魏继东[1]2001年在《边界积分方程与椭圆边值问题的Galerkin法及最小二乘法处理》文中研究指明对于边界积分方程与椭圆边值问题的解法及误差估计已有很多文章(参[1]-[3])研究，并且通过各种后处理如插值、平均、外推等得到一系列的超收敛结果，本文则着重探讨一型边界积分方程Galerkin解通过L~2投影(最小二乘)算子处理后以及椭圆边值问题的导数进行L~2投影(最小二乘法)处理后可获得超收敛结果。 首先，第一部分讨论了由Dirichlet外问题：导出的一型边界积分方程的解法及其误差，然后进行最小二乘处理后得到超收敛结果。 其次，第二部分讨论了椭圆边值问题的Galerkin解法，并通过最小二乘处理可获得导数的超收敛结果。最后，通过数例进一步验证了最小二乘处理后确实可得到较好的结果。
魏继东[2]2002年在《边界积分方程的GALERKIN法及最小二乘法处理》文中指出介绍了边界积分方程的Galerkin法 ,并证明了通过最小二乘法处理后可得到起超收敛结果
张见明[3]2002年在《一种新的边界类型无网格法》文中认为本文综述了无网格数值方法的发展历史和现状,从无网格插值以及积分格式两方面阐述了无网格数值方法的基本原理,并着重介绍了无单元Galerkin法、无网格局部边界积分方程、无网格局部Petrov-Galerkin法和边界点法。在此基础上,提出了一种新的边界类型无网格法——杂交边界点法,并成功地将其实现于二维位势问题、平面弹性静力问题、叁维位势问题和叁维弹性静力问题的求解。 杂交边界点法将修正变分原理与移动最小二乘法结合起来,涉及叁类独立的场变量。对于位势问题,这叁个场变量是:域内势函数u、边界上势函数(?)和边界上法向流函数(?);对于弹性力学问题,它们是:域内位移函数u_i、边界位移函数(?)_i和边界面力函数(?)_i。其中,域内场函数用基本解插值,边界上的场函数用移动最小二乘法插值。由于用基本解对域内场函数进行插值,从而使得域内积分能够转换为边界积分。利用修正变分原理,进一步将积分方程限制在一些相互独立的局部子域内,最后得到与各个边界节点相联系的边界局部积分方程。 杂交边界点法利用了移动最小二乘法的无网格特性和无网格局部边界积分方程中的局部化思想,是一种纯无网格法,即:该方法既不需要插值网格,也不需要积分网格,它的输入数据只是求解域边界上的离散分布的点。它可以直接利用CAD造型软件构造的几何模型,前处理过程十分简单。域内未知量的计算也不需要像在边界元法中做的那样,再一次沿边界积分。数值算例表明:该方法不仅计算精度高,而且收敛性好,还可以基于叁维弹性理论求解薄型结构。 杂交边界点法是一种具有优良特性的数值方法。与无网格局部边界积分方程和无网格局部Petrov-Galerkin法相比,它将求解问题降低一维,要求输入的结构数据只是求解域边界上的信息;与传统边界元法相比,它是无网格法,它的输入数据只是边界上的离散分布的点;与边界点法相比,它是纯无网格法,无论是插值,还是积分,都不需要任何网格。
熊渊博[4]2004年在《Kirchhoff板问题的无网格局部Petrov-Galerkin方法研究》文中研究指明无网格方法与有限元法、边界元法等传统的数值分析方法相比具有许多突出的优点。近年来,国内外学者在无网格方法研究方面已经取得了许多具有开创性的重要成果。 无网格局部Petrov-Galerkin方法(简称MLPG法)是近几年发展起来的一种新的数值方法,由于它不需要任何有限元或边界元网格,不管这种网格是用于能量积分还是进行插值的目的,所以分析问题更显灵活和方便,被誉为是有发展前景的“真正的无网格方法”。近年来,Atluri等和龙述尧等在MLPG法及应用研究上取得可喜进展。在龙述尧等的工作基础上,本文提出Kirchhoff板问题的MLPG方法,进一步研究和发展了MLPG方法。 本文首先综述了无网格方法的发展历史和国内外的研究现状,对目前各种主要无网格方法进行了回顾和评价,总结了无网格法的特点、优越性以及目前无网格法的难点和存在的问题。综述中,特别地概述了目前板壳问题的无网格方法研究情况。然后介绍了基于Kirchhoff假设的板方程、解变量的移动最小二乘近似方法和数据点及函数拟合算例。 