失能收入损失保险定价方法研究，本文主要内容关键词为：损失论文,收入论文,方法论文，此文献不代表本站观点，内容供学术参考，文章仅供参考阅读下载。
0 引言
失能收入损失保险，是指当被保险人在保险期内因疾病或伤害而丧失劳动能力，以致不能获得正常收入或收入减少时，保险人每月给付一定的保险金来补偿被保险人的收入损失的一种健康保险。失能收入损失保险在稳定人们生活水平、维护个人尊严、保持社会稳定等方面发挥重要作用。我国失能收入损失保险需求很大，但保险市场上提供的相应产品却极少，目前仅有两款团体失能险，而个体失能险还是空白，发展潜力很大。在中国理论界和实务界，对失能收入损失保险的定价方法的研究很少，相关的精算技术极为薄弱，这也是我国失能收入损失保险发展缓慢的重要原因之一。因此，失能收入损失保险定价方法研究具有重要的理论意义和应用价值。
1 失能收入损失保险的三状态Markov模型
一般而言，失能收入损失保险可以用图1的三状态Markov模型描述[1-2]。其中数字1表示被保险人在承保时处于健康状态，2表示被保险人在保险期内可能发生的失能状态，3表示被保险人的死亡状态。健康状态1和失能状态2是过渡状态，死亡状态3是吸收状态。被保险人在保单生效后，可在健康、失能和死亡三个状态之间转移，转移的方向如图中箭头所示。只有被保险人在失能发生以后，并且失能时间超过等待期才能获得失能保险金至约定的年限或被保险人康复。因此，在失能收入损失保险定价中，关键是估计失能发生概率，这就必须先估计从健康到失能的转移概率或转移强度。同时，失能持续时间也很重要，这直接关系到失能保险金的支付时间，影响保险人的成本和投保人需要支付的保费。
定义如下符号：S（x+t）=j，t＞0表示被保险人在x+t岁处于状态j，如S（x）=1表示被保险人在x岁时处于健康状态，S（x+2）=2表示被保险人在保单生效两年后处于失能状态。在失能收入损失保险三状态模型当中，需要估计转移概率：
=pr（S（x+t）=j|S（x）=i），i=1，2，j=1，2，3，
表示被保险人在x岁处于状态i而在x+t岁处于状态j的概率，或转移强度
在Markov模型中估计转移概率或转移强度的关键是要求解这些微分方程，遗憾的是这并不是一件容易的事，理论上讲需要求解几组偏微分方程和复杂的数值解法。因此，在保险实践中，如何准确估计转移概率或转移强度就成为了失能收入损失保险定价的关键，从而也衍生出了不同的定价方法。
2 国外失能收入损失保险定价方法评述
失能收入损失保险金的支付方式一般是按周、按月支付，短期失能收入损失保险按天支付，因此在国外的理论研究中，采用连续年金精算现值的定价方法。简单地，设失能保单的保险期限为n年，保险金额为1，无等待期，则根据精算平衡原理——预期赔付现值与纯保费收入现值相等，失能收入损失保险的纯保费计算公式为
如何估计转移概率
就成了失能收入损失保险定价的关键，在国外的保险实践和理论研究中，产生了不同的估计方法，从而也产生了失能收入损失保险定价的所谓的挪威方法、曼联方法等[3]。
2.1 挪威方法
挪威方法在估计转移概率时，首先定义一个关于x和t的二元函数
=pr（S（x+t）=2|S（x）=1∩（S（x+1）=1∪S（x+t）=2）），
表示被保险人在x岁（承保年龄）处于健康状态并且在x+t岁时生存的条件下，于x+t岁处于失能状态的概率。
因为被保险人在x岁处于健康状态的条件下，在x+t岁仍然生存的概率为
这就是所谓的挪威方法。
挪威方法的精算基础是失能率，而不是失能发生率。失能率是指测量时点存在的失能数（包含以前发生的和新发生的）与风险暴露数的比值，而失能发生率是指测量时点新发生的失能数与风险暴露数的比值。从理论上讲，失能收入损失保险的定价基础是失能发生率，而不是失能率。同时，对于长期失能收入损失保险，如果考虑等待期，定价基础必须剔除等待期内恢复健康的康复率的影响，调整后的值称为失能初始率，失能初始率的计算依赖于失能收入损失保险经营实践的经验数据。在理论研究中，如果不考虑等待期，则可使用失能发生率作为定价基础。在Markov模型中，失能发生率即是从健康转移到失能的转移概率。挪威方法定义了一个关于x和t的二元函数，这个函数剔除了在（0，t）这段时间内死亡的影响，因此在保费计算中不需要另外考虑死亡对失能发生率影响，不需要针对死亡调整失能险的保费；而且这个函数还考虑了被保险人在投保时的状态，这一点满足了保险学原理。另外，用简单的生存概率
