美国中小学数学程序知识课程设计特点及启示_数学论文

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      当前，国际数学教育十分重视程序性知识（Procedural Knowledge）的课程与教学设计.20世纪90年代起，美国的数学教育工作者开始重视程序性知识的课程设计，在2000年的美国《学校数学教育的原则和标准》（Principles and Standards for School Mathematics）中强调用代数符号表征和分析数学情境和结构，体现数学程序性知识的设计理念.[1]《PISA 2015科学框架草案》将程序性知识列为考查学生数学素养的基本结构，我国《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》明确强调数学学习“经历、体验、感受”的过程，[2]尽管没有明确提出数学程序性知识的概念，但在基本的数学技能都提出了很具体的要求.虽然，在实际教学中教师很重视程序性知识的教学，但是学生的认知难点问题并没有得到很好地关注.[3]本研究以美国CMP课程为研究样本，[4]阐述了程序性知识的内涵、认知特点，分析了美国中数学课程中程序性知识课程的四种设计类型，梳理课程设计特征，希望对我国的中学数学程序性知识课程设计有一定的借鉴意义.

      一、程序性知识的内涵及其认知特点

      1.程序性知识的内涵

      在广义知识观下，知识可分为三大类：陈述性知识、程序性知识和策略性知识.《PISA 2015科学框架草案》将程序性知识（Procedural Knowledge）定义为：Knowledge of how such ideas are produced，这是一种实践的知识和基于实证的概念知识，有关观点、原理、概念等科学知识形成过程的知识被称为“程序性知识”，程序性知识的核心是“规则”，是个体能用某种适当类别的行为样例对某类刺激情境的任何样例作出反应；程序性知识也是“技术的知识”，表现为一套明确陈述的技术规则，使学生“知道怎样做”，学生只有知道怎样做才会做，进而使学生掌握相应的“技术的知识”.

      2.程序性知识的认知特点

      从认知发展来看，陈述性知识是以命题网络的形式贮存并被陈述或提取，而程序性知识中则以“产生式”贮存并支配人的行为.美国几套教材都用产生式或产生式系统说明程序性知识的表征，遵循“条件—活动”的规则，通过比较辨别形成最佳产生式系统，将已经建立的产生式变成熟练动作，通过有意识地进行“如果/则”产生式规则的使用，让成功的学习成为良好学习行为的最好激励，使学生学会在条件与动作之间形成联系，领会“如果/则”产生式的程序性知识，具有从条件向活动的单方向激活自动反应性，并形成对同类知识的一般认识方法、思路及相关的操作要领，因此，程序性知识的核心设计是在学生解决问题的过程中帮助学生提炼出他们解决该问题的产生式.可见，产生式系统是程序性知识的主要表征形式.

      二、美国程序性知识课程设计基本类型

      类型1：情境—符号表征型课程

      案例1 问题情境：

      某电器店允许顾客采取按月分期付款的方式购买价值在30元以上的商品.顾客首付30元，以后每月支付15元.如果你在该电器店以按月分期付款的方式购买价值195元的电脑光驱，需要多少个月才能付清全部款项？解释你的解题过程.

      在上述问题之后，提出以下要求：

      先写出你题解的思考步骤，再试着用数学符号而不是文字去描述那些步骤.

      

      现实情境有助于学生对程序性知识的数学理解，对大部分中学生而言，理解抽象的数学概念并非易事，适当的情景能帮助学生更好地理解某些数学概念.CMP课程使用现实生活的问题情境，帮助学生理解一些用符号操作的数学程序性知识.比如，“分期付款”这一情境帮助学生体验变量所表现的变化或改变的过程，从现实情景到用自然语言等价地表达出来是一次重要的抽象，是为了引导学生关注并识辨这一情境中隐含的“变量”这一概念，让学生理解变量从静态印象形成动态的概念，目的是让学生体验变量是一个数字的“替代”，体现了程序性知识是实践的知识.

      类型2：情境—数值操作型课程

      案例2 Daniel决定使用计算器解方程，他将方程输入计算器，并按“GRAPH”键，接着他使用“TRACE”键寻找解答.请你帮助Daniel解释图1所示的窗口中的信息，从而得到该方程的解.

      另外Daniel也可以用一个表格来寻找方程的解.在你的计算器上作出方程的表格.

      

      教材设计在阐述符号方法解方程之前，先通过一个现实问题情境引出方程，并介绍用图形计算器解一元一次方程.与其他教材的做法不同，该教材没有直接给出使用图形计算器解方程的步骤，而是以问题情境的形式，让学生自己去探究图形计算器的操作步骤及机器显示的结果的意义，通过亲自动手数值操作，体会感受程序性知识的获得过程，程序性知识是实证的知识，也是技术的知识.

      类型3：图式操作表征型课程

      案例3 右边的天平是平衡的，袋子中装有一定数量的方块.