文中对Kirchhoff板静力问题提出了MLPG方法,通过对各向同性和各向异性板、弹性地基板等分别采用加权残值法在局部子域建立Kirchhoff板控制微分方程的等效积分对称弱形式,并对挠度变量采用移动最小二乘近似函数进行插值,使所有的积分都在规则形状的子域及其边界上进行。因为用移动最小二乘法来近似挠度变量,不容易直接施加本质边界条件,所以采用罚因子法施加本质边界条件。数值实施中对非对称线性系统求解采用了广义最小余量迭代算法。通过各种形状、不同支承及荷载的平板静力弯曲算例,探索了MLPG最优权函数支持域的形状和大小,检验了Kirchhoff板静力分析MLPG法的有效性和可行性。本文还提出了薄板稳定性或屈曲的局部Petrov-Galerkin方法,计算了各种不同形状和边界支撑的各向同性和各向异性板的稳定性系数。 对Kirchhoff板动力问题的分析,是在空间域上采用局部Petrov-Galerkin方法来离散和提出用虚节点值与实际节点值变换法处理本质边界条件的施加问题,时间域上的离散则采用Newmark-β方法,并采用子空间迭代法来分析板的固有振动。通过各向同性板和各向异性板的算例,研究了板的自振特性、强迫振动下的变形及内力响应、计算效率等问题。 通过本文的研究表明,无网格局部Petrov-Galerkin法不但能够求解二阶微分方程的边值问题,而且求解四阶偏微分方程的边值问题也很有效,也具有收敛快、稳定性好、对挠度和内力都具有精度高的特点;MLPG法具有无网格Galerkin法
李茂军[5]2009年在《基于边界元法与无网格局部Petrov-Galerkin法的耦合法和区域分解法》文中研究表明边界元法(BEM)是一种应用广泛的求解偏微分方程的方法,它具有精度高,降维等特点。无网格局部Petrov–Galerkin (MLPG)法是一种很受关注的数值方法,适合于求解非齐次,非线性,各向异性等问题。本文首先将无网格局部Petrov-Galerkin法和改进的移动最小二乘近似相结合,形成了改进的无网格局部Petrov-Galerkin法,并求解了二维类Helmholtz方程。在无网格局部Petrov-Galerkin法中,移动最小二乘近似被用来构造近似函数,在移动最小二乘近似中的代数方程组有时是病态的。因此改进的移动最小二乘近似被提出,改进的移动最小二乘近似采用加权正交函数系作为基函数,与传统的移动最小二乘近似相比,改进的移动最小二乘近似中的系数矩阵变成了非奇异的对角矩阵,因而无需计算系数矩阵的逆。数值算例的研究结果均表明改进的无网格局部Petrov-Galerkin法精度高,收敛速度快。无网格局部Petrov-Galerkin法是一个真正的无网格方法,它不需要单元或网格,但是它的计算量比有限元和边界元都大。因此本文基于边界元法和无网格局部Petrov-Galerkin法提出了一种直接耦合法,该方法将问题区域分解为不相重迭的边界元子域和无网格子域,连续性条件在两子域的公共边界上得到满足。然后将边界元方程、无网格方程以及连续性条件耦合成最终的方程组。在不同的子区域划分模式下讨论了该方法,一些数值算例被给出,证明了该方法的有效性。耦合法需要将边界元方程和无网格方程联立在一起,形成一个统一的大型方程组,因此本文又研究了基于边界元法和无网格局部Petrov-Galerkin法的区域分解法,该方法也将问题区域分解为不相重迭的边界元子域和无网格子域,连续性条件要在两子域的公共边界上得到满足,必须通过迭代程序。为了加速收敛,引进了固定松弛因子和动态松弛因子。然后通过丰富的数值算例详细讨论了两种松弛因子对迭代次数的影响以及公共边界上的初始值对迭代次数的影响。
李小林[6]2009年在《基于边界积分方程的Galerkin无网格方法》文中提出无网格方法在近年来得到广泛关注,其基本特点是场函数建立在独立的节点上,节点之间无需网格联接。边界积分方程能使所考虑问题的维数降低一维,是求解线性问题和外部问题的一种有效工具。基于边界积分方程的无网格方法是无网格方法的一个重要分支。本文首先回顾了无网格方法的发展历史和研究现状,综述了无网格方法数学理论的研究进展,介绍了无网格方法的基本原理,总结了无网格方法的特点、优越性以及目前无网格方法的难点和存在的问题。