（从经验生命表中查得）来替换经过选择的被保险人在（0，t）内的生存概率
在实务中估算纯保费也是可取的，这在经验数据信息缺乏时尤为合理。
挪威方法给出了理论上纯保费的近似计算方法，但也有两点不足：一是需要进一步计算估值，可应用性、可操作性有所欠缺；二是在定价中没有考虑到在保险期内康复对失能发生率的影响，如果被保险人在保险期内失能后康复，当再次失能时仍然当做保险期内的首次失能。事实上，商业失能收入损失保险一般只给付首次失能的保险金。
2.2 曼联方法
曼联方法在定价时，首先定义一个关于x的二元函数
=pr（S（x+t）=2|S（x+t）=1∪S（x+t）=2），
表示被保险人在x+t岁生存的条件下，在x+t处于失能状态的概率。采用与挪威方法类似的处理方法，可以得到厘定失能收入损失保险纯保费的曼联法公式：
为中心失能率[4]，表示被保险人在（y，y+1）年龄段内期望失能时间与在此段时间内的期望生存时间的比率，中心失能率在实践中常常用观察期内失能人数与观察期内处于失能风险的暴露数之比来估计。
和挪威方法一样，曼联方法的精算基础也是失能率。函数没有考虑被保险人在投保年龄x岁时所处的初始状态，仅考虑被保险人在x+t岁生存的条件下所处的失能状态，这意味着在x+t岁以前的任何年龄都可以看做是失能初次发生的时间。正如前文所言，失能发生率的估计依赖于可利用的数据信息，而最可能得到的数据是人群调查数据，从这些数据中得到的都是失能率，一般很难确定被调查者初次发生失能的时间。因此，曼联方法中使用作为转移概率估计中的因子具有一定的合理性。同时，和挪威方法一样，fx+t也剔除了死亡对失能率的影响，对厘定的保费不需要针对死亡风险再做调整。
但是，曼联方法也有几点不足：一是fx+t没有考虑被保险人在x岁的状态，这有可能高估失能转移概率；二是也没有考虑康复对失能转移概率的影响；三是在实践中尽管可以采用近似计算，但近似计算中中心失能率的估计也是近似的，因此，最终计算的精度可能偏低。尽管如此，由于曼联方法的可应用性和可操作性，在实际定价中使用广泛。
2.3 转移强度为常数的多状态方法
在国外的失能险定价中，除了直接估计转移概率之外，还有一类方法是先估计转移强度，然后再估计转移概率[5]。这种估计法有两种，一种是假设在整个保险期内转移概率为常数，即对于forall t，转移强度
是常数。常数转移强度假设意味着状态转移的时间间隔服从指数分布，因此，转移概率
只与时间t有关，故可以简写为
。此时，Markov方法具有转移概率矩阵P（t）和常数转移强度矩阵Q，利用Kolmogorov方程求解转移概率。
δ为利息力。
从理论上讲，假设在整个保险期内转移强度为常数这种方法极为简单，计算方便，但并不能用于保险实践，因为转移强度实际上是不断变化的，随着经济社会的发展、医疗技术的进步以及人们对健康的关注，失能风险在不断地变化，因而失能转移概率或转移强度的估计值也在不断地变化，常数转移强度假设就显得不合理。但是并非此方法就没有应用价值，在数据缺乏的时候我们可以用它来粗略估计纯保费，为进一步的保费厘定和调整奠定基础。分段转移强度方法保留了常数转移强度的易控性，并根据不同年龄假设了不同的转移强度，具有更强的理论和应用价值，但是其计算也更为复杂。
上面对国外的失能收入损失保险的定价方法做了评述，这些方法丰富了健康保险精算理论。但是，从应用层面讲，除了曼联方法具有较强的可操作性外，其他方法的可操作性很弱，计算复杂，可应用性不强。同时，由于数据的原因，大都不能满足这些方法对数据的要求。因此，在保险实践中，如何根据可利用的数据来估计失能发生率，使得失能收入损失保险定价具有更强的可应用性和可操作性，是值得进一步研究的问题。
3 一种新的定价方法
下面将提出一种更为简单适用的转移概率的估计方法，并给出平滑转移概率的GLM模型，使得失能收入损失保险定价具有更好的可操作性和应用性。
失能收入损失保险定价的关键在于估计转移概率（或失能发生率）或转移强度，事实上，可以用一种简单的方法来估计转移概率，这种方法称为发生频数/暴露数方法，简称O-E法。发生频数—暴露数法是用观察期内人群的失能发生频数与人群暴露数的比值来估计失能发生率的一种方法，其估计式为
