混合分数Brownian运动下美式期权定价

韩 婵¹，孙玉东²

(1.西安建筑科技大学 华清学院，西安 710043；2.贵州民族大学 理学院，贵阳 550025)

摘 要： 在混合分数Brownian运动驱动的Black-Scholes模型下,研究了美式期权定价问题。利用自融资策略和财富过程的交易费用,给出了一个结构更简单、使用更灵活的美式看跌期权近似定价公式。

关 键 词： 美式看跌期权；Black-Scholes模型；混合分数Brownian运动；近似定价公式

美式期权是金融学的重要研究内容,也是金融市场上常见的金融衍生产品。由于美式期权具备提前实施条款,赋予了投资人更多权利,交易起来更加灵活,更容易受市场的青睐，因此对美式期权的价值分析也更具市场指导意义。

由于美式期权难以定价,有关美式期权定价的精确解析结果还未见文献报道,针对美式期权的研究主要集中在近似解和数值方法。常见的美式期权定价的数值方法有有限差分法^[1-2]、二叉树方法^[3-4]、三叉树方法^[5]。有关美式期权价格的近似结果也有一些研究成果。文献[6]采用鞅方法研究了美式期权定价问题,得到了美式期权价格的一个半解析近似公式。文献[7]采用Barone-Adesi 和 Whaley在文献[8]中提供的近似计算方法,给出了美式期权的近似结果。

上述文献给出的近似结果结构复杂,常常难以使用。本文利用自融资策略的交易费用调整方案,给出了混合分数Brown运动驱动的Black-Scholes模型下美式期权的一个近似公式,该公式给出的结果更加简便灵活。

1 金融市场数学模型

美式期权具备提前实施的权利,若投资人没有提前实施期权,那么美式看跌期权在到期日的现金收益为

小灶河铜锑矿点，共发现4条铜锑矿化体，长约15～280m，宽约2～20m，主要有孔雀石化、辉铜矿化、黄铜矿化、褐铁矿化，孔雀石呈斑点状、浸染状附在岩石裂隙面上，辉铜矿、黄铜矿呈斑点状集合体赋存在灰岩内部，铜的品位在0.2%～3.71%之间，锑的品位在0.1%～1.09%。

F (T )=max{K -S (T ),0}

假定市场存在摩擦,即交易存在费用,若资产X (t )的费用率为con(t ),则式(9)可以被改写为

dS (τ )=rS (τ )dτ +σS (τ )dM (τ ),

τ ∈(t ,T )

(1)

其中，随机噪声表示混合分数Brownian运动,它是标准Brownian运动{W (t ),t ≥0}和分数Brownian运动{W ^H (t ),t ≥0}的线性组合,即

以下考察美式期权和欧式期权的关联性,并依此给出两种美式期权的价格。

V (t ,S )=exp{-r (T -t )}E [F (T )]

(2)

其中：r 表示银行的无风险利率；q 表示红利率。再利用Feymann-Kac公式,在Black-Scholes模型(1)下损益为f (T )的美式期权的价值P (t ,S )适合变分不等式

(3)

其中

同时相应的欧式期权的价值满足抛物方程

(4)

麦氏培养基：葡萄糖 0.1%、KCl 0.18%、NaAC 0.82%、酵母浸膏0.25%、琼脂2%，115 ℃高压蒸汽灭菌20 min。

p (t ,S )=K exp{-r (T -t )}N (-d ₂)-

s exp{-q (T -t )}N (-d ₁)

(5)

其中：

其中{B (t ),t ≥0}表示单位资产按照无风险利率r 的连续复利过程

c (t ,S )=s exp{-q (T -t )}N (d ₁)-

K exp{-r (T -t )}N (d ₂)

(6)

