数学理解的案例分析，本文主要内容关键词为：案例分析论文,数学论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学理解是世界数学教育界所关注的一个中心话题.在日常教学中，数学理解作为一个目标层次被解释为（注：数学教学大纲将教学目标分为了解、理解、掌握、灵活运用等四个层次.）：对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得出来的，它与其他概念之间的联系，有什么用途.这个解释重在结果和外在表现的判定.而认知心理学则把数学理解描述为，数学学习的内容“成为个人内部网络的一部分”，强调在心理上能组织起适当的有效的认知结构（参见文[1]、[2]、[3]）.对于具体数学问题的解决而言，理解的更朴素认识通常是，明白了问题的条件与结论，弄清了由条件到结论间每一步骤的语义与根据，领悟了体现在步骤与过程中的思想方法；如果还能作点变通与推广，还能用所接受到的结论或方法去解决其他问题，那么就理解得更好、更深、更透了.
本文无意专谈数学理解的理论认识，而只是将个人所经历的、读者也很熟悉的几个解题案例作体验性的呈现，与读者一起学习数学理解.为了说明问题，不得不复述一些事实，但已经转换了角度——服务于数学理解的学习.
1 案例1——构造方程的理解
我们首先要提起20多年前出现、至今仍被广泛引用的一个典型例子.
例1 （1979年数学高考理科第一题）
求证x、y、z成等差数列.
这道题目有很多解法（文[4]P.96记有7种，文[5]P.131记有5种），综合起来可反映出两种类型的理解.一种是直接看题目的意思，由条件提供的等式①，逐步变形，得出结论所需要的等式x-y=y-z，完成解题.另一种则由已知等式①的结构，获得二次方程“判别式为零”的内容.本文仅谈后一类处理，从而显示理解的层次性.
1.1 由判别式到二次方程的对应
（1）高考过后，很早就有这样的解法，由已知条件①式的结构，联想到二次方程的判别式
等均以⑥为判别式.
（2）1989年，我们在“判别式为零”的同样观点之下，视方程的两个等根为x-y，y-z，使用题目的隐含关系③，构造方程
的小小变形.此时，构造方程②、⑦均可以作为认识的中间过程而退隐.理解能力强的读者甚至一开始就能看透题目中⑩式的结构.
1.2 层次性的体验
回过头来，我们可以看到，构造方程②、⑦反映了主体对题目的两种理解水平，其区别至少有三点.
（1）在对题意的表征上，第1种理解只将条件表征为二次方程的“判别式为零”，而在这一表征下方程有什么样的等根是朦胧的，此后虽得出了两个等根1与
，却既复杂又要讨论分母是否为0；第2种理解不仅将条件表征为“判别式为零”，而且，同时将结论表征为两根相等，这在理解的广度和深度上都比第1种理解看得更多.
（2）在题目信息与主体认知结构相互作用的维度上，第1种理解默认了判别式⑥与二次方程⑤“一一对应”（主要是心理原因而非知识不过关）；第2种理解则突破了这种心理封闭，从原有认知结构中构建起一个更接近题目结构特征的方程⑦，这个方程一旦写出，由条件到结论是直通车.两种理解在这一点上的差异表现为内在认知结构的不同，同一个刺激“判别式为零”，由于内在认知结构的差异，做出了方程与判别式对应关系上的不同反应，导致对本题的不同处理.
（3）在对题目本质结构的接近上，第一种理
z-x=-[（x-y）+（y-z）]；
结论：x-y=y-z.
并且在一开头构造方程⑦时就用到隐含条件③式，尔后又自觉用在简化结构⑩式中.可以说，两种理解差异的一个重要原因，就在隐含条件③的挖掘上，或说对题意理解的深与浅上.事实证明，本例的大量解法都先后用到③式，对其使用越自觉，解法也越简单，所以说，自觉使用③式比较接近题目的本质结构.
从构造方程②到构造方程⑦的一点点改进，历经10年的时间（不要误解为连续想了10年），实在有点姗姗来迟，但恰好从一个侧面反映了理解有层次性，同时也说明理解有过程性.
1.3 过程性的体验
作为理解过程性的正面说明，我们想指出两点.
