主持人语：
中国逻辑学会会长 邹崇理 研究员
波兰逻辑学家卢卡西维茨曾建立被称为波兰表示法的符号系统，仅仅使用联结词符号就可以无歧义地表达公式。中国逻辑学家张清宇先生在20世纪90年代创建括号表示法，不用联结词而是使用括号表达命题联结词和量词的功能，这是一项可以和波兰表示法媲美的逻辑符号技术的创新性工作。《关于“不用联结词的逻辑系统”的注记》一文对张先生的这一开创性工作进行了阐发，并对相关研究做了进一步的简化，值得一读。
本期刊发的《探索语言逻辑与信息处理结合的新路径》是对2018年9月科学出版社出版的《自然语言信息处理的逻辑语义学研究》一书的评介，认为这本新著以自然语言信息处理为导向，从逻辑学、语言学和计算机科学融合的视角，展开对中文的逻辑语义学研究，为我国计算机的自然语言处理领域提供了新的理论工具。
关于“不用联结词的逻辑系统”的注记
杜国平
(中国社会科学院 哲学研究所， 北京 100732)
摘要： 张清宇先生在20世纪90年代创建了不用联结词的逻辑系统，在其中使用括号表达命题联结词和量词的功能，这是一项逻辑符号技术的创新性工作。波兰表示法和括号表示法是逻辑符号表示法的两个相互映衬的典范。在括号表示法中，“不用联结词”指的仅仅是语形层面上的，而不是语义层面上的。基于括号表示法的命题逻辑公理系统H和一阶逻辑系统QH都可以进一步简化。
关键词： 命题联结词；波兰表示法；括号表示法；独立性；公理系统
张清宇先生从1995年开始发表文章，阐述其在形式语言中只用括号、不用联结词的基本思想，并构建了一系列逻辑系统。本文拟对先生的这一开创性工作做一些阐发，并对相关研究工作做进一步推进。张清宇先生已经离开8年了，但授课之状仍历历在目，谨以此文缅怀先师。
一、括号表示法
一个逻辑系统的形式语言基本上包括三类符号：变元符号、常元符号和结构符号。变元符号一般指的是在给定论域中表示不确定对象的符号，如命题变元p 、q 、r 等等，个体变元x 、y 、z 等；常元符号指的是在给定论域中表示确定对象的符号，如命题常元符号T，真值联结词符号﹁ 、∧等；结构性符号指的是确定符号之间的间隔、结合和顺序关系的符号，它发挥确定符号的结合顺序、运算层次和排除歧义的功能，如逗号、左右括号等。在一般的逻辑系统中，三类符号各司其职，协同发挥着描述所研究对象的功能。
波兰逻辑学家卢卡西维茨(Jan
ukasiewicz)创造性地建立了一套符号系统，在这套符号系统中不需要使用括号，而仅仅使用联结词符号就可以无歧义地表达公式[1]97-100。其基本做法是以大写拉丁字母N、A、K、C等表示联结词否定、析取、合取和蕴涵，把联结词放在所作用的命题元之前，仅仅根据符号的排列次序就可以唯一确定公式的意义，而不再需要括号，如KCNpqp 就表示((﹁p )→q )∧p 。这一公式表示方法被称为波兰表示法，准确、简洁。
张清宇先生则创造性地建立了一套新的符号系统，这套符号系统只使用括号而不使用命题联结词和量词，使括号既表达特定联结词的逻辑功能又发挥括号本身的结构性功能。在文献[2]中，其技术处理的核心要旨是使用命题常项“t”和括号“( )”发挥命题联结词的作用。“(AB )”相当于“A ∧(﹁B )”，即对于一个真值赋值v ，v (t )=1；v ((AB ))=1当且仅当，v (A )=1且v (B )=0。在文献[3]和[4]中，使用命题常项“T”和括号“( )”发挥命题联结词的作用，并扩展为使用括号“( )”进一步发挥量词的作用。“(AxB )”相对于“∃x (A ∧﹁B )”，即，给定一个模型U=(D,I)和U的一个指派α ，TI,α =1；(AB )I,α =1当且仅当，A I,α =1且1I,α =0；(AxB )I,α =1当且仅当，对α 的某个x -变异1，(AB )I,β =1。其他联结词均可以通过定义而引入，如：
A =def(TA )
A ∧B =def(A (TB ))
A ∨B =def(T((TA )B ))
