摘要：研究无理数的历史,充分发掘无理数思想方法的历史沿革,并将其转换为教育形态,重构教学，使数学史在教学中发挥更大的价值。
关键词：HPM；无理数；教学设计
中图分类号：G628.88文献标识码：A文章编号：1671-5691（2018）08-0008-02
《普通高中数学课程标准（2017年版）》在教学建议中有提到：“数学文化应融入数学教学活动。在教学活动中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养；将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，有利于学生进一步理解数学，有利于学生开拓学生视野、提升数学学科核心素养．” [1]数学史作为数学文化重要组成部分，融入数学教学有不可估量的教育价值．本文依据无理数从发现到发展的历史，将其研究的方法、内容进行加工，重构了HPM视角下“无理数概念”的教学。
一、无理数的发展简史
（一）无理数的发现
古希腊的毕达哥拉斯学派一直奉行“万物皆数”，这里的数也就是我们现在所说的正有理数，在几何意义上相当于：对任意给定的两条线段，都可以找到第三条线段并以它为单位线段进行度量，所得结果是正整数，这称两线段为“可公度量”.但是该学派门徒希伯索斯利用毕达哥拉斯定理（勾股定理）发现了正方形对角线长与边长“不可公度”，即两者之比不属于他们熟悉的“数”，于是无理数“诞生”了，这一发现违背了该学派“万物皆数”的信条，这也引发了数学史上的第一次危机。
（二）无理数的发展
无理数就像立于一个岔路口的路牌，沿着不同方向的两条路本来均能发现它的存在，只是由一个方向来的人已经到了它的面前竟然视而不见，而来自另一个方向的人却有意躲避它．前者是中国，后者是古希腊．[2]
毕达哥拉斯学派这种躲避无理数的态度，无疑阻碍了数的概念的发展，但是，值得庆幸的是，时间过去不到100 年，毕达哥拉斯学派所坚守的秘密却成为人类的共同财富.由于不可公度量的存在使人们发现有理数并没有铺满数轴，在数轴上存在着许多并非有理数的“空隙”，这种“空隙”简直多得“不可胜数”．后来欧道克斯重新定义了比例论，他提出了“数”与“量”的分离法，认为量是连续变动的，而数是离散的，从一个跳到另一个的，这使得危机得到了暂时的缓解.[3]因此，“无理数”的发现，实质上为人们设立了前进的目标，指明了探索的方向.从某种意义上讲，也许发现有理数系的缺陷，比消除缺陷更具有历史意义.
但是中国古代数学家则从一开始就很坦然地接受了这种新的“数”，并且在计算中也很随意地使用它们. 在无理数的表示方面做出重大贡献的是中国古代数学家刘徽，他在《九章算术注》中对于开方不尽的数如何求其平方根的近似值的问题，刘徽提出采用继续开方，求其微数的方法.他逐次以微数为分子，并分别以十、百等数为分母，即“其一退以十为母，其再退以百为母”，“退之弥下，其分弥细”，等开到某位时，虽弃其所余，但误差甚微，“不足言之也”. [4]这时计算所得平方根的近似值，离“无限不循环小数”已近在咫尺了，也许正是中国古代数学“重算法轻算理"的作风使得我们古代数学家与无理数迎面而遇却失之交臂，这不得不令人为之惋惜.
（三）无理数概念的形成
很长一段时间内，人们面对无理数依然是一团迷雾，认为这种数是不可理喻的数，直到19世纪后期，戴德金用“分割”的方法定义了无理数，并建立了实数理论.如果把有理数集分成A 和B 两类，A 中没有最大元素且B 中没有最小元素，则这样的分割定义了一个无理数.如A由所有负有理数、零和平方小于2 的正有理数组成，B由所有平方大于2的正有理数组成,那么分割（A,B)就定义了无理数√2.之后，康托尔证明了无理数比有理数多得多数轴上代表有理数的点虽然是稠密的，但是除有理数外的空隙更多、空隙一旦填满，稠密概念便发展成了连续的概念数轴的点与实数一一对应。至此，人们才认同了无理数，从而结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机.