      

      （1）假设你看不见袋子里面，你怎样能知道袋子里有多少方块？

      （2）用什么方法让方程像平衡的天平一样？

      （3）解方程是什么意思.

      运用模型解决方程问题的步骤：

      （1）你可以在两边同时加减相同的数.

      （2）你可以在等式两边加减0.

      活动：与一个小伙伴共同完成

      用模型解决x+2=5

      因此x=3，因为3+2=5，所以结果正确.

      CMP课程设计主要是让学生借用对实际情景的思考，用学具（算筹）操作来帮助学生理解方程的求解过程，但在这里学具只是数字和符号的替代品，操作过程只是对符号操作的检验，而非单纯的动作技能，是为培养学生完成一定的智力任务而表现出的技能，来帮助理解用符号来求解方程的各个步骤，体现了程序性知识是讲规则的知识.

      

      类型4：多元表征型课程

      案例4 宽吻海豚和虎鲸是海豚家族最著名的物种，一只可以长到9米长的虎鲸比一只宽吻海豚长4米.

      

      分析：1.x代表什么？

      2.写出“比海豚长4米”的表达式.

      3.写出一个你可以用来找出海豚长度的加法方程.

      你可以用逆运算去解决方程x+4=9.逆运算相互“抵消”.你应该在方程两边同时减去4，从而在方程x+4=9中消去4.

      解加法方程：

      解x+4=9.

      法一：运用符号

      

      法二：运用模型法

      

      过于形式化的数学课程往往是从一些未定义的术语、公理和定义出发，逻辑地演绎出一些重要的数学结论，然而CMP课程是真正的“问题中心”的课程，解方程的课程设计涉及文字语言、直观语言、操作语言和符号语言等多元表征，更多的是由基于经验的直觉、探索以及反思而形成的一种复杂的、组合式的过程，程序性知识的获得让学生经历思考、计划、推理、计算以及评估的问题，利用问题串设计驱动学生思考程序性过程，并能将数学概念、技能和问题解决的策略与某些情境问题对应或联系起来，这些情境问题自然就成了整个数学课程的支架和平台，帮助学生获得智慧技能，促进学生进行高层次数学思维能力的发展.

      三、程序性知识课程设计的特点与启示

      1.问题情境设计的数学化

      许多研究者和教师认为程序性知识学习应根植于学生熟悉的生活情境，但也有人认为没有必要使用现实情境，尤其是为了形成情境与数学概念的结合，教材可能人为地编制一些问题情境，这样可能会丧失情境的可信性，从而削弱其促进数学程序性知识理解的功用.因为程序性知识本质上是处理非现实的数量关系，而且代数的核心是对数学结构和关系的理解，蕴含于情境中的数学概念并不能自动地被理解.因此，代数就是有关运算和结构的抽象性质，它的目的应该是学习这些抽象的结构本身，而不是学习如何将这些结构用于描述现实世界.美国教材中现实情境显然经过一定的“加工提纯”的教学设计，例如“海豚科学”问题设计，让学生体验到其中的“数学味”，进而让学生尽快关注于其中所蕴含的数学内容，在数学概念与情境合理结合的基础上促进了数学程序性知识的理解.

      2.多元表征的凝聚化

      从美国教材可以看出，从具体表征到概括或抽象必须跨越有一个“沟”，而图示或操作模型等直观表征是连接“沟”的桥梁，直观教具（例如算筹）仅是一种教学辅助工具，它们只是帮助学生理解抽象的数学内容，并不能直接导致学生的数学理解，而具体表征最后必须上升到抽象才是“数学”，仅停留在具体表征阶段永远只是“操作”.[5]要真正理解所学的内容，需要在教师的引导下，让学生明确具体与抽象之间的关系，让学生认识到数学内容是具体模型的抽象，思维凝聚是认知的一种飞跃.只有通过思维凝聚才能认识到事物抽象的本质，课程设计者有意促进学生的思维从具体向抽象、低层次向高层次抽象发展，使学生顺利完成从具体到抽象的认知过程，进行高层次数学思维活动，[6]这些对我国的数学教育应该具有警示作用.

      3.教学模型的程序化

      良好的问题情境和问题串设计是数学程序性的表征形式，美国教材中关于方程模型的设计，以“等量关系”为核心，设法用含有未知数的数学解析式来表示.让学生体会方程是从现实生活到数学的一个提炼过程，用数学符号提炼现实生活中的特定关系的过程，从现实情境到用自然语言等价地表达出来的抽象，是方程建模的关键.教材设计通过多元表征，识别刺激情境是否符合某个数学条件或符合应用某个规则的条件，学生所获得的程序性知识属于“模式再认知识”或“技术的知识”.要求学生在适当的条件下采取相应数值操作，要求学生掌握“动作系列知识”，学生由“知道怎样做”开始变得“会做”，“技术的知识”开始转化为“实践的知识”，从而把程序性知识的学习转化为以数学建模的能力培养为设计目标.

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