A →B =def(T(AB ))
四是《条例》从生产、生活和生态3个方面作出规定，涉及建设应急备用水源、供水设施改造、取水总量控制、清淤疏浚、地下水禁采、水污染物总量控制削减、城乡污水垃圾处理、禽畜养殖污水污物处置、农药化肥减施、船舶污染物收集、运送剧毒或危险化学品船舶重点区域禁运、蓝藻打捞、植树造林、增殖放流等方面综合的手段和措施。
∃xA =def(Tx (TA ))
15. t((t((tA )(AB )))(t((t((tA )(t(AB ))))A )))
这样，括号一方面发挥了结构性功能，另一方面也可同时表达命题联结词和量词的功能。准确、简洁，完全可以媲美波兰表示法！
在此，需要澄清一个问题，“不用联结词”指的是在形式语言中没有直接使用常用的命题联结词符号，并非指的是在形式语言中语义上完全没有表达联结词功能的符号。今后，我们将把在形式语言中不用联结词而只使用括号的逻辑符号表示法统称为括号表示法，以区别并比照于波兰表示法。
一个符号往往承载着不同的功能，如符号C通常作为一个英文大写字母，但是在波兰表示法中，它具体的语义功能是表示命题联结词的“蕴涵”。因此，形式语言中的符号至少存在着两个功能：一是在语法层面上的语形功能，一个是在解释层面上的语义功能。在波兰表示法中，符号N、A、K、C等一方面在语形上是命题之间的连接符号，另一方面在语义功能上承载着真值函数运算功能和结合的次序功能。同样，在括号表示法中，括号作为一个技术性符号，它语形上呈现的是结构性功能，但是在语义上，它也同时承载着真值函数的运算功能和结合的次序功能。所以，无论是不用括号的卢卡西维茨的波兰表示法还是只用括号的括号表示法，都仅仅指的是在语形上的呈现，而不是指它们在语义层面上没有排除歧义等的结构功能或表达逻辑运算的真值函数功能。所以，“不用联结词”仅仅指的是语形层面上的，而不是语义层面上的。在语义功能上，不论是波兰表示法还是括号表示法，无疑都有承载真值函数功能的“联结词”。
机器识别的首先是语形层面上的形式语言，无论是波兰表示法还是括号表示法均如此，因为其符号简单、无歧义，便于机器的实现和识别，这是其独特的应用价值。另外，探究符号的不同表达功能，可以进一步加深对符号形式处理技术的理解。可以认为，波兰表示法和括号表示法是逻辑符号表示法的两个相互映衬的典范！
二、0 元联结词
逻辑联结词在语形上的作用是作用于已有公式之上形成新的公式，如一元联结词“﹁ ”作用于单个公式“p ”之上可形成新公式“(﹁p )”，二元联结词“C”作用于两个公式“p ”“q ”之上可形成新公式“Cpq ”。“T”作用于0个公式之上形成公式“T”，在此意义上，可将“T”视为0元联结词。从语义上看，在通常的语义解释中，对于一个真值赋值v ，v (﹁α )=1-v (α )，“﹁ ”是一个1元函数运算；v (α ∧β )=min(v (α ),v (β ))，v (α ∨β )=max(v (α ),v (β ))，v (α →β )=max((βαv (α )),v (β ))，“∧”“∨”“→”均是一个2元函数运算。而v (T)=1，恰是一个0元函数运算。因此，“T”可看作一个0元联结词，这正如在一阶语言中，将个体常项看成0元函数符号一样[4]26。
但如果纯粹从语形层面来看，“T”无疑是作为一个命题常项出现的。因此，在文献[2][3]和[4]等的括号表示法中，说“不用联结词”是完全可以的。
三、独立性
张清宇先生在文献[2]建立的公理系统H中，可能是出于对括号的引入和消去的考虑，有形如t(A (t((tB )(AB ))))、t((AB )A )和t((AB )(tB ))等公理，这增强了公理系统的直观性，也便于简化系统内定理的证明。但是，如果从公理系统的简洁性方面去考虑，这些公理并非都是必须的。
在长期工作绩效研究中相关学者总结出了相应的结构模型，由包含关系绩效和任务绩效在内的二维结构模型，还有包含人际促进、工作奉献以及任务绩效等在内的三维结构模型。
