初中数学中常用的解题策略，本文主要内容关键词为：初中数学论文,策略论文,常用论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
著名的数学教育家波里亚曾指出：“掌握数学就意味着解题”。数学教学的一个很重要的任务，就是教学生学习如何解数学题，教学生学会“数学地思维”。学数学，就要解数学题，数学解题学习对学生巩固知识，培养素质，发展能力和促进个性心理发展都具有极其重要的作用和意义。因此，数学教学必须教给学生掌握一定的常用的解题策略。所谓数学习题的解题策略是指探求数学习题的答案时所采取的途径和方法。方法是有层次的，解题策略是最高层次的解题方法，是对解题途径的概括性的认识。下面结合例题介绍八种常用的解题策略。
1 枚举法
当学生面对的问题存在大量可能的答案而暂时又无法使用逻辑方法排除这些可能的答案中的大部分时，就只能采用逐一检验这些答案的策略。这就是枚举法解题策略。使用枚举法时应做到既不疏漏又不重复。
例1 已知关于x的方程（a－1）x[2]＋2x－a－1＝0的根都是整数，那么符合条件的整数a有__________个。（2000年全国初中数学竞赛题）
解 （1）当a＝1时，方程变为2x＝a＋1，这时方程的根为x＝1；（2）当a≠1时，方程变为（x－1）[（a－1）x＋（a＋1）]＝0。x＝1或x＝（1＋a）/（1－a）。
此时，只有当a取－1，0，2，3时，x才是整数。故符合条件的整数a有五个。
2 模式识别
当学生拿到一个数学习题之后，首先应辨别题目的类型，以便与已有的知识经验发生联系，这种解题策略便是模式识别。当然，这种模式不是一种完全固化了的程序，而是泛指题目所属的某种类型或所涉及的知识范围。学生如果能对某个习题迅速、正确地进行模式识别，就可以很快地缩小思考范围，向最终解决问题迈出了决定性的一步。
例2 甲、乙两人织毛线，甲5小时织的数量与乙8 小时织的数量相等，现乙织了2小时后甲才开始织，问再过几小时甲与乙织的数量相等？
在解代数方程的应用题中，模式识别主要表现为识别应用题的类型，一旦学生能“定准”类型，便能在较短的时间内正确地解出此题。识别能力较弱的同学对这一问题的类型判断，往往在“追及问题”和“工程问题”之间犹豫不决，拿不定主意，而善于识别的学生在认真读过题目之后马上就能认准这是“追及问题”，并能很快列出方程，完成解题活动。他的解题过程主要是模式识别和执行解题策略，搜寻活动很少。
解 设乙每小时织毛线x，则甲每小时织毛线（8/5）x，再过y小时甲与乙织的数量相等，则
（8/5）x·y＝（y＋2）·x，解之得y＝（10/3）小时
答：再过10/3小时甲与乙织的数量相等。
3 变更问题
所谓变更问题，就是在直接求解原问题难以入手时，思维不应停留在原问题上，而应把变问题作适当的变更，将其转化成一个或几个比原问题来得简单，难度较低、易于解答的新问题，通过解决新问题，最终达到解决原问题的目的。经常使用变更问题策略解题的同学，其思维具有较强的创造性。前苏联数学家雅诺夫斯卡娅普说：“解题——就是意味着把所要解的问题转化为已经解过的问题”。从某种意义上讲，解答数学习题的关键就在于对原问题作一系列恰当的变更。
例3 已知x＋y＋z＝1/x＋1/y＋1/z＝1，求证：x，y，z中至少有一个等于1。
分析 本题欲证结论不是用式子表达的，难以直接回答。若把结论变为与之等价的问题：（x－1）（y－1）（z－1）＝0就容易了。
证明 因为1/x＋1/y＋1/z＝1，
所以xy＋yz＋zx＝xyz
所以（x－1）（y－1）（z－1）
＝xyz－（xy＋yz＋xz－1）＋（x＋y＋z）
＝xyz－xyz＋1－（x＋y＋z）＝0
故x，y，z中至少有一个的值等于1。
4 中途点法
一个数学习题，如果从已知条件出发，难以直接得出结论，可在已知条件和结论之间设立几个中途点，从而把原问题分解为若干个小问题，通过这些小问题的解决，使原问题得到解决，这种解题策略叫做中途点法。
例4 在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人。现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、 乙两处各多少人？