然后在大量前人工作的基础上,提出了一种新的基于边界积分方程的Galerkin无网格方法——Galerkin边界点法,并成功地将其应用于位势问题、弹性力学问题和流体力学问题的求解。在Galerkin边界点法中,首先将边值问题归结为边界积分方程的弱形式或变分公式,然后利用移动最小二乘近似构造变分公式中的试探函数和检验函数,进而得到近似的有限维逼近空间。Galerkin边界点法利用了移动最小二乘近似的无网格思想和边界积分方程的降维特性,因此它的输入数据只是求解域边界上的离散分布的点。由于引入了变分公式,Galerkin边界点法能保持变分问题的对称性和正定性,该性质使得Galerkin边界点法是耦合有限元方法或者其它已经建立的区域型无网格方法(如无单元Galerkin法)的理想方法,这种耦合技术非常适合求解无限域问题。另外,虽然用移动最小二乘近似构造的形函数不具有插值特性,但是通过把边界函数与检验函数相乘并在边界上积分,Galerkin边界点法中的边界条件仍能容易地精确满足。本论文针对Galerkin边界点法进行了理论分析和数值应用,具体研究工作如下:首先研究了任意边界上的移动最小二乘近似,给出了移动最小二乘近似的性质。当节点和权函数满足一定条件时,证明了移动最小二乘近似的近似函数在Sobolev空间中的最优误差估计。误差结果表明,移动最小二乘近似的逼近误差与节点间距密切相关。其次给出了Galerkin边界点法求解作为拟微分算子方程的边界积分方程的算法。边界积分方程首先被转化为相应的变分形式,然后用移动最小二乘近似的形函数构造解空间。为了计算积分,我们在边界上构造了背景网格。基于移动最小二乘近似的误差公式和拟微分算子理论,推导了用Galerkin边界点法求解边界积分方程的解的误差公式。从误差分析的过程中可以看出,Galerkin边界点法的误差主要来自两个方面:一是用背景网格上的积分去近似边界积分;二是用移动最小二乘近似去逼近边界变量。我们还考虑了边界积分方程的未知量需要满足一定约束条件的情形,此时我们采用Lagrange乘子放松这个约束,并给出了相应的数值实施过程和误差估计。第叁,用Galerkin边界点法求解了Laplace问题、双调和问题、线弹性问题和Stokes问题。把边值问题归化为等价的第一类边界积分方程,再用Galerkin边界点法进行求解。我们给出了数值求解过程,并就一般情形详细地进行了误差分析,得到了最佳渐进误差估计。当积分用的背景网格和边界重合时,我们进一步得到了近似解的能量模估计。数值算例表明了这种方法的有效性,并且数值结果和理论分析吻合。
刘凯远[7]2007年在《无网格局部Petrov-Galerkin方法在断裂力学中的应用》文中指出无网格方法是继有限元、边界元等传统的数值方法之后一种新兴的、很有发展前途的数值方法。无网格方法有很多优点,最突出的优点在于克服了对网格的依赖性,彻底或部分消除了网格的划分,因此无网格方法在处理超大变形问题,裂纹扩展问题,高速冲击等问题中具有明显的优势,越来越受到科学工作者的关注。无网格局部Petrov-Galerkin方法是近几年发展起来的一种无网格方法,它不需要借助任何单元或网格进行积分和插值,是一种真正的无网格方法。近年来,Atluri等和龙述尧等在无网格局部Petrov-Galerkin方法及其应用研究上取得了一系列成果,在他们研究的基础上,本文将无网格局部Petrov-Galerkin方法用于求解断裂力学问题。本文首先综述了无网格方法的发展历史与国内外研究现状,按照其离散方式的不同对各种典型的无网格方法进行了回顾与评价,总结了无网格方法的特点、优越性以及目前无网格方法的难点和存在的问题。概述了无网格方法在断裂力学中的应用情况。然后基于Atluri等人的工作,采用移动最小二乘近似函数构造试函数,采用Heaviside函数作为加权残值法中的权函数,采用直接插值法施加本质边界条件而不采用罚函数法和拉格朗日乘子法。通过悬臂梁和无限开孔板两个算例验证了本文方法较传统的无网格局部Petrov-Galerkin方法在计算效率上有了较大的提高。尽管无网格方法在断裂力学中的研究已有一系列的成果,但无网格局部Petrov-Galerkin方法在断裂力学问题中的研究很少见到报道。本文的主要工作与创新点是,首次将无网格局部Petrov-Galerkin方法应用于求解断裂力学的相关问题中。