芒德勃罗的经济学研究在经济学团体内引起过两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽风头，经济学家受“混沌”的影响，间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主流都是怀疑芒氏的理论和方法，即使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的方面，也不相信芒氏的理论。
芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律（Pareto's law）开始的，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律（G.K.Zipf's law）。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具有如下特点：收入水平越高，则收入高于这一水平的人口越少。他当时认定收入分布对于人为干预是不变的。芒德勃罗的经济论文发表后，经济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需要微观证据。芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度， 而是收入分布的长时尾（fattai-ls）现象在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这样的“尾巴”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。
简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过程是稳定过程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的稳定分布呢？这正是芒德勃罗急于思考的。
芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅凭这一点就值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳定分布。它就像玻意耳（Boyle）的气体模型一样，可能与实际有些差别， 但它是一种重要类型，一种简单的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想气体（id eal gas）模型没有价值，也不能说帕累托－莱维分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看，经济学界对他的反驳其实均不构成威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹（Edward Lorenz,1917—）的《确定性非周期流》一文（在非线性科学史上具有重要地位）也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的实际意义。也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久后就将莱维稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者，历史将公正地记录下他的先驱性工作。
以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特定层次产生价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价格变化是随机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把不同层次统一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了它。但经济学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好办法就是指出其曲线拟合不理想。
在研究股票价格变化中，芒氏极为反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬牛顿力学于经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基于这种考虑他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理。
设X（t）为价格，logX（t）是独立增量过程，即logX（t+d ）－logX（t）具有独立于d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首先要面对的是这种模型的奇怪性质（实际上这竟是他所期望的）。芒氏大胆地假设logx（t+d ）－togx（t）“无穷方差”！他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无穷方差综合症”。具有反叛色彩的芒氏假定V＝∞自有他的考虑：“不用说，假定υ＝∞的成功后果是， “我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”于是后来提到的“英国海岸线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经有了基本结论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规划，以一种更直接、更通俗、更符合逻辑顺序（发现过程并不符合通常的逻辑）的方式叙述出来，甚至更多的是考虑读者的反应。