该法对观测对象健康状态信息的完备程度要求较低，只需得到诸如观察期内观察人群失能人数、失能持续人数、康复人数、观察期内总人数或总人时数等信息即可，简单易用，是实践中较为理想的失能转移概率估计方法。如果经验数据来自保险公司，则可以得到初次失能发生率的粗估计值；如果数据来自卫生调查或人群调查，对该估计式做细微调整，可以得到失能率的估计值。
从表中可见男性和女性被保险人的失能发生率有差异，图示发现男性的失能发生率随年龄不同大致成直线变化，而女性则大致成二次曲线变化。同性别不同职业的失能发生率是否有差异，可用GLM模型作进一步的分析。同时，利用GLM模型还可以估计出单个年龄的失能发生率，有利于失能收入保险确定年龄费率。
（2）
，即假设观察人群的失能发生频数服从泊松分布。对于失能这一风险事件，观察人群之间具有相互独立性，失能频数分布取决于观察时间，同时，不相交的时间段内失能这一风险事件的发生相互之间的独立性也很强（极少数失能可能多次反复），因而这一假设是合理的。
（3）
，这里，f（x，s，v，…）为多元线性预测函数。负的指数形式的平滑曲线一方面可以保证概率值落在区间（0，1）内，另一方面由于随年龄的增大康复率下降，死亡率上升，考虑负的指数形式是合理的。
该模型获得的点估计越多，得到的GLM估计就越精确。在以上模型基础上根据需要还可以加入其他因素，如有无家族病史、吸烟与否、身体健康指数、生活习惯等，当然，在具体应用中，必须是对模型有显著影响的因素才能加入到模型中。
根据上表中男性、女性粗失能发生率的数据特征，选择GLM函数为
其中I为职业虚拟变量（O表示低风险职业，1表示高风险职业），x为年龄。
模型估计结果为
回归系数的t、F统计量均显示回归有统计学意义，
和
的值较高，说明拟合较好。因此，模型结果说明年龄和职业类别是男性和女性失能发生率的重要影响因素。限于数据，在模型中没有考虑酗酒与否、家族病史等其他因素，如果能得到更详细的数据信息，估计结果将会更精确。
根据上面的估计结果，由
可以得出单个年龄的失能发生率，如表2所示。
获得了失能发生率的估计值，可以用下面的公式计算失能收入保险的趸缴纯保费：
其中
是指x岁的人在（x+k，x+k+1）内失能的概率，这种计算方法是对前文的曼联方法的一个修正。
若采用上表中的失能发生率，死亡率采用中国人寿保险业经验生命表（2000-2003），预定利率i=2.5%，用上述公式可计算出5年期失能收入保险金为10000元的男性（低风险职业）被保险人的趸缴纯保费如表3。
4 结论
本文在评析国外失能收入损失保险定价方法的基础上，提出了操作性和应用性都很强的一种新的定价方法，本方法采用O-E法估计值作为失能发生率的点估计，并用GLM平滑估计值，取得了良好的效果。在健康保险精算实践中，若得到了各年龄的O-E法估计值，就可直接用其计算相应的健康保险纯保费。若得到的是年龄组段发生率，则可以用GLM模型来平滑，具有很好的效果。同时，同国外的理论方法相比，本方法还有下面的优点：（1）可以避免Markov模型中需要求解的大量的科尔莫格罗夫微分方程，简化计算；（2）在数据信息充分时，GLM模型考虑了从失能到康复的转移，不需要假定这种转移是不可能的或者用一个简单的转移概率来近似；（3）操作简单，适用性强；（4）利用GLM模型还可以对不同职业、不同年龄个体的失能发生率进行预测。当然，GLM模型的运用需要更为详细的个体层面的信息，如被保险人的职业、家族病史等各类风险特征的测量值。
失能发生率估计是失能收入损失保险定价的数量基础。国外理论界根据不同的失能发生率估计方法衍生了不同的失能收入损失保险定价方法，正如前文所言，这些方法具有很强的理论价值，但在应用上却显得不足。如何寻求合理的、应用性和操作性强的失能发生率估计方法是理论界和实务界面临的现实问题，也是精算师的职责所在。特别是在我国，失能收入损失保险还很少，只有寥寥两款团体失能收入损失保险，基于个体的失能收入损失保险还处于空白。因此，如何提高健康保险精算技术，开发人们满意的失能收入损失保险产品，满足人们多样化需求，是中国健康保险业面临的挑战，是保险精算师艰巨的任务。笔者抛砖引玉，希望对我国健康保险精算理论发展和实务应用有所帮助。