分析 此题用列方程的方法求解并不困难，但若考虑用中途点来解则更容易，只要求出最后在甲处劳动的人数即可。最后“在甲处劳动的人数”就是一个中途点。
解 人员调往结束后，在甲处劳动的人数为2/3（27＋19＋20）＝44，故应调往甲处44－27＝17人，调往乙处20－17＝3人。
中途点法是一种重要的解题策略，运用这种策略能否成功，关键在于如何找到合适的中途点。正确恰当地选择中途点需要经过一定的探索过程，需要探索者具有一定的知识和经验，特别是对较复杂的数学习题，这种策略具有非常积极的实用价值。
5 以退求进
华罗庚曾说过“先足够地退到我们所最容易看清楚问题的地方，认透了、钻深了，然后再上去，”这就是以退求进的策略。我们在解数学题时，应当学会运用这一策略。运用这一策略，常见的情形有：从一般退到特殊，从复杂退到简单，从多退到少，从整体退到局部，从较强的命题退到较弱的命题等。
例5 两个边长为2a的相同的正方形， 其中一个正方形的顶点是另一个的中心，求两个正方形重叠部分的面积（图1中的阴影部分），
解 这是多种竞赛中都用过的题目。从一般退到特殊，考虑两个正方形位置关系中的特殊情形，如图2，使它们重叠部分为边长等于a的小正方形，显然所求面积为a[2]，一出一入，证明的方法也一目了然。
6 先进再退
这种解题策略，其思路恰好与“以退求进”的相反。即，我们在解决一个特殊问题时，可以先将这个问题作一般化的探讨，推进到一般的情形，通过对一般问题的解决，再返回来解决原来给出的问题，以达最终目的。这种“先进再退”的解题策略有时更能抓住问题的实质。
例6 计算
解 因为（n－2）（n－1）n（n＋1）＋1
＝（n－2）（n＋1）（n－1）n＋1
＝（n[2]－n－2）（n[2]－n）＋1
＝（n[2]－n－1）[2]。
所以当n＞2时，有
7 正难则反
对于某些数学问题，当正面思考难以进行时，则可转向考察其反面，以突破其思维定势，使“陷入僵局”的思维进入新的境界。当直接解法不能奏效时转而用间接解法，当命题难以被证明时，就转而举反例加以否定，这种正面解决有困难而转向反面寻求解法的策略，称为正难则反策略，解题中常用的分析法和反证法就是正难则反策略的最好例证。数学习题的正难则反策略，在运用时常有以下几种形式：（1）分析法； （2）反证法；（3）淘汰法；（4）逆推法；（5）常量与变元的互换；（6）构造反例等。
例7 圆内不过圆心的两弦必不能互相平分。
已知：AB、CD为⊙O不过圆心O的任意两弦
求证：AB和CD不可能互相平分。
证明 假定AB和CD互相平分于P点，如图3所示，连结OP， 则AP ＝BP，CP＝DP，即P点为AB之中点又为CD之中点，因为OP⊥AB，OP⊥CD。
这就是说，通过P点可以有两条直线AB与CD同时垂直于直线OP。这与已知定理“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾，是不可能的。所以AB和CD不可能互相平分，于是本题得到了证明。
8 从整体看问题
有些数学习题，我们不能分解它的条件或结论，而是从整体看问题，向着既定的目标逐步推进，直至最终解决问题。这种从整体看问题的解题策略常常能使我们的思路豁然开朗。
例8 一个六位数记为1abcde，其中a，b，c，d，e都表示数字，将此数乘以3后得abcde1，试求此数。
解 此题不可分别去求a，b，c，d，e，而应整体地设x＝abcde， 则原数为100000＋x，新数为10x＋1，依题意有：3 （100000 ＋x ）＝10x＋1。
解得x＝42857。
故原数为142857。
数学习题的解题策略，远不止以上八种，我们介绍的仅是学习中常用的策略。另外，各种策略之间也不是完全孤立的，而是相互关联的。因此，在学习中，要指导同学们学会综合地合理地运用它们，以达迅速、准确地解题目的。实践证明，在教学中，指导学生加强对解题策略的研究，总结，有利于提高学生分析问题、解决问题的能力，能促进学生的数学认知结构不断地得到优化与发展，这对于促进学生素质的提高具有重要的理论价值和实践意义。