到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评介，在此之前克拉克（P.Clark ）的博士论文以及后来的自回归条件异方差（ARCH）、广义自回归条件异方差（GARCH ）模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一个变化的二阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍然没有逃出分数阶自回归滑动平均（ARIMA ）的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关联积分算法求时间序列的分维数，用BDS统计（Brock—Dechert—Scheinkman 三人在关联积分的基础上发明的）检查经济系统中是否存在非线性结构。但是正如米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥混沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论就是随机论”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者混沌动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路：由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上芒德勃罗采用的是一种类似统计物理／热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深入理解。
当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么？他似乎高兴地带走了价格变动的自相似观点、标度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。
5.布朗运动·莱维飞行·阵发湍流
1905年爱因斯坦用分子运动论阐述清楚布朗运动。实际上庞加莱的一个学生巴歇列（L.Bachelier,1870—1946），早在1900年就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股票市场涨落问题的，未引起物理学家的注意。巴歇利导出了随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知，它对后来布朗运动的物理学没有产生直接影响。
爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走（random walk ）均方位移（me-an squared displacement）随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子：
用现在的符号表示则有＜x[2]（t ）＞＝2Dt。1908年这一结果立即被佩兰用来测定阿佛加德罗常数， 进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。
但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及许多艰深的内容。对于离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对于连续情形却遇到了严重的困难；布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。这时已有了勒贝格的测度理论，而又恰好出现了一个伟大的人物——维纳，维纳抓住这个时机（大约于1921年），利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，后来称之为维纳过程或者布朗运动。芒德勃罗早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动轨迹视为二维分形。
1968年芒氏与尼斯（J.W.van Ness）合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分数噪声及应用》，1969年与瓦利斯（J.R.Wallis）合作发表论文《带有分数高斯噪声的计算机实验》，1971年发表论文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干新工具、新方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通讯工程和经济学领域部分尝试过。
芒氏1968年的文章通过引入“记忆”推广了布朗运动，对于关系σ[2]（t）＝t[2H]，H的取值范围一般限制在（1，1／2）之间，当H＝1／2时，正好对应于布朗运动。这一推广意味着随机行走的均方位移随t[2H]而增加。当H较小时扩散较慢，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。
如果随机行走发生在分形体上（如逾渗格子），则运动行为不同于一般的布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成两类。当H小于1／2，均方根位移慢于线性增长，当H大于1／2时，均方根位移快于线性增长。其中后者非常有趣，涉及著名的“莱维飞行”。
布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走者t时间后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。 对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一随机变量， 其概率分布为p（x），具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N 步的总和的分布仍然具有与单步相似的（乘以一个标度因子）分布？这等于问，整体与部分何时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步高斯分布加起来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。