这里非负常数δ 表示混合比例系数,假定当前时刻是t 时刻,则S (t )=s 已知。根据风险中性定价策略,收益为式(1)的理财产品的价值为

正妻。典型代表是金铨的夫人，及白夫人。正妻判词是“外圆内方”，操持整个大家庭实属不易，正妻都有很重的责任感，端庄而稍显沉闷。而白夫人比金夫人却要更高明，这也是金铨有两个姨太太而白雄起只有一个夫人的缘故吧。

2 美式期权定价

考察投资人的财富过程{X (t ),t ≥0},为了方便论述用π (t )表示投资人在t 时刻投资于风险资产的份额,那么他投资于无风险资产的份额为X (t )-π (t )。称投资组合π (t )是自融资策略,若

(7)

同理欧式看涨期权在t 时刻的价值为

类推文献[9-10],抛物方程(4)的解为欧式期权在t 时刻的价值P (t ,S )为

dB (t )=rB (t )dt ,B (0)=1

(8)

将式(1)和式(8)代入式(7),则财富过程满足

dx (t )=[rX (t )+(μ -r )π (t )]dt +

(9)

其中：K 表示期权合约在0时刻约定的执行价格；T 表示到期时间；S (T )表示风险资产在到期日的市价,满足随机微分方程

他首先想到了感激，感激这样的相遇相识，让他单调得无趣无味的空中骤然升腾出绚丽的云彩，他甚至幻想有那么一天云彩下出现了他和伍亦苒的身影。这幻想每日叠加，成为夜晚的依赖梦中的期待。

dx (t )=[rX (t )+(μ -r )π(t )-con(t )]dt +

(10)

类推文献[9-12],式(10)结合投资组合的自融资策略,欧式看跌期权的价值满足

与此同时，韩妆的创新及其之于亚洲市场的战略意义正受到海外资本的关注，2018年4月，欧莱雅集团首次收购韩国潮流品牌3CE，引起轰动。近两年间，A.H.C母公司珂泊亚、GOWOONSESANG COSMETIC等韩妆企业亦相继被海外企业收购。这说明，韩妆在国际市场的地位也正逐步提升。

(11)

相比于欧式期权,美式期权给投资人提供了提前实施的权利,从而美式看跌期权的价值P (t ,S )比相应欧式看跌期权的价值p (t ,S )要高,即

P (t ,S )≥p (t ,S )

(12)

注意根据自融资策略,美式期权的价值可以被自融资组合复制,即p (t ,S )=X (t )。本文将投资人不提前实施美式期权造成的损失视为相应欧式期权的交易费用,则

P (t ,S )+con (t )=p (t ,S )

从而

X (t )=P (t ,S )+con (t )=p (t ,S )

进一步假设美式看跌期权对应投资组合价值的费用率为α (t ),则(1) 此处构造的是美式看跌期权的投资组合,由于市场是无套利的,美式期权组合价值和欧式期权组合价值应当相等,否则市场会产生套利,这里统一记为X (t )。

接下来对每个因子进行归一化以去掉量纲。对于某因子的测值序列，进行变换如下：V’=（V-Vmin）/（Vmax-Vmin），其中，V’为变换后的新测值，V为原始测值，Vmin为本序列中原始测值中的最小值，Vmax为本序列中原始测值中的最大值。

c (t )=α (t )X (t )=α (t )(P (t ,S )+con(t ))

其中α (t )∈(0,1),整理之后有

设E [α (t )]=φ ,则代入式(11),可以得到美式期权满足的抛物方程

重复式(5)的计算过程,可得带有红利支付的美式看跌期权在t 时刻的价值为

地方高校科研核心竞争力评价是一项复杂的系统工程，它属于多目标评价问题。目前已有部分学者对科研竞争力评价进行研究，也有少数学者对高校科研核心竞争力进行定性的描述，还有少数学者采用模糊数学进行定量评估。已有的研究要么所选研究对象过于宽泛，缺乏可比性，要么所构建的评价指标体系或评价模型存在缺陷。鉴于已有研究存在的问题，本文专门针对地方高校进行核心竞争力评价研究，并构建了完善的评价指标体系和客观的评价模型，具有一定的理论价值。本文的研究成果还可为高校及教育或科技管理部门提供决策参考，具有一定的实际意义。