（1）对于这样一道简单的题目，我们（可能也仅仅是我们）经历了10年的时间，可以分为四个层面：
（2）自文[6]（1990年12月）发表构造方程⑦以来，又经历了10多年，期间各报刊以构造方程②作为范例的文章不计其数，前些年常冠以“构造性思维”的标题，近些年则多用“创新”的词语，我们在文[7]、[8]中两次提醒还有更深层次的理解，但声音太弱，至今构造方程②的心理封闭仍充斥报刊.这使我们反思，不能怪文章作者或报刊编辑见识面窄，可能，理解从一个层面到另一层面需要过程，同时，当人们获得一个层面的理解时，常常会产生心理上的满足，妨碍他们对另一层面的更高追求，这又使我们想起了几句话：
知道的越多，不知道的也越多；
一个问题的解决意味着更多问题的诞生；
带着问号进来，带着更多的问号出去.
2 案例2——面积剖分与空间拼接的理解
我们接着要谈一个最新的、几乎每个中学数学刊物都登载过的例子，即2002年高考数学试卷中的立体几何剪拼题，其具体表述方式在不同地域中略有差异.
例2 （2002年数学高考文科第22题，文理合卷第21题）
（1）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1，图2中，并作简要说明：
（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积大小；
（3）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明.
教育部考试中心的“评价报告”认为，这道题“别开生面，要求考生自行设计，将正三角形纸片剪拼成正三棱锥、正三棱柱模型，通过动手剪拼的实际操作，要求考生把握数学规律的内在本质，自己动手解决实际问题.这种题型有较大的自由度和思维空间，体现自主学习和主动探究精神，显现出研究性学习的特点，对于培养考生的实践能力和创新意识有重要的意义.”对于剪拼三棱锥而言，别的都好理解，就是“把握数学规律的内在本质”、“有较大的自由度和思维空间”等该如何认识呢？
我们看到，在讨论本高考题的众多文章中（参考文献列有10多篇）都以拼接三棱柱为主，似乎剪拼三棱锥无非是连三条中位线（图4）、没有什么可说的，似乎评价报告主要指的是三棱柱剪拼、对三棱锥没有什么可控究的.文[28]感慨说：“作为数学教师，恐怕没想到儿时的接剪游戏会登上高考的大雅之堂.”当我们在数学解题论课堂上问，从图4的解法中能学习到什么，从内在认知结构中调动了什么，还能作什么探讨时，教室里鸦雀无声.
我们的感受是，讨论剪拼三棱锥比讨论剪拼三棱柱更有典型性，涉及的知识略多，在观念上更能引发震动，因而本文的讨论以三棱锥为主，顺便提到剪拼三棱柱.为了叙述的方便，假设已知正三角形的边长为2.
2.1 剪拼图的理解——掌握正三棱锥的定义吗
将正三角形从平面到空间拼接成三棱锥要做两件工作，首先是平面图形的剖分，其次是剖分图形的空间拼接.这两步工作都分别涉及理论依据和操作方法两个维度，但共同的，也是首要的是，三棱锥几何结构的明确.
（1）正三角形从平面到空间拼接的理解.
我们问过，如何由图4拼接成三棱锥（过程），得到的回答大多是“沿正三角形的三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥”（见文[9]P.26），无疑这是一种较为简单的操作方法，但其千篇一律却反映了中位线三角形只“做三棱锥底面”，缺少也可以“做三棱锥侧面”的意识.文[17]明确说：“图1剪拼成正三棱锥模型，其方法是惟一的.”
即使是中位线三角形只做三棱锥的底面也有两种不同的理解水平.一种水平是将图4看成四个全等的正三角形，此时没有任何变化的余地（图5-（2））；另一水平是将图5-（1）解释为中央的正三角形做三棱锥的底面，此时中央的三角形缩小，仍可根据下面的定理5、6将图5-（3）中三个方向上的五边形（或图5-（4）中的等腰梯形）作等积变形变为等腰三角形.
