物体在约束条件下的速度——园丁工程专题之一，本文主要内容关键词为：园丁论文,条件下论文,物体论文,速度论文,专题论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
1 问题的提出
1984年高考有一道物理题如图1所示，要求汽车速度v[，B]与提升物体速度v之间的大小关系.不少学生把绳端的速度向水平方向投影得vcosθ，并认为这就等于汽车速度v[，B]，从而导致错误.此后，不少教师在教学中引入了一些类似的问题，要求学生能正确判定分速度与合速度.教学实践表明，学生对这类问题应用速度分解合成求解时常发生错误.
例如，如图2所示，一根直杆的A端沿竖直墙面下滑，B端沿水平地面向右移动，某一时刻杆与竖直墙的夹角为θ，A端的速度为v[，A]，求杆B端的速度v[，B].有的学生把v[，A]沿杆方向分解得一分量vcosθ，认为A端和B端沿杆方向的速度应相等，B端沿杆方向的速度等于vcosθ，再把这速度沿水平方向分解得一分量为v[，A]cosθsinθ，学生认为B端的速度就等于v[，A]cosθsinθ.这是错误的结论.
又如，如图3所示，A、B以相同的速率v下降，C以速度v[，x]上升，夹角α已知，求v[，x]与v间的关系.有的学生认为v[，x]是左右两边绳的速度v的合速度，画出图4，由图求出v[，x]的大小为v[，x]=2vcosα.这是错误的答案.
这类问题有一定难度，学生犯错误的原因在于没有深刻理解速度概念和平行四边形定则的确切合义.简单地说速度这样分解合成解决不了问题，我们也不应该说速度不能这样分解合成.应该对问题进行深入分析，找出原因、明确关键.这类问题的实质是研究物体在一定约束条件下速度间的关系，因此，关键是根据问题具体情况找出约束条件并用数学式表示出来.
2 一个典型题的分析
题目：在离船的高度为h的岸边，绞车以恒定的速率v[，0]收拖缆绳，使船靠岸如图5所示.求当船头与岸的水平距离为x时船的速度.
由题意知船沿水平方向运动，即绳端点A沿水平方向运动，这就是约束条件.
（1）速度分解合成法
学生认为绳端点A的速度为v[，0]，把v[，0]沿水平方向分解出的分量为v[，0]cosθ，如图6所示.学生认为船的速度v船=v[，x]=v[，0]cosθ=
这个答案是错误.要看出它的错误，可注意v[，0]的另一分量v[，y]，把v[，0]分解为v[，x]和v[，y]，v[，]说明船要沿水平向左运动，v[，]说明船要竖直向上运动，事实上船并没有腾空而起，因此上述答案显然是荒谬的.
但是，我们不应该完全否定图6所示的v[，0]的分解，这样分解符合平行四边形定则，是正确的.我们应该否定的是认为v[，x]等于船速v船.问题在于考虑到约束条件，缆绳端点A的速度不只有一个沿绳方向的速度v[，0]，还应有一个垂直绳方向的速度v⊥，只有这样船才能沿水平向左运动，如图7所示，A点的两个速度v[，0]和v⊥在竖直方向上的两个分量的矢量和应该为零，这样才能保证船在竖直方向上没有运动，即
v⊥cosθ=v[，0]sinθ
所以 v⊥=v[,0]（sinθ/cosθ）
船沿水平向左的运动速度等于v[，0]、v⊥在水平方向的投影之和，即
对这类问题学生容易犯的错误，梁昆淼教授指出：“不要忘了另一投影”.正是这另一个投影及其关系v⊥cosθ=v[,0]sinθ体现了约束条件.
缆绳端点A与船连接，A点的运动速度就是船的运动速度.如果考虑绳的速度，就要注意绳一方面收缩、一方面顺时针转动，绳上各点的速度不同.如图8所示，除绳端点A外，在绳上任取两点B、C，令AB=BC.经过△t时间，A点沿水平方向移动到A＇，B点移动到B＇点，C点移动到C＇点.AB=BC=A＇B＇=B＇C＇，但位移AA＇、BB＇、CC＇的大小和方向都不同，这表明A、B、C三点的速度的大小和方向都不同，A、B、C三点有一个沿绳收缩方向的共同速度v[，0]，但它们另一个垂直绳方向的速度v[，A]⊥、v[，B]⊥、v[，C]⊥大小不同，A、B、C三点绕O点顺时针转动的角速度相等，v[，A]⊥、v[，B]⊥、v[，C]⊥与到O点的距离成正比.因此，在v[，0]+v[，A]⊥=v[，A]沿水平方向时，v[，0]+v[，B]⊥=v[，B]，v[，B]＜v[，A]，v[，B]有一水平向左的分量，还有一竖直向上的分量：v[，0]+v[，C]⊥=v[，C]，v[，C]＜v[，B]，v[，C]水平向左的分量较小，竖直向上的分量较大.
认识到v船=v[，A]=v[，0]+v[，A]⊥后，则如图9所示，可很快得出v船=v[，0]/cosθ.这种解法看起来简单，但教学实践说明初学者不容易理解.
（2）坐标法
图10
选取直角坐标如图10所示，A点的位矢r[，A]=xi+hj，h不变.A点速度为v[，A]=dr[，A]/dt=（dx/dt）i
坐标法的逻辑推理清晰、严谨，但目前对中学不适合.
（3）元位移法
所以v[，0]=v船cosθ
由此解出
这种分析方法是直接从速度定义出发，由约束条件分析经过△t时间，A点位移AA＇与绳的收缩量
间的关系.再考虑△t→0的极限情况，就得到准确的答案.从分析过程清楚看出，并不要求收绳速率恒定，只要该时刻的收绳速率为v[，0]，且θ角已知，则该时刻船的速度v船=v[，0]/cosθ就成立.
元位移法抓住速度概念的本质，突出约束条件，物理图象鲜明，关键是寻求相关的几何关系，采用近似、取极限导出最后结果.这一过程对培养学生逻辑思维能力很有好处.
元位移法不提分速度、合速度，经验表明多数学生能接受这一方法.
以上三种解法各有特点，在大学物理中一般采用坐标法求导，这种方法比较好想，是求解这类问题的基本方法.元位移法最直接地体现了速度概念和约束条件，较坐标法简化，如果相关的几何关系容易求出，这是一个好方法.速度分解合成法只用初等物理知识，要求对问题进行具体深入的分析、明确约束条件和对平行四边形定则的准确理解，否则容易导致错误.