在线弹性断裂力学问题中,把线弹性断裂力学应力场的奇异函数作为增强函数加入到移动最小二乘近似函数的基函数中,能够很好的体现裂纹尖端应力场的r1的奇异性,采用可视性准则和衍射法来处理裂纹的不连续性,通过各种裂纹板的算例,计算了裂纹尖端的应力场、应力强度因子和扩展轨迹等;在弹塑性断裂力学问题中,采用了增量牛顿-拉夫逊迭代法和切向预测径向返回子增量法求解增量形的非线性局部Petrov-Galerkin方程,计算了双边裂纹板和叁点弯曲试件的裂纹尖端附近塑性区范围和应力强度因子等;对于动态断裂力学问题,在空间域上采用无网格局部Petrov-Galerkin方法离散,在时间域上采用Newmark隐式算法离散,最后计算了含中心裂纹板和双边开口板在冲击载荷作用下动态应力强度因子、裂纹(缺口)尖端附近应力场和变形情况;对于断裂力学的功能梯度材料问题,由于功能梯度材料的弹性矩阵不再是常数,而是空间坐标的函数,传统的J积分不再有效,为了方便得到应力强度因子,推导了均匀辅助场和非均匀辅助场下的M积分,并计算了结构在不同载荷作用下,裂纹处于不同位置时的应力强度因子。无论在线弹性断裂力学问题,弹塑性断裂力学问题中,还是在动态断裂力学问题和功能梯度材料断裂力学问题中,所有数值算例结果都表明,本文方法对于断裂力学问题的求解是可行的和有效的,并且所得到的结果具有较好的精度和收敛性以及较快的收敛速度。
苗雨[8]2005年在《奇异杂交边界点法理论研究及应用》文中研究说明无网格法是近二十年才发展起来的数值方法,它只需要节点信息以及对内外边界条件的描述,而网格则可以部分或完全消除。因此,该方法在裂纹扩展模拟、材料弹塑性分析以及叁维问题的计算具有广阔的前景。本文综述了无网格数值方法的基本原理; 重点介绍了无网格Galerkin 法、无网格边界局部积分方程法、边界点法和杂交边界点法; 探讨了基函数的选取对无网格Galerkin 法计算精度的影响。在此基础上提出了一种新的边界类型的无网格方法—奇异杂交边界点法,并成功地将其实现并应用于二维弹性力学问题和叁维弹性力学的求解。本文主要完成了以下几个方面的工作:首先,探讨了无网格法中形函数的性态及对计算结果的影响,讨论了无网格法产生误差的原因。主要分析了无网格伽辽金法节点不良分布以及采用一般高次多项式基构造形函数时,致使形函数中矩阵A 病态,从而导致全局数值解振荡的原因。就不同的基函数对插值函数及无网格法的计算精度的影响作了分析比较,得出了基函数的选取标准,并用算例说明了这些结论的正确性。其次,提出了在工程计算中的高次正交多项式基来拟合应力高梯度问题,并以罚函数法引入强加边界条件。该方法保留了无网格Galerkin 法所拥有的优点,去除了其中的一些缺陷,使得用高次正交基逼近时计算精度较高,因此适合工程计算中诸多计算问题。通过算例及误差分析证实了这种方法的优势。第叁,提出了一种新的边界类型的无网格方法—奇异杂交边界点方法。该方法结合修正变分原理和移动最小二乘近似,同时利用无网格局部边界积分方程中的局部化思想,是一种真正的无网格方法—既不需要插值网格,也不需要积分网格,所有的积分都是在简单规则的子域内完成的,计算时仅仅需要边界上离散点的信息。第四,将奇异杂交边界点方法用于二维和叁维弹性力学问题中,建立了这两类问题的奇异杂交边界点法,并编制了相应的程序。数值算例表明了该方法的可行性和优良性能。第五,通过计算弹性力学经典算例以及对照解析解,对影响奇异杂交边界点方
孙阳光[9]2005年在《自然边界元的无网格方法和拟小波方法研究》文中提出边界元方法是将区域内的微分方程边值问题归化到边界上,然后在边界上离散化求解的一种微分方程的数值解法。边界元方法的主要优点是降维,这在处理高维问题时具有优势。与通过一般边界归化得到的边界元方法不同,通过自然边界归化得到的边界元方法,不仅保持了边界元方法的降维优势,而且它是由原边值问题唯一确定的,同一边值问题将得到唯一的自然边界积分方程,且其解还具有存在唯一性和稳定性。无网格方法仅仅需要节点信息,克服了有限元等传统数值方法对网格有较强依赖性的缺点,摆脱了网格的束缚,避免了大量的网格分划、复杂的网格生成及重新划分的工作,减少了因网格畸变而引起的困难,而且收敛快、精度高、易于实现和进行后处理工作。