下面，我们将证明公理系统H中的公理模式(也简称为公理)并非都是必须的，即公理系统H不具有独立性。我们可以将公理系统H进行简化，删除其中的公理1、公理4和公理5，只保留其中的公理2、公理3、公理6等3条公理和推理规则t(E)，简化后的公理系统简记为QY。即公理系统QY包括如下公理(模式)和推理规则：
1. t(A t(BA ))
公理系统H之公理2
2. t((t(A (t(BC ))))(t((t(AB ))(t(BC )))))
公理系统H之公理3
3. t((t((tA )B ))(t((t((tA )(tB )))A )))
公理系统H之公理6
推理规则即公理系统H之推理规则t(E)：由A和t(AB )可得出B 。
可以证明公理系统H中的公理1、公理4和公理5都是系统QY的定理。
定理 1
QYt(AA )
“针对我镇学校基础设施陈旧落后的现状，我们对全镇学校进行了总体科学论证规划，计划三年建设11处学校和5处独立幼儿园，今年先建五育小学、南魏小学等……”副镇长司镇东认真回答代表的提问。
5. t((t(AB ))B )
目前，围绕盐碱地改良与利用的研究较多，尤其是如何在盐碱地上实现农业的高效利用已成为研究热点。国内外学者主要从盐碱地的形成原因、分布特征、对植被的影响、改良措施等方面开展了大量的研究工作，反映了土壤与环境之间的相互关系[3]。现阶段，有关滨海地区盐碱地的改良与治理技术通常可以根据改良措施的不同分为物理、化学、生物和综合改良方法等几个方面[4]。不同的方法均有各自的优缺点，不同地区由于土壤盐碱化程度、性质等的不同，其具体适合的改良措施也不尽相同。然而，在盐碱地的治理与改良上由于存在盲目借鉴的问题，收效甚微，因此针对不同地区的盐碱地及其环境特点，研究适合当地的盐碱地治理与改良方法非常必要。
公理系统QY之公理2
2. t(A (t((t(AA ))A )))
公理系统QY之公理1
3. t((t(A (t(AA ))))(t(AA )))
1、2，公理系统QY之推理规则t(E)
定理 4QYt((AB )A )
公理系统QY之公理1
5. t(AA )
3、4，公理系统QY之推理规则t(E)
定理1即为公理系统H之公理1。在定理1的证明中，只用到了公理系统H的公理2、公理3以及推理规则t(E)。
在公理系统H中证明演绎定理时，只使用了公理系统H的公理1、公理2、公理3以及推理规则t(E)[2]。因为公理系统H的公理1可以由公理系统H的公理2、公理3以及推理规则t(E)被证明而作为系统QY的一个定理。因此，在系统QY中演绎定理显然是成立的。所以，在下面的证明中，如果需要，我们将直接使用演绎定理。
定理 2QYt(A (t((tB )(AB ))))
1.A
hyp
2. (tB )
hyp
3. t(AB )
hyp
4.B
1、3，公理系统QY之推理规则t(E)
1. t((t(A (t((t(AA ))A ))))(t((t(A (t(AA ))))(t(AA )))))
然后根据给定的先序遍历得到的字符序列如AB#D##C##，一个一个扫描，递归建立二叉链表。构造的二叉链表如图2所示，代码如图3所示。
山洪沟治理工程按照以下原则布置有关构筑物：拦、蓄、避、通、护。“拦”：在山洪沟的关键断面拦截下泄物体，保持河床稳定，保护下游重要设施（采用谷坊、格栅坝等措施）。“蓄”：利用山塘、洼地滞蓄洪水，削减洪峰。“避”：利用截洪沟、排洪渠等设施，减少地表径流危害；有条件的，可利用分洪道将洪水撇向城镇或重要设施下游。“通”：采用河道疏浚清障等措施，保持河道畅通，维持河道过流断面。“护”：加固或修建护岸、堤防等，保护重要设施及集中居民点。
其中，a为政府提供公共服务的效率，将（10）式代入（11）式，居民公共服务的消费需求函数进一步可变为：
3～4，公理系统QY之演绎定理
6. t((tB )(t((t(AB ))(tB ))))
公理系统QY之公理1
7. t((t(AB ))(tB ))
