切线的证明是初中阶段圆的重要内容，也是中考必考点。其证明方法可以用口诀概括为两种：一是“有交点，连半径，证垂直”；二是“无交点，作垂线，证半径”。 在做题的过程中，学生尽管在图形上做了各种标记，也进行了努力的分析，但依然一做就错；即使做出来了，也非常的冗长复杂。有没有更好的办法，让学生更容易理解和掌握呢？究其缘由，是学生没有掌握其方法。本文以两道课本习题为例，谈谈证垂直的几种方法。
例1：如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE。
求证：CE是⊙O的切线。
学生无从下手，问题到底在哪儿？独立思考后，学生有了自己的想法：
学生甲（全等法）：如图1。
图1
通过证明△OCE≌△OBE，得到∠1=∠2，即∠OCE=∠OBE=90°。
∵OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的切线。
学生乙（等腰法）：如图2。
图2
通过等腰△OBC和等腰△CBE得到∠1=∠2，∠3=∠4。所以 ∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠OCE=90°……
学生丙（等腰法）：如图3。
图3
通过等腰△OAC、等腰△DCE得到∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3=∠1+∠4=90°，∴∠OCE=180-(∠2+∠3)= 90°。∵ OC是⊙O的半径，∴ CE是⊙O的切线。
还可以用“平行法”，见例2。
例2：如图，△ABC中，AB=AC,以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为点E。求证：DE是⊙O的切线。
图4
证明：如图3，连接AD、OD。
∵AB是直径，∴AD⊥BC。∵AB=AC，∴ OD是△ABC的中位线，OD∥AE,∴∠ODE=∠AED=90°，∴ DE是⊙O的切线。
方法小结：小绝招大智慧，证明某直线是圆的切线，有三种基本方法：（1）全等法——快速地从图形中找出或构造全等三角形，从而证明与已知的直角相等，得到垂直。（2）等腰法——直接从图中寻找等腰三角形，利用等腰三角形的两个底角相等，根据角的互余关系进行转化。（3）平行法——如果某直线垂直于两平行线中的一条，必垂直于另一条。这三种基本方法给学生指明了解题的方向，增强了信心。有了这“源头之水”，学生的智慧立刻鲜活起来。
下面是这三种方法的应用：
例3：如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G。求证：FG是⊙O的切线。
证法一：等腰+平行
证明：连接OD（如图5）。∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AF。∵FG⊥AC，∴OD⊥FG。∵OD是⊙O的半径，∴FG是⊙O的切线。
图5图6
证法二：平行法
证明：连接OD、AD（如图6）。∵AB是直径，∴AD⊥BC。∵AB=AC，∴D是BC的中点。∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AF，∴∠ODF=∠AFD=90°，∴FG是⊙O的切线。
证法三：等腰法
证明：连接OD（如图7）。∵AB=AC，∴∠C=∠3。又∵OA=OD，∴∠2=∠3=∠C。∵∠1+∠C=90°，∴∠1+∠2=90°，∴∠ODF=180-(∠1+∠2）=90°，∴FG是⊙O的切线。
论文作者:周成
论文发表刊物:《中小学教育》2020年第387期
论文发表时间:2019/11/14
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