广义的莱维稳定过程（S[D][,1]+S[D][,2]＝S[D]，S[,1]X[,1]+S[,2]X[,2]＝SX+常数），仅对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定概率分布。除了在高斯情形中，随机行走（飞行）没有特征尺度。正是这一性质决定此类随机行走是标度不变的分形。这种随机行走好的性质在于自相似；坏的性质在于具有无穷矩（infinite moments），于是均方位移发散。
矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由于芒德勃罗的大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期“莱维飞行”成了时髦的研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一的代表人物，这一点应特别提及。
莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微。但跳跃的步长可以变化。经过一番处理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量X具有无穷方差，并不能否定X以概率1取有限值。 例如柯西密度1／[π（1+x[2]）]变量几乎总是有限的，但它具有无穷方差和无穷期望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某种速度，这种过程又叫作莱维行走（Lévy walk）。人们可以问在不同的飞行片段中，在时间t粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是发散的。
从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用于各种场合，包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科学界直到90 年代才认识到这部分工作的重要性。
1963年秋季他在哈佛大学听了斯图尔特（R.Stewart ）的一次讲座，了解到流体力学研究中讨论阵发（间歇）（intermittency）现象，同时知道了苏联学派关于湍流研究的一些最新结果，如柯尔莫哥洛夫1941年与1961—1962年两个阶段的创造性工作。芒德勃罗立即有一种冲动，试图转向湍流研究。他觉得这些观念对于自己并不算新鲜事，大约10年前自己在研究通讯噪声时，就碰到过类似的现象。他认为湍流中的许多问题与分形有关（当时还没有“分形”这个概念）。他迫不急待地想把自己在其他领域做的工作“翻译”成流体力学的语言。
1967年他才发表关于湍流的文章《偶发湍流》（Sporadic turbulence），1968年发表《论阵发自由湍流》（On intermittent free turbulence），1972年发表《有关阵发湍流能量耗散的对数正则假设的可能细化》，1974年发表《自相似级联阵发湍流、高阶矩的发散性与载体的维数》，1975年发表《论各向同性湍流》，1976年发表《阵发湍流与分维》，1977年发表《分形与湍流：吸引子与弥散》等。
芒德勃罗对湍流的研究不是从基本方程入手进行严格数学分析，而是从宏观上、从几何角度观察，先获得几何直觉，构造核心概念，再一层一层作定性分析。这一思路是“将自相似技术应用于湍流的几何学”。芒氏明显地受柯尔莫哥洛夫1941年文章风格的影响，作出“湍流运动的奇异性本质上是分形”的重要猜想。他说：“纳维叶－斯托克斯方程的解如果存在，就是事实上的极限分形。 ”法国尼斯天文台的弗里茨（Uriel Frisch）教授1995年在专著《湍流：柯尔莫哥洛夫的遗产》中高度评价了芒德勃罗关于阵发湍流的思想，实际上弗氏是较早就认识到芒氏思想重要性的少数人之一。
6.个性与成功之路
芒德勃罗始终生活、工作在逆境中，在70年代中期以前，世界上没有几个人知道他，更谈不上真正理解他了。他几乎是打一枪换一个地方，在不同学科中窜来窜去，哪一个学科似乎也没有特别注意他。维纳在《人有人的用途》中两次提到他算是个例外，维纳那时搞的“控制论”也是新鲜事物，理解的人也不多。
芒德勃罗发表了许多论文，但他回忆说，当初发表每一篇都十分艰难。他不断投稿，审稿人对文章的批评毫不留情面（那时他没有名气），稿件被一次次退回。关于星系结构的论文始终难以发表，“我关于星系的工作在别人知道它之前是不可接受的，而在它成为可接受的之前，人们又不知道它。”发表出来的也做了一些修改，特别是编辑命令他删除“可疑的哲学”部分。
在写作风格上，芒氏后来坦率地承认，他不得不装成某个领域的内行的样子，在论文中故意加进一大堆数学公式和推演细节。虽然也不是特别成功，因为他始终带有极强的“异国口音”，“但是这种办法对于把我的论文发表在一些好的学术杂志是必要的和充分的”。
芒德勃罗把科学界对他的学说的态度分成四个阶段。在第一阶段，人们总是问：你是谁？你为什么对我们的领域感兴趣？第二阶段则是，这与我们所做的有什么联系？你为什么不用我们所知道的知识来作解释呢？第三个阶段是：你能保证这是标准的数学吗？我们怎么不知道？第四阶段是：这些领域的数学家怎样评价你的工作？芒氏对后两个问题的回答是：“我能保证这是标准的数学，只是人们很少知道。他们无所谓，因为我的工作并没有增加什么数学。”
1964年他参加了在耶路撒冷举行的“逻辑学与科学哲学大会”，在会上作了“尝试性的分形宣言”（tentative fractal manifesto ）的报告，可惜没有正式发表出来。到了70年代初芒德勃罗手边已经积累了不少未发表的和退回的稿子，据说已经堆成了堆（90年代时他不断地抽出一些略加修改就发表了）。
芒德勃罗一直在思考着，当今学科分化严重，学科壁垒森严，像他这样东一榔头西一扫帚，在不同学科进进出出的，很难站稳脚根，别人不会承认自己。如果要生存下去，就不能与正统对着干。短期策略是，要取得别人的信任，尽量隐藏自己的真正意图，争取多发表一些论文，审稿人和编辑希望怎样修改，自己就怎样修改。而长期战略是，要学会自我推销，最终建立自己是“教皇”（Pope）的一块阵地：即创立一个属于自己的新学科。