2、6，公理系统QY之推理规则t(E)
8. t((t((t(AB ))B ))(t((t((t(AB ))(tB )))(AB ))))
公理系统QY之公理3
9. t((t((t(AB ))(tB )))(AB ))
5、8，公理系统QY之推理规则t(E)
10. (AB )
7、9，公理系统QY之推理规则t(E)
11. t((tB )(AB ))
2～10，公理系统QY之演绎定理
12. t(A (t((tB )(AB ))))
1～11，公理系统QY之演绎定理
定理2即为公理系统H之公理4。
定理 3QYt((t(tA ))A )
1. t((t((tA )(tA )))(t((t((tA )(t(tA ))))A )))
公理系统QY之公理3
2. t((tA )(tA ))
公理系统QY之定理1
3. t((t((tA )(t(tA ))))A )
2)业务逻辑层：该层次对展现层的请求做出相应的逻辑处理，回应，用于收集展现层的信息，并做相应的逻辑判断，当条件合法时即可向数据里连接层请求数据，将返回的结果进行必要的处理后返回到展现层。
实验使用两种钢渣，C钢渣来自中国钢铁集团有限公司，S钢渣来自西班牙CIC energiGUNE研究中心。C钢渣和S钢渣均在空气中冷却。如图1所示，C钢渣颜色为暗沉灰色，表面多孔；S钢渣颜色为光泽灰褐色，表面较平整。
1、2，公理系统QY之推理规则t(E)
4. t((t((t((tA )(t(tA ))))A ))(t((t(tA ))(t((t((tA )(t(tA ))))A )))))
与浙东文人之“土性”形成鲜明对照的，是浙西人之温婉秀美(水性)。所谓“吴兴山水发秀，人文自江右而后，清流美士，余风遗韵相续”[26]之说者是。与此相应的是浙西文人“尚儒雅”的独特审美倾向与思维特质。晚近的鸳鸯蝴蝶派产生于吴文化区域(主要在江苏、上海，也包括浙西的杭嘉湖地区)绝非偶然。由是，浙西文人的文风中显出更多“飘逸”的特质。
公理1
5. t((t(tA ))(t((t((tA )(t(tA ))))A )))
3、4，公理系统QY之推理规则t(E)
6. t((t((t(tA ))(t((t((tA )(t(tA ))))A ))))(t((t((t(tA ))(t((tA )(t(tA ))))))(t((t(tA ))A )))))
公理2
7. t((t((t(tA ))(t((tA )(t(tA ))))))(t((t(tA ))A )))
5、6，公理系统QY之推理规则t(E)
8. t(((t(tA ))(t((t()(t(tA )))))
公理系统QY之公理1
9. t((t(tA ))A )
7、8，公理系统QY之推理规则t(E)
此定理即为双否消去律。
4. t(A (t(AA )))
1. (AB )
hyp
2. (tA )
hyp
13. t((AB )(t((tA )(AB ))))
hyp
4. t((tA )(t((tB )(tA )))
公理系统QY之公理1
5. t((tB )(tA )
线损是电力系统中主要经济指标之一，而从发电到输配电过程中电力系统线损相当大比例是变压器引起的损耗，降低变压器损耗也就成为电力行业的一个重要课题。当然，从设计建设施工阶段，可以选择采用新技术、新材料、新工艺能耗比较低的新型变压器；但是大量存在的既有变压器还要从如何实现变压器经济运行着手，即在确保安全可靠运行及满足供电量需求的基础上，通过对变压器进行合理配置，对变压器运行方式进行优化选择，对变压器负载实施经济调整，从而最大限度降低变压器的电能损耗以 2013年为例，某地区电网网损率超过 1.5%，统计分析表明，变压器损耗占总损耗的50%多，故研究变压器的经济运行对降损增效具有非常重要的意义。
2、4，公理系统QY之推理规则t(E)
6. t((A )(t((tB )A ))
公理系统QY之公理1
7. t((tB )A )