其实，由简单的逻辑分类（或充要条件知识）可知，中位线三角形既可做三棱锥的底面又可做三棱锥的侧面，而做侧面的拼接过程可解释为，先将正三角形分为一个小正三角形与一个等腰梯形（上底是下底的一半，图6-（2）），然后将等腰梯形再分成三个全等的三角形做侧面.这又存在两种水平，一种水平是梯形分成三个全等的正三角形（充分而非必要），此时没有任何变化的余地；另一水平是将梯形分成三个全等的等腰三角形（图6-（3）），此时，作底面的小三角形放大或缩小（边长记为x），仍可根据定理5、6将一个等腰梯形（上底为x、下底为2）作等积变形变为上底为x、下底为2x的等腰梯形，文[18]、[19]、[20]就是这样的思路.
这样，对图4及拼接过程就存在两种理解，每一理解又存在两种水平，表现为，中位线三角形是只做三棱锥的底面还是既能做底面又能做侧面，三棱锥侧面是只取正三角形还是既能取正三角形又能取更一般的等腰三角形，这反映了对正三棱锥几何结构的不同表征，从而涉及“评价报告”说的“数学规律的内在本质”了.
按照正三棱锥的定义，它的底面是正三角形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，因而其三个侧面应为全等的等腰三角形，并且，一般情况下底面与侧面是不能互相替代的，只有在特殊情况下正三棱锥才成为正四面体.
作为对正三棱锥几何结构的认识，还有一个问题，是否任意的等腰三角形都可以作为正三棱锥的侧面、拼接时在空间“三线共点”？回答是否定的.最明显的直观是，面积太小不可能（侧面积要大于底面积），顶角太大也不可以（定理2）.事实上，构成三棱锥本身首先要满足相应三面角的性质.如
定理1 三面角的任意两个面角之和大于第三个面角.
定理2 三面角的三个面角之和小于360°.
等等，不仅如此，剖分还受到面积为定值的限制，所以，图5-（3）、（4），图6-（3）中的小正三
构未吃准，对面积剖分理论未吃透.
（2）正三棱锥从空间到平面展开的理解.
与从平面到空间的拼接相比，空间展开的道理较为简单，因为前者不仅要考虑展开图的平面结构，而且要考虑其空间的存在性.后者，则以正三棱锥的存在为前提，但形式较多.
虽然，不同的展开方式得出的图形不一样，但其基本构成应是相同的，即有一个正三角形（记边长为x），有三个等腰三角形（底边长也为x，顶角小于120°）.此外仅考虑沿三条侧棱剪开的展平方式.
文[9]P.26说：“将正三棱锥沿各侧棱剪开，将各侧面展开成与底面共面，则正三棱锥的底面必须是正△ABC的三条中位线.”这里默认了展开图为正三角形，如果连三角形都不是，也就无所谓中位线了.
文[10]P.19“运用逆向思维的方法”也得出（如图7-（1））“沿着正三棱锥的三侧棱PA、PB、PC剪开，把三侧面沿DE、EF、FD平放在底面DEF所在平面上，可得出图7-（2），由于正三棱锥三侧棱相等，可推知D、E、F分别是正三角形三边的中点，至此，不难得到由三角形ABC拼剪一个三棱锥的方案.”这里，虽解释了AD=BD=BE=CE=CF=AF，但没有解释为什么A、D、B“三点共线”.
事实上，正三棱锥展平到底面有多种基本形式（如图8），如同空间拼接时要考虑是否“三线共点”一样，展开时也要考虑是否有A、D、B“三点共线”.这要求三棱锥共顶点的三个面角之和为180°，文[11]证明了.
定理3 四面体每一顶点处的三个面角之和都等于180°的充分必要条件是四面体的对棱都相等.
由于正三棱锥的对棱相等时，必为正四面体.因此，以文[9]、[10]、[17]为代表的认识，反映了人们对正三棱锥的定义（或说其几何结构）存在心理封闭，默认正三棱锥为正四面体，同时也默认中位线三角形只做正三棱锥的底面.若是解题只画虚线而不要求说明理由，不说明展平或拼接的过程，高考是可以得本问满分的，若要说清理由，则这种默认正是高考中“对而不全”的常见病.
2.2 多种剖分方法的理解——掌握面积剖分定理吗
上面主要说了与三棱锥相关的几何结构，从而提供平面图形剖分（注：若一个简单多边形P上的两点用任意一条折线段连结，而这折线整个在这多边形的内部，且不含有重点，那么就产生两个新的简单的多边形P[，1]和P[，2]，它们的内点都在P的内部，我们就说，P分割成P[，1]与P[，2]，或者P剖分成P[，1]与P[，2]，或者P[，1]与P[，2]拼接成P.）的目标.下面说的是如何实现目标，涉及依据和方法.