为了克服小波方法在微分方程的求解问题中依然存在的复杂边界不易处理,精度难以提高等困难,拟小波方法通过对尺度函数做正则化处理的方法,使正则化后的尺度函数在时频域上都具有良好的局部特性,极大地拓宽小波方法的应用范围。本文提出的自然边界元的无网格方法是将无网格方法与自然边界元方法相结合,使其不仅具有自然边界元的降维及计算便捷、稳定等优点,而且还具有无网格方法的只需节点信息、不必划分网格、后处理方便等优点,这使该方法在处理高维问题上计算简捷。另外本文还采用小波再生核函数与快速衰减函数相结合的办法,提出的拟小波基用于自然边界元方法具有良好的逼近精度,不仅有效的保持自然边界元方法的优点,而且还具有拟小波的良好局域性和逼近性特性,这使该方法能很好的处理高维问题以及有局部急剧变化解的非线性偏微分方程等问题。对上述提出的方法,本文以二维调和方程的不同边值问题为例,推导出相应的计算公式,并在随后给出相应的数值算例,数值实验的结果是令人满意的。
王彩华[10]2014年在《稳态奇异扰动问题的数值解》文中提出“奇异扰动”是指在数理方程问题中一个小的扰动会引起解的大变化,快速变化范围往往是在临近边界的一个窄区域内,方程表现上一般是最高阶导数项前乘以了一个小参数。尽管“奇异扰动”这个术语最早是1955年提出的,但关于奇异扰动方程的数值解法仍有许多问题没有解决,这仍是当前研究活跃的一个领域。本文重点研究关于稳态奇异扰动问题的几类数值方法,包括全局化方法、分片样条配点法、紧致差分格式等,主要工作概述如下:1.对基于Bernstein多项式的Galerkin方法求解二阶微分方程的稳定性与收敛性进行了分析,给出了基于Bernstein多项式的配点法和最小二乘配点法,与Galerkin法相比后两种方法避免了进行数值积分计算。应用实例涵盖一般两点边值问题,正则扰动问题与奇异扰动问题,数值模拟结果验证了方法的有效性与适用范围。2.为改进全局化方法在求解边界层极窄问题时的局限性,本文接着提出了基于分片叁次Bernstein多项式的配点法。该方法形成的代数系统系数阵稀疏,每行最多有五个非零元,易于求解,且因对网格剖分没有限制而能方便地与非等距网格结合使用。数值实验对含有边界层的奇异扰动情形结合了Shishkin型网格处理,较好地模拟了含小边界层奇异扰动问题的解。3.将基于分片叁次Bernstein多项式的配点法推广到应用任意次分片Bernstein多项式求解两点边值问题,实验表明数值解精度将随着Bernstein多项式次数的增加而提高。4.针对含源项的二维对流扩散方程,本文提出了构造差分格式的一种新思路――换维降阶法,导出了一种紧指数型差分格式。该格式是无条件稳定的正型格式,具有二阶收敛性,Richardson外推法可使其达到四阶精度。数值结果支持理论分析且适用于对流占优时不同边界层问题,包括椭圆边界层和抛物边界层等。本文的工作不只是提出了求解稳态奇异扰动问题的几种新型数值方法,更重要的是方法的思想可用于求解更广泛的一些问题。
参考文献：
[1]. 边界积分方程与椭圆边值问题的Galerkin法及最小二乘法处理[D]. 魏继东. 湖南师范大学. 2001
[2]. 边界积分方程的GALERKIN法及最小二乘法处理[J]. 魏继东. 衡阳师范学院学报(自然科学). 2002
[3]. 一种新的边界类型无网格法[D]. 张见明. 清华大学. 2002
[4]. Kirchhoff板问题的无网格局部Petrov-Galerkin方法研究[D]. 熊渊博. 湖南大学. 2004
[5]. 基于边界元法与无网格局部Petrov-Galerkin法的耦合法和区域分解法[D]. 李茂军. 重庆大学. 2009
[6]. 基于边界积分方程的Galerkin无网格方法[D]. 李小林. 重庆大学. 2009
[7]. 无网格局部Petrov-Galerkin方法在断裂力学中的应用[D]. 刘凯远. 湖南大学. 2007
[8]. 奇异杂交边界点法理论研究及应用[D]. 苗雨. 华中科技大学. 2005
[9]. 自然边界元的无网格方法和拟小波方法研究[D]. 孙阳光. 华中科技大学. 2005
[10]. 稳态奇异扰动问题的数值解[D]. 王彩华. 天津大学. 2014