宝宝说：“妈妈请不要给我超过22厘米的绳子或线，不管是粗是细，我会用来做游戏，把它们绕在手上，甩啊甩的，可好玩了，不过有时会甩到脖子上，绕上好几圈，勒得我够呛。”
3、6，公理系统QY之推理规则t(E)
8. t((t((tB )A ))(t((t((tB )(tA ))B ))
公理系统QY之公理3
9. t((t((tB )(tA ))B )
7、8，公理系统QY之推理规则t(E)
10.B
5、9，公理系统QY之推理规则t(E)
11. t(AB )
3～10，公理系统QY之演绎定理
12. t((tA )(t(AB )))
2～11，公理系统QY之演绎定理
3.A
公理系统QY之公理1
14. t((tA )(AB ))
1、13，公理系统QY之推理规则t(E)
∀xA =def(T(TxA ))[4]25-68
公理系统QY之公理3
16. t((t((tA )(t(AB ))))A )
例6：《国民经济与社会发展第十三个五年计划纲要》是2016-2017年中国经济社会发展的宏伟蓝图，其制定过程如下：党的十八届五中全会审议通过制定“十三五规划的建议”→国家发改委启动“共绘新蓝图→我为规划建言献策”活动→政府依据《建议》和民意编制“十三五”规划纲要→“十三五”规划纲要提交全国人大、全国政协审议讨论，最终由全国人大表决通过。
14、15，公理系统QY之推理规则t(E)
17.A
12、16，公理系统QY之推理规则t(E)
18. t((AB )A )
1～17，公理系统QY之演绎定理
定理 5QYt((AB )(tB ))
1. (AB )
hyp
2. t((AB )(t((t(tB ))(AB ))))
公理系统QY之公理1
3. t((t(tB ))(AB ))
1、2，公理系统QY之推理规则t(E)
4. t(tB )
hyp
5.A
hyp
6. t((t(tB ))B )
公理系统QY之定理3
7.B
4、6，公理系统QY之推理规则t(E)
8. t(AB )
5～7，公理系统QY之演绎定理
9. t((t(tB ))(t(AB )))
4～8，公理系统QY之演绎定理
10. t((t((t(tB ))(AB )))(t((t((t(tB ))(t(AB ))))(tB ))))
公理系统QY之公理3
11. t((t((t(tB ))(t(AB ))))(tB ))
3、10，公理系统QY之推理规则t(E)
12. (tB )
9、11，公理系统QY之推理规则t(E)
13. t((AB )(tB ))
1～12，公理系统QY之演绎定理
定理4、定理5即为公理系统H之公理5。
对公理系统H的公理简化之后得到的公理系统QY和通常的命题逻辑希尔伯特系统只存在一个差异。即推理规则的差异，一个是分离规则，一个是t(E)，而根据QY中“A →B ”的定义，这两者显然是定价的。
这样简化后的公理系统QY就是一个和通常的命题逻辑希尔伯特型系统相等价的系统[5]16-29。因此，该系统具有可靠性和完全性。
四、纯粹括号表示法
在文献[3]和[4]中，张清宇先生构建了不用联结词和量词的一阶逻辑公理系统QH。在通过定义引入联结词“﹁ ”“⊃”和全称量词“∀”之后，在QH中实际上包含了语形联结词“﹁ ”“⊃”和全称量词“∀”，并且其中除了括号“( )”之外，还包括方括号“[ ]”。我们可以将该系统使用括号表示法并使之纯粹化，可以在公理系统QY(原有 3条公理)的基础上增加如下公理(模式)和推理规则从而得到一阶逻辑公理系统QQY：
4. T((T(Tx(T(AB (x )))))(T(A (T(TxB (x ))))))，x 不在A 中出现
5. T((T(TxA (x )))A (m ))，A (m )是由将A (x )中的x 全部替换为m 而得(m 是个体常元)
可以证明，一阶逻辑公理系统QQY和通常的一阶谓词逻辑系统等价[5]70-98，可参阅文献[5]。因此，该系统同样具有可靠性和完全性。
