分类讨论思想的应用论文_冯超群

分类讨论思想的应用论文_冯超群

冯超群(新疆乌鲁木齐市第七十四中学 新疆 乌鲁木齐 830023)

摘要:“分类”源于生活用于生活,分类思想是自然科学乃至社会科学中的基本逻辑方法,也是研究数学问题的重要思想方法,它应贯穿于整个数学教学中。在解题中正确、合理、严谨的分类,可将一个复杂的问题大大的简化,达到化繁就简,化难为易,分而治之的目的。

关键词:分类讨论思想 三角形 四边形 方程

中图分类号:G652.2文献标识码:A文章编号:ISSN1001-2982 (2019)11-095-02

分类讨论思想在初中数学中经常用来探究和解决问题,帮助学生更好地理解和解决问题,并能帮助学生把握解题的思路和技巧,做到举一反三,从而有利于培养学生的学习兴趣,使他们从数学学习中获得乐趣,所以本文主要从几何图形、代数、函数等方面的内容进行分类讨论。

分类讨论的数学思想,也称分情况讨论,当一个数学问题在一定的题设下,其结论并不唯一时,我们就需要对这一问题进行必要的分类。将一个数学问题根据题设分为有限的若干种情况,在每一种情况中分别求解,最后再将各种情况下得到的答案进行归纳综合。在解题中正确、合理、严谨的分类,可将一个复杂的问题大大的简化,达到化繁就简,化难为易,分而治之的目的。

一、在几何图形中的分类讨论思想

(一)在三角形中的分类讨论

与等腰三角形有关的分类讨论:在等腰三角形中无论边还是顶角底角,不确定的情况下要分类,分情况求解,有时要分钝角三角形,直角三角形,锐角三角形,分别讨论解决

1、在等腰三角形中求角:等腰三角形的一个角可能指底角,也可能指顶角,所以必须分情况讨论。

例1、若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【 】

(A) (B)

(C) 或 (D) 或

分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的 角由于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论.

解:分为两种情况:(1)当 角为顶角时,它的两个底角为 ;

(2)当 角为底角时,顶角为 .

综上所述,该等腰三角形的顶角为 或 ,选择(D).

拓展:若把题目中的 角改为 角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗?

2、在等腰三角形中求边:

等腰三角形中,对给出的边可能是腰,也可能是底边,所以我们要进行分类讨论。

例2.若等腰三角形的两条边长分别为3cm、6cm,则它的周长为【 】

(A)9cm (B)12cm

(C)15cm (D)12cm或15cm

分析:两条边长分别为3cm、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍.

解:分为两种情况:

(1)当3cm为腰长,6cm为底边长时,由于3+3=6而不大于6,所以这种情况是构不成三角形的;

(2)当3cm为底边长,6cm为腰长时,可以构成三角形,故这种情况符合题意,此时该等腰三角形的周长为15cm,选择(C).

拓展:把题目中的3cm改为5cm,则答案又是什么?

3、与直角三角形有关的分类讨论:

在直角三角形中,如果没有指明哪条边是直角边、斜边,就需要根据实际情况讨论,当然,在不知哪个角是直角时,有关角的问题,也需要先讨论后解决

例3、已知x,y为直角三角形两边的长,满足 ,则第三边的长为_____________。

解析:由 ,可得 且

分别解这两个方程,可得满足条件的解 ,或

由于x,y是直角边长还是斜边长没有明确,因此需要分类讨论。

当两直角边长分别为2,2时;当直角边长为2,斜边长为3时;当一直角边长为2,另一直角边长为3时。

综上,第三边的长为 或 或 。

4、相似三角形中的分类讨论

例4、如图所示,在 中, 是 的中点,过 点的直线交 于点 ,若以 为顶点的三角形和以 为顶点的三角形相似,则 的长为( )

(A)3 (B)3或 (C)3或 (D)

析解:由于以 为顶点的三角形和以 为顶点的三角形有一个公共角( ),因此依据相似三角形的判定方法,过点 的直线 应有两种作法:一是过点 作 ∥ ,这样根据相似三角形的性质可得 ,即 ,解得 ;二是过点 作 ,交边 于点 ,这时 ,于是有 ,即 ,解得 . 所以 的长为3或 ,故应选(B)。

(二)在四边形中的分类讨论

例5、在矩形ABCD中 ,AB=4 , BC=3 , 点P在AB上。

期刊文章分类查询,尽在期刊图书馆若将△DAP沿DP折叠 ,使点A落在矩形对角线上的 处,则AP的长为__________.

分析:分两种情况探讨:点A落在矩形对角线BD上,点A落在矩形对角线AC上,在直角三角形中利用勾股定理列出方程,通过解方程可得答案.

解:①点A落在矩形对角线BD上,如图1,解得: ,∴AP= ;

②点A落在矩形对角线AC上,如图2,根据折叠的性质可知DP⊥AC, .