1973年芒德勃罗终于找到了一个绝好的机会。这一年他到巴黎去休假，此时他叔叔佐列姆已经退休， 正好可以邀请他在法兰西学院（College de France）作一场重要的报告。这对于自己发表一篇一般性宣言以及解释清楚自己多种不同兴趣的内在统一性，是一个黄金时机。他作了精心准备，在准备过程中他发现自己的整套工作比以前自己所知道的更完备、更协调了。讲座在1973年1月进行，极其成功， 一个朋友告诉他，这是他听到过的最具自传色彩的科学讲演。
80年代中期芒德勃罗及分形几何学红得近乎发紫，他也变得有些狂妄。他写文章和书充满了第一人称，他常用“我宣布”、“我认为”、“我发现了”、“我运用了”、“我认定”、“我证明”、“我命名”、“在我漫游我自己新开创的、新开发的学术领地里，我时常行使对新领域中的路标进行命名的权力”。对于纯粹数学家来说，芒德勃罗并非数学家。在他的成就达到最高峰时，他甚至遭到一些同事的辱骂。有人认为芒德勃罗关于自己在科学史上的地位的说法简单是神经病，他们说芒德勃罗向别人述说的贡献，纯属吓唬人，耸人听闻。格莱克（J.Gleick）说：“他甚至会写信给一些写了分形方面论文的作者， 责问人家为什么不引用他的文章与他所写的书！”芒氏的一位朋友里希特（P.H.Richter）替他辩解道：“他一生坎坷，与别的数学家很难相处，为了生存下去，他必须采用这种战略，不断鼓吹他的自我。如果他不这样做，如果他不这样自信，他就永远不会这样成功。”
看芒德勃罗的论文和专著，会注意到他大量引用前人的工作，他自己声称善于在数学垃圾筒和故纸堆中找金子。但一些人并没有因此而表扬他，反而说他经常引用一些名不见经传、多半已经“安全地”死去了的人物，为的是突出他自己，以使他自己成为学术领域的中心人物。有人甚至怀着嘲笑的语气说，他只会从一个领域拿来一些东西，当成他自己的，然后贩卖到另一个领域。有人一面吸收着芒德勃罗的思想，一面尽力避免使用“分形”与“分维”这样的词汇，故意用“豪斯多夫－贝塞克维奇维数”等等。当然大多数科学家还是能够充分理解芒德勃罗的，他们考虑芒氏曾克服的重重困难，便原谅了他的强烈个性。毕竟科学就是科学，看的是科学内容而不是当事人的人品和个性。由于不喜欢一个人的个性而不喜欢他的实实在在的有价值的科学工作，是不明智的，到头来也证明是个性偏执的。
对于芒德勃罗的风格，数学界还有一个反感。纯数学家认为他只是到处宣布一些猜测，而不是下力气去严格证明它们。发现周期倍分岔普适常数的费根鲍姆（M.Feigenbaum，1945—）也遇到过这种情况，有位数学家指责他是讲数字呢还是讲严格证明。这是数学家与物理学家之间的一个老矛盾了，不过现在由于计算机大量用于科学研究，此问题显得更加突出。如果某人宣布某一事情也许为真，而另一位严格证明它为真，试问哪一位科学家的贡献更大，谁的工作才算真正的科学发现？这个问题很复杂，不可一概而论。
80年代芒德勃罗卷入多种争论，其中影响较大的公开争论有两场，限于篇幅这里不详述，请参见文献[14，27]
7.问题与启示
芒德勃罗是靠强调几何取胜的，“分形”也是这样宣传起来的，但代数、几何、分析同等重要，不同时代，不同学派各有所侧重是正常的，但用一种去排斥另一种就显得不自然（如布尔巴基故意避开几何图形）。几何重形象，有助于对问题的理解，但过分依赖形象是不够的、不严格的。
对待分形几何这样的新事物，既要有所怀疑又要宽容。这个学科处于草创阶段，问题多如牛毛。问题多是好现象，没有问题该学科不是无意义的学科就是已经死掉了的学科。还要看这“牛毛”里是否有突出的问题以及这些问题是否有解决的希望。
芒氏在多种场合吹嘘过自己的新几何学，但他也讲过这样的话：“最应强调的是，我并未把分形观点看成是万灵妙方，每个范例研究都应根据它所在领域内的准则来加以检验，也就是，多半是基于它的组织、说明和预测方面的威力，而不是作为数学结构的一个例子。因为每一个范例研究都必须化简以使它成为纯粹技术性的问题，读者若要了解详情，可查阅其他文献。结果（如像汤普森1917那样），本书从头至尾都是序言性的。任何有更多期望的专家都将感到失望。”
人们容易看到芒氏坚定信念、大胆创新这一面。但要注意芒氏这样的人才是很少的，不可否认他的确天资聪颖，他的基本数理功底也是相当不错的。他虽然不善于证明一串串的数学定理，但他的数学与物理直觉很好。他从未为了创新而放弃理性，从未在自己生疏的领域留下伪科学的笑柄。如果不打好基本功，以芒氏为榜样以期取得重大科学突破，大概是不可能的。举例来说，芒氏如果数学分析基础不好，他也不会注意那些古怪的案例，只有对课本正统内容有深刻领悟，才能发现别人不容易发现的问题。同样他的概率论学得也是相当有深度的，他对莱维的非高斯稳定分布有强烈印象，后来才尝试把它用到各个领域，而在当时，甚至现在，绝大多数人也不理解甚至不知道还有莱维分布。通常人们是由理工科跳到经济、社会科学，反向跳几乎不可能，这种不可逆性是显然的，但芒氏研究了经济后，还能研究湍流，到80年代又开始了复迭代函数的研究，并且取得了成就。
即使像芒德勃罗这样一个与政治无关的人物，评价起来也不容易做到客观公正。这主要牵涉当世人的利益关系和个人情感、好恶。吾辈小人人物任凭如何评论，关系不大，但作为有影响的人物出面参与评论，情况就大不一样。比如芝加哥大学卡丹诺夫教授卷入与芒氏的争论，其影响就非同小可。所以科学界的大人物作评论要慎重，但常常不是这样。在评价一个科学工作者时，更多是要看他的科研成果，而不是别的什么东西。
芒德勃罗在IBM任职20余年后，才算混出一点名堂， 但他始终得到格莫瑞（R.E.Gomory，曾任IBM公司经理、部门主任、研究部主任和副总裁）的信任和大力支持，对此芒氏念念不忘。[4]在IBM供职期间，公司还为他创造了各种机会，允许他到全美以及世界各地作短期访问和兼职。当然，IBM下属研究所的许多研究是纯粹科学探索性质的， 不要求有任何商业考虑。从长远看，这是“欲擒故纵”。分形研究以及研制“深蓝”与卡斯帕罗夫（Kasparov）下棋，虽耗资巨大，但最终使IBM 声誉大增，间接促进了其商业行为，善于讲兵法的中国人怎么只会在口头上高谈阔论？