值得注意的是，在一阶逻辑公理系统QQY中，括号既有结构性功能，如“A (u )”中的括号；也有联结词功能，如“(AB )”中的括号；还有量词功能，如“(AxB )”中的括号。
参考文献：
[1] 卢卡西维茨.亚里士多德的三段论[M].李真,李先焜,译.北京：商务印书馆，1981.
[2] 张清宇.不用联结词的经典命题逻辑系统[J].哲学研究，1995(5)：40-47.
[3] 张清宇.不用联结词和量词的一阶逻辑系统[J].哲学研究，1996(5)：72-79.
[4] 张清宇.哲学逻辑研究[M].北京：社会科学文献出版社，1997.
[5] 杜国平.经典逻辑与非经典逻辑基础[M].北京：高等教育出版社，2006.
A note on “logical systems without connectives ”
DU Guoping
(Institute of Philosophy, Chinese Academy of Social Sciences, Beijing 100732, China)
Abstract : In the 1990s, Mr. Zhang Qingyu created a logical system without connectives, in which parentheses were used to express the functions of propositional connectives and quantifiers, which is an innovative work of logical symbol technology. Polish notation and parenthesis notation are two mutually complementary examples of logical symbolic notation. In the parenthetical notation, “without connectives” refers only to morphological level rather than semantic level. Both the axiom system H of propositional logic and the first-order logic system QH based on parenthesis notation can all be further simplified.
Key words : proposition connectives; Polish notation; parenthesis notation; independence; axiom system
中图分类号： B81
文献标识码： A
文章编号： 1674-8425(2019)04-0007-06
收稿日期： 2019-02-22
基金项目： 国家社会科学基金重点项目“提高国民逻辑素质的理论和实践探索研究”(13AZX019)；国家社会科学基金重大项目“应用逻辑与逻辑应用研究”(14ZDB014)
作者简介： 杜国平，教授，博士，博士生导师，主要从事应用逻辑与逻辑应用研究。
doi: 10.3969/j.issn.1674-8425(s).2019.04.002
本文引用格式： 杜国平.关于“不用联结词的逻辑系统”的注记[J].重庆理工大学学报(社会科学)，2019(4):7-12.
Citation format ：DU Guoping.A note on “logical systems without connectives”[J].Journal of Chongqing University of Technology(Social Science)，2019(4):7-12.
(责任编辑 张佑法)
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