故答案为: 或 .

点评:由于没有明确点A落在矩形的哪条对角线上,所以要分点A落在矩形对角线BD上和点A落在矩形对角线AC上两种情况讨论.当点A′在BD上时,需构造直角三角形,利用勾股定理解决,当点A′在AC上时,需构造相似三角形,利用相似三角形的性质解决.以对角线为依据来确定点的位置是解决平行四边形问题最常用的方法.

(三)圆中的分类讨论

1、圆周角的顶点位置不确定需分类讨论。

例6、在半径为5cm的⊙O中,弦AB=5cm,点C是⊙O上任意一点(不与A、B重合)。则∠ACB=30°或150°。

解析:一般地,弦的两个端点分圆所成的两条弧一条为优弧,一条为劣弧。当点C在优弧AB上时,∠ACB=30°;当点C在劣弧AB上时,∠ACB=150°.

2、两平行弦相对于圆心的位置不确定需分类讨论。

例7、已知⊙O的直径为10cm,弦AB=8cm,弦CD=6cm,且AB∥CD,则AB和CD之间的距离为1cm或7cm 。

解析:分弦AB、CD在圆心O的同侧和异侧两种情况计算。

3、两圆相切,内切、外切不确定需分类讨论。

例8、若两圆相切,圆心距为7,其中一圆的半径为4,则另一圆的半径为3或11.

练习、已知⊙O的半径为2,点P是⊙O外一点,OP的长为3,那么以点P为圆心,且与⊙O相切的圆的半径是 1或5 。

4、相交两圆的圆心与公共弦的位置不确定需分类讨论。

例9、已知⊙ 和⊙ 相交于A、B两点,弦AB为6,两圆的半径分别为 ,5,则圆心距 = 1或7 .

解析:分两圆心在公共弦的同侧和异侧两种情况计算。

5、直线与圆相切位置不确定需分类讨论。

例10、(2015梅州)如图,直线l经过点A(4,0),B(0,3).

(1) 求直线l的函数表达式;

(2) 若圆M的半径为2,圆心M在y轴上,当圆M与直线l相切时,求点M的坐标.

分析:(1)把点A(4,0),B(0,3)代入直线l的解析式y=kx+b,即可求出结果.

(2)先画出示意图,在Rt△ABM中求出sin∠BAM,然后在Rt△AMC中,利用锐角三角函数的定义求出AM,继而可得点M的坐标.

综上可得:当⊙M与此直线l相切时点M的坐标是(0,0),(0,6).

点评:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,在没有明确图形位置的情况下,符合题意的图形可能有多种,因此应注意圆的问题的多样性,不要忘记分情况讨论.直线与圆相切,圆可能在直线上方,也可能在直线下方,所以本题应分两种情况讨论.

二、在数与式中的分类讨论思想

例7、若 的值为负数,则 的取值范围是____________.

分析:乘除法的运算法则是:同号得正,异号得负.

解:∵ 的值为负数 ∴ 异号

∴分为两种情况:

(1) (2)

综上所述, 的取值范围是 或 .

(注意,这里用“或”,不能用“且”)

三、方程中的分类讨论思想

例8、 解方程:|x-1|=2

分析:绝对值为2 的数有2个

解:x-1=2或x-1=-2, 则x=3或x=-1

说明:应该说,绝对值问题是我们在上学期最初见过的“难题”。其实归根究底,一般考察绝对值的问题有三。

1. 化简(如当a<0<b时,化简|a-1|+|b+1|+|a-b|)

处理方法:根据绝对值符号内的式子的正负性

2. 类似于“解方程”(如本题)

处理方法:注意解往往不只一个,需关注绝对值为正数的数有两个。

3.使用绝对值的几何意义解题(如已知|x-1|<2,求x的取值范围)

处理方法:画数轴,|x-1|<2表示数轴上到表示1的点的距离小于2的点。

1. 什么样的题会出现分类讨论思想--往往是在题目中的基本步骤中出现了“条件不确定,无法进行下一步”(如几何中,画图的不确定;代数中,出现字母系数等)。

2. 分类讨论需要注意什么----关键是“不重、不漏”,特别要注意分类标准的统一性。

3. 分类讨论中最容易错的是什么--总是有双重易错点“讨论有重漏,讨论之后不检验是否合题意”。

总之,数学中的分类讨论思想是一种比较重要的数学思想,通过加强数学分类讨论思想的训练,有利于提高学生对学习数学的兴趣,培养学生思维的条理性、缜密性、科学性,这种优良的思维品质对学生的未来必将产生深刻和久远的影响。在教学中,我们要多研究、多实践、多探索,让学生更好的掌握好数学中的分类讨论思想。

论文作者:冯超群

论文发表刊物:《中小学教育》2019年11月4期

论文发表时间:2019/11/20

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