二、HPM视角下“无理数”教学设计
顺应无理数的发展的历史顺序，采用附加式，介绍无理数的历史；采用重构式，通过面积和边长计算来引入√2；采用复制式，通过反证法来证√2 不是有理数.以人民教育出版社七年级下册数学第六章第三节为蓝本进行无理数教学过程的设计。
1.创设情境，趣味导入
播放课件：早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为“万物皆数”，即“宇宙间的一切事物都能归结为整数或整数之比”，也就是一切现象都可以由有理数来表示.然而，毕达哥拉斯学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，他认为在生活中还存在除有理数之外的另一种“数”，这个“数”的发现引发数学史上的第一次危机。
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设 计意图：从数学史与数学文化角度切入课题，使课题的引入引人入胜，不但可以增加教学内容的趣味性、灵活性和可读性，还有利于激起学生的学习兴趣加深对数学知识的理解.希伯索斯的发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之比来表示，也为下面动手操作发现√2做铺垫.
2.动手操作，探索新知
探究：能否用两个面积为1dm2的小正方形拼成一个面积为2dm2的大正方形？
学生：拿出课前准备好的正方形纸片进行动手操作，结果多样．
教师：把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的４个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形（多媒体动态展示）．
问题1 大正方形的边长是多少？
学 生：根据前面学的算术平方根的知识可知：边长为√2.
设计意图：考虑到七年级的学生还没有学习勾股定理，所以将希帕索斯发现无理数的历史进行重构.设置学生活动，让学生自己动手拼图和求大正方形的边长，不仅充分发挥了学生的主体性，还可以产生边长√2是无理数的问题.
3.兴趣为引，新知再探
问题2 √2有多大？
教师利用电脑计算器演示，依次按键√2=，计算器显示1.414213562
问题3 这是个近似值还是准确值？
教 师：用计算器计算这个数的平方得多少？
教师利用电脑计算器演示1.41421356222=，计算器显示1.999999999
学 生：1.414213562是√2的近似值．
教 师：那在没有计算器的情况下如何算出近似值的呢？
估算法：12= 1，（√2）2= 2，22 = 4; 可以看出1 ＜√2＜ 2。只要算出在1和2之间哪一个小数进行平方所得的数值最接近于2，那就是√2的近似值了.
教 师：我们不难得出√2值在整数1和2之间，因此，不是整数.
问题4 可以用分数表示吗？
学 生：不是分数，任意两个最简分数相乘最后的结果还是分数．
教师给出√2不能用分数表示的证明方法 ：
假设√2是有理数，那么 ，其中m和n都是正整数，且m与n互质。两边平方化简得 ，可知m是2的倍数，于是m一定是偶数.可以设m=2s,其中s是正整数，则有 ，即 ，所以n也是2的倍数.这样m n都是偶数，与前面的假设mn互质相矛盾了，所以假设不成立，即√2不是有理数.
设计意图：借助计算器引导学生观察√2不是整数及其特征，思考√2的近似值是如何求出来的，采用试数逐渐逼近的方法，让学生体会古代教学家在没有科技支持的年代钻研学问的可贵精神，刘徽在《九章算术注》中提出求“徽数”思想，与现在无理根的十进小数近似值完全相同．给出欧几里得《原本》中√2不是有理数的证明方法（反证法），体现了数学的严谨性，培养学生严谨的治学态度.
4.总结归纳，形成概念
想一想：以√2为代表的这类数是什么数？
教 师：回顾以上的探讨可以发现√2不是整数不是分数（即不是有理数），而且这类数都是无限不循坏小数．
总结无理数的概念: 无限不循环小数叫做无理数.
将√2在数轴上表示，进而推广到无理数可以在数轴上一一对应，无理数的发现也使得数系的进一步扩充.
设计意图：简单回顾之前的探讨可以再次明确无理数无限不循环的特点，无理数可以在数轴一一表示了，有理数之间的空隙也铺满了，重现了康托尔的实数理论中实数在数轴的表示．学生可以对于实数有整体的认识．
重构历史进行教学顺应无理数发现和发展的历史轨迹，使学生更透彻地理解无理数的概念、数学史上对无理数认识的发展，正确认识到无理数并不是“无理”“没有道理”的数.
参考文献
[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准[S].北京:：教育出版社,2018
[2] 林永伟,叶立军.数学史与数学教育[M].杭州：浙江大学出版社,2004.
[3]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].北京：科学出版社,2017.
[4] 张苗玲．HPM视角下无理数的教学[J].数学学习与研究.2015.
[5]杨秀娟.无理数的发展历史[J].文化教育.2015.
[6]汪晓勤,张小明.HPM的研究内容与方法[J].数学教育学报,2006
论文作者:张娜
论文发表刊物:《教学与研究》2018年8期
论文发表时间:2018/7/3
标签：无理数论文; 有理数论文; 数学论文; 毕达哥拉斯论文; 数轴论文; 近似值论文; 整数论文; 《教学与研究》2018年8期论文;