(13)

依此类推,带有红利支付的美式看涨期权的价值为

选取优质的供应商是物流采购工作成功的关键，因此，企业要做好对供应商的考察、评估、认证等一系列工作。要在物流采购管理平台中构建供应商管理子系统，以物资采购管理的业务结构为基础，对供应商进行合理、科学的评估，优化供应商集合。供应商管理子系统要展示供应商的基本信息以及特色，同时要及时加入更新系统对供应商信息变化进行及时更新，并对供应商的基础竞争项目以及标准进行明确的恒定，对其品质服务进行定期评估，并按照企业发展规划进一步调整采购方向及供应商合作，以降低产生成本，进一步提升企业的采购质量。

3 实证分析

在式(13)中,参数φ 未知,它可以根据市场已有数据进行估计。例如挂钩于同一风险资产的欧式看跌期权的平均价格是95,相应的美式期权的平均价格为100,假定无风险利率为5%,利用式(13),有

解之得φ =0.525 624 2。由于欧式期权易于定价(见式(5)),此时可以利用式(13)和已知的欧式期权价格计算美式看跌期权价值。例如当前时刻欧式看跌期权的市价为80美元,则相应的美式看跌期权的价值为

通过预试验确定白砂糖添加量12%，姜汁的姜水比1∶1，然后通过单因素试验研究姜汁添加量，柠檬酸添加量，卡拉胶、黄原胶、槐豆胶的配比，胶凝剂添加量，以及β-环状糊精添加量等的最佳变量范围。

对于挂钩同一风险资产的欧式期权和美式期权,若存在多组匹配数据(见表1),可以用无截距一元回归进行估计。仍假定无风险利率为5%,为了方便论述设考察P 对p 的无截距一元回归,F 统计量的P 值为1.691e-13,远小于0.05,拟合效果见图1，这说明对a 的估计结果有效,即a =1.192 9,令

解之得φ =0.556 675 5。若当前时刻挂钩于该风险资产的欧式看跌期权的价格为10美元,则相应美式看跌期权的价值为

表1 挂钩同一风险资产的两种期权的匹配数据

图1 两种期权的散点图及一元拟合结果

参考文献：

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Pricing the American Options Under the Mixed Fractional Brownian Motion Environment

HAN Chan¹, SUN Yudong²

(1.Huaqing College, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710043, China; 2.School of Science, Guizhou minzu University, Guiyang 550025, China)

Abstract : Under the mixed fractional Black- Scholes model, the value of American put option is studied.We develop a simple and exact analytical solution to the American put option using self-financing strategy and transaction costs of the wealth process.

Key words : American put option; black- scholes model; mixed fractional brownian motion; approximate pricing formula

中图分类号： F830.91, O211.64

文献标识码： A

文章编号： 1674-8425(2019)09-0229-04

收稿日期： 2019-01-10

基金项目： 贵州省科学技术基金资助项目(黔科合J字[2015]2076)；贵州省教育厅青年科技人才成长项目(黔教合KY字[2016]168)

作者简介： 韩婵，女，硕士,讲师，主要从事随机分析、数理金融研究，E-mail:hanchanrq@163.com。

doi: 10.3969/j.issn.1674-8425(z).2019.09.033

本文引用格式： 韩婵，孙玉东.混合分数Brownian运动下美式期权定价[J].重庆理工大学学报(自然科学)，2019,33(9):229-232.

Citation format ：HAN Chan, SUN Yudong.Pricing the American Options Under the Mixed Fractional Brownian Motion Environment[J].Journal of Chongqing University of Technology(Natural Science)，2019,33(9):229-232.

(责任编辑 刘 舸)

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