关于研究性学习中的“理论型”研究课题，本文主要内容关键词为：研究课题论文,研究性学习论文,理论论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
数学研究课题有两类：一类是实际应用型的，另一类是理论型的.数学研究性学习也应该有相应的两类课题.目前，在我国数学研究性学习取得了很大的进展，成果喜人.在教师的指导下，学生发表了不少质量较高的论文.但从已发表的论文看，大多数是属于实际应用型的，理论型的很少.本文呼吁：在继续重视实际型研究课题的前提下，也要重视理论型的研究课题.
为什么也要重视理论型的研究课题呢？这是因为：（1）使学生受到实际型与理论型研究课题的全面训练与实践，有利于学生全面地认识理论与实践的辩证关系，避免日后产生思想认识上的偏颇.（2）理论型研究课题有利于提高学生学习的深度.（3）有利于培养学生解决理论问题的能力，提高其数学理论素养.
下面列举数学研究性学习中的一些理论型课题，供有兴趣的师生参考.
一、概念学习、研究中提出的课题
1.定义的等价性研究
例1 有理数的两种定义等价吗？有理数是这样定义的：“整数和分数统称为有理数”.而在有的书中有理数是以另一种方式定义的：“有限小数或无限循环小数统称有理数”.有必要研究一下，这两种定义等价吗？
2.对已有定义的质疑
例2 高中数学中关于两条异面直线的距离是这样定义的：“我们把与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线”，“两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离”.对这个定义我们提出以下质疑：（1）任意两条异面直线是否存在公垂线？（2）任意两条异面直线的公垂线是否唯一？
3.概念性质的研究
例3 周期函数性质的研究.设f（x）、g（x）都是周期函数，问：（1）f（x）±g（x）、of（x）、f（x）×g（x），f（x）÷g（x）、f（mx）是周期函数吗？（2）周期函数是否必有最小正周期？（3）f（x）、g（x）分别有最小正周期
，
，那么f（x）±g（x）、f（x）×g（x）一定有最小正周期吗？若有，最小正周期应等于多少？
4.新定义研究
例4 等腰三角形与等边三角形在形状上是不同的，它们之间有些差异较大，而有些差异较小.我们把它们之间的接近程度称为“正度”.请你给出“正度”的定义，并对定义的合理性加以讨论.
二、定理、公式的学习、研究中提出的课题
1.定理、公式的推广研究
2.某些定理可以用初等方法证明吗
3.对定理已有证法的质疑
例7 对勾股定理证法的质疑.数学教材对勾股定理是这样证明的：“如图1，三角形ABE、BCF、CDG、DAH是四个全等的直角三角形，它们的两条直角边分别等于a和b，斜边等于c.把这四个直角三角形拼成如图1所示的四边形ABCD，那么四边形ABCD的面积等于这四个直角三角形的面积与四边形EFGH的面积之和”.在这段话之后，编者的证明思路是：
（1）证明四边形ABCD是正方形.
（2）证明四边形EFGH是正方形.
在上述证明过程中，“把这四个直角三角形拼成如图1所示的四边形”这句话是至关重要的，但这一事实成立并不是显然的.例如，我们可以这样设想：先在平面上放置△ABE，然后把与之全等的△AHD拼上去，然后再把与之全等的△DGC拼上去，这样得到如图2的图形.现在如果再把一个与△ABE全等的直角三角形拼上去，是不是一定得到四边形呢？有没有可能得到如图3所示的图形呢？
4.对定理、公式改进的研究
5.探求几个定理之间的关系
例9 我们知道，正弦定理、余弦定理、射影定理都是描述一个三角形中边角之间关系的定理，为了透彻理解，我们自然会问：这三个定理之间有什么关系？它们等价吗？
三、解题研究中提出的课题
1.问题的推广研究
2.习题引发猜想的研究
例11 让我们考察下面这些系数为有理数的方程：
3.解法质疑
上述解法对吗？我认为答案对，但推理的理论根据不足.这是因为：一般地，若.f（x）、g（x）是周期函数，它们都有最小正周期，当.f（x）+g（x）是周期函数而且有最小正周期时，这个最小正周期不一定是f（x）的最小正周期与g（x）的最小正周期的最小公倍数.（反例：f（x）=sin x，g（x）=sin 2x-sin x.可以证明f（x）与g（x）的最小正周期都是2π，但f（x）+g（x）=sin 2x的最小正周期是π，它不是f（x）、g（x）的最小正周期的最小公倍数）.
4.解题中出现的疑惑问题的研究
为什么会出现这样的矛盾，值得研究.
5.问题与方法的改进
在解完题之后，通过对解题过程、解题思路的深入分析，有可能发现问题的结果或方法可以改进.请看下例.
四、课外读书、学习中提出的研究课题
课外读书、学习中提出的研究课题.与前述的课题基本上相合.我们再举一例说明之.
例15 某学生在阅读《十万个为什么》时看到一种巧妙的算法，两个接近100，1 000，…的数相乘，可以这样来计算：
最后得到的结果是998×997=995 006.看完这个算法后，学生想：这个算法的根据是什么？我能推导出来吗？后来学生确实推导出来这个算法的理论根据.并且学生还进一步想：这种算法虽然巧妙，但也有美中不足，它要求被乘数与乘数的位数相同，若不同，它就无能为力了.于是又提出课题：这种算法能否改进？怎样改进？