（1）从知识结构上找原因
谈论本高考题的众多文章，大多都谈正三棱柱的多种拼接方法（参考文献中仅2个人专谈三棱锥另外拼拼方法，见文[18]、[19]、[20]），并且还多从操作层面上介绍，这是为什么呢？原因可能因人而异，我们从知识结构上分析，认为不排除有以下两个因素.
其一，自认为拼三棱锥较简单，讨论拼三棱柱更有价值（避轻就重），这是一种误解（避重就轻了）.事实上，把一个图形等积变形为一个矩形（然后组成三棱柱）要求较宽松，操作更方便，而剖分组合成一个等腰梯形（上底等于下底的一半，并且上底长有隐蔽的范围）要求较严格，既有形状标准，又有数量标准.一个简单的测试是，将第（3）问添上拼三棱锥，看哪种情况完成得更好.
其二，在知识结构中，理论上没有激活一条面积剖分定理作思想指导，技能上缺乏用平行线进行等积变形的操作经验.师范院校的初等几何研究课讲过，在面积理论里有关于剖分相等（注：若两个简单多边形都能剖分成有限多个三角形，并且这些三角形成对的全等，这两个多边形就说是剖分相等.）的很深刻揭示.如
定理4 面积相等的三角形必是剖分相等的.（见文[12]P.146）
定理5 存在一个三角形与已知多边形剖分相等.（用数学归纳法）
定理6 两个等面积多边形剖分相等.（用定理5及面积的传递性）
在我们的知识结构中缺少这些成分会导致两个后果，或者产生错误的认识，或者带来行动的盲目.请看几个例子.
文[9]曾考虑将图1、图2变为两个全等的等腰三角形，根据定理4这在理论上没有什么变化（操作有不同），而文[9]却囿于中位线三角形做三棱锥底面的思维定势，用定理1证明了：“当等腰三角形是钝角三角形时不能剪拼成一个三棱锥”，“总能剪拼成一个直三棱柱的模型”.
立体几何课本（P.54）曾给出厚纸片如图9，让学生“再把它折起来粘好，做成棱柱的模型”.文[13]产生联想，能否将正三角形先剖分为图9，再拼接为三棱柱，根据定理5这是没有什么疑问的，文[13]却证明了“按类似方法无法将一块正三角形纸片剪拼成一个正三棱柱.”然而，文[14]通过将底边12等分的方法把正三角形剖分成图9，从而拼接成正三棱柱.
与多数文章不同，文[18]、[19]、[20]提供了拼接三棱锥的图6-（3）思路，但使用的作图方法限制了小三角形边长x的取值，按照文[19]的作法，
1），均缩小了x的范围，表现虽在操作上，但根子还是缺少面积剖分理论的自觉指导.
我们认为，认清了正三棱锥的几何结构，充实了面积剖分定理，使用平行线（或全等形移动）作等积变形（古语称为出入相补），高考题的剪拼方法是要多少有多少（要简单些的），并且
（2）从作图方法上找原因
在明白了理论依据之后，我们来讨论具体作图，初步统计表明，仅文[18]、[19]、[20]专门谈到拼接三棱锥的另外剖分方法，其基本思路是相同的（如图6所示），即把一个等腰梯形（上底为x，下底为2）等积变形为另一个等腰梯形（上底为x，下底为2x）.我们首先从操作层面分析上述解法，然后给出一个较一般性的处理.
先看文[19]，其作图过程如图10所示.
① 这两个三角形剖分相等可以这样进行：作△DEB关于直线DE的对称△DEB′，得四边形DB′EG，连GB′交直线DE于P，则GP=PB′.在△DGB′中，过P作三角形的两条中位线，则△DPG与△DPB′被分成两对对应全等的三角形；同理在△EGB′中，可把△EPG与△EPB′分成两对对应全等的角形.从而△DEB与△DEG被分成四对对应全等的三角形，亦即将△DEB